POLYÈDRES RÉCIPROQUES

Théorème. — Étant donné un polyèdre, on peut toujours trouver un second polyèdre tel que les sommets de chacun de ces deux polyèdres soient, relativement à un système de forces données, les foyers des faces de C autre, et qu^en outre les arêtes des deux polyèdres soient conjuguées : ces deux polyèdres sont dits réciproques.

En effet, soit (P) un polyèdre : menons les plans focaux de ses différents sommets. Ces plans, parleurs intersections mutuelles, déterminent un second polyèdre (P'). Je dis d'abord que les arêtes de ce second polyèdre sont conjuguées de celles du premier; car, si (A) est une arête du polyèdre donné, dont a et ô sont les extrémités, les plans focaux de a et 6 seront, par construction, deux faces du second polyèdre, et l'intersection de ces plans sera une arête de ce second polyèdre. Or, d'après le théorème du § 273, cette arête est conjuguée de celle (A).

Maintenant, les arêtes des deux polyèdres étant conjuguées, les arêtes conjuguées aux côtés d'une face plane du polyèdre donnée concourent en l'un des sommets du nouveau polyèdre, en sorte que ces sommets sont bien les foyers des faces du polyèdre donné.

Remarque I. — Si m, n, p représentent le nombre des arêtes, le nombre des sommets et le nombre des faces planes du polyèdre donné, on a, d'après un théorème d'Euler,

Si /w', /i', /?' sont les nombres analogues pour le second polyèdre, on a

/W =5 /l, Tl =: /W, p =^ /> î

îi'» 3* SECTION. — CIIAP. XXIII.

d'où, comme cela doit être,

Remarque IL — Deux polyèdres réciproques sont inscrits et circonscrits l'un à l'autre.

Théorème. — Les projections de deux polyèdres réciproques j relativement à un système de forces, sur un plan perpendiculaire à sa résultante de translation, sont des figures planes réciproques (*).

Car ces projections ont (§ 269) leurs côtés correspondants parallèles; d'ailleurs à tout système d'arêtes concourantes de l'un des polyèdres réciproques correspond, dans l'autre, un polygone plan fermé; donc à tout nœud de l'une des figures projetées correspond, dans l'autre, un polygone fermé.

Corollaire. — Toute figure plane susceptible d^être regardée comme la projection d^ un polyèdre admet une figure / éciproque.

Celte manière d'envisager les figures réciproques de la Statique graphique est due à M. Cremona. Elle conduit facilement aux principales propriétés de ces figures.

Ainsi, considérons une pyramide ayant pour base un polygone plan fermé. Son polyèdre réciproque sera une seconde pyramide ayant pour base le polygone fermé, réciproque des arêtes émanant du sommet S de la pyramide donnée, et pour sommet le foyer de la base de cette pyramide.

Si l'on projette ces deux pyramides, on aura deux figures réciproques {fig* lo et i5, PL III), formées chacune d'un polygone fermé et de rayons partant des sommets de ces polygones. Si les

(') Quand, dans ce qui va suivre, nous parlerons de projeclions de figures réciproques, il sera entendu que la projection aura toujours lieu sur un plan perpendiculaire à la résultante de translation du système de forces relativemeni auquel les figures sont réciproques.