CHAPITRE XXIV

MOMENTS RELATIFS A UN AXE DE FORCES DISTRIBUÉES d'une manière QUELCONQUE DANS l'eSPACE.

Nous venons de faire la composition des forces distribuées d'une manière quelconque dans Tespace, comme nous avons fait précédemment celle des forces parallèles ou situées dans un plan, sans faire usage des moments. Cependant nous allons exposer ici brièvement la théorie des moments des forces relativement à un axe, comme nous avons exposé plus haut la théorie des moments relativement à un point ou relativement à un plan. De même que ces derniers, les moments relatifs à un axe se ramènent aux moments relativement à un point; par suite, leur construction graphique ne souffre aucune difficulté (§ 118).

On appelle moment d'une force relativement à une droite ou relativement à un axe le produit de la projection de la force sur un plan perpendiculaire à la droite par la plus courte distance entre la ligne d'action de la force et la droite.

Celte plus courte distance est dite le bras de levier de la force relativement à la droite.

On considère le moment d'une force relativement à une droite comme positif ou comme négatif, suivant que, pour un observateur placé suivant l'axe, la force tend à faire tourner son bras de levier dans un sens convenu, ou en sens contraire.

On voit, d'après cela, qu'on peut encore définir en grandeur et en signe le moment d'une force relativement à une droite, le moment de la projection de cette force sur un plan perpendiculaire à la droite, relativement au point d'intersection de ce plan et de la droite.

Remarque L — Le moment d'une force relativement à une droite, comme le moment d'une force relativement à un point, est indépendant de la position qu'on attribue au point d'application de la force sur sa ligne d'action.

FORCES DISTRIBUEES DANS l'eSPACE. 445

Remarque IL — Le moment d'une force relativement à une droite située dans un même plan avec la ligne d'action de cette force est nul ; et, réciproquement, si le moment d'une force relativement à une droite est nul, cette droite est nécessairement située dans un môme plan avec la ligne d'action de la force.

Soit un système de forces concourantes; projetons-les sur un plan perpendiculaire à une droite quelconque (L). Le moment de la résultante des forces projetées, relativement au point d'intersection de la droite (L) avec le plan de projection, est égal à la somme des moments relativement au même point, des forces projetées. Mais ces derniers moments ne sont autres que les moments des forces données relativement à la droite (L); et comme la projection, sur un plan de la résultante d'un système de forces concourantes n'est autre que la résultante des forces projetées, le moment de cette dernière relativement au point d'intersection de la droite (L) avec le plan de projection est aussi égal au moment delà résultante des forces données relativement à cette droite. Donc : le moment, relativement à une droite, de la résultante d^un système de forces concourantes est égal à la somme des moments de ces forces relativement à cette droite,

Dans la réduction (§268) à deux d'un système de forces distribuées d'une manière quelconque dans l'espace, on ne fait que trois sortes d'opérations : i° composer entre elles des forces concourantes, oudécomposqr une force en deux autres qui concourent en un point de sa direction ; a'^ déplacer les points d'application de certaines forces sur leurs lignes d'action. Aucune de ces deux opérations n'altérant, d'après ce qui précède, la somme des moments des forces primitives, on a ce théorème :

Théorème. — Quand on réduit à deux un système de forces distribuées d^une manière quelconque dans V espace^ la somme des moments des deux résultantes relativement à un axe quelconque est égale à la somme des moments des forces primitives relativement à cet axe.

Soit donné un plan quelconque ; traçons-y une droite quelconque D. Nous pouvons toujours, sous les réserves indiquées (§ 269), ramener un système de forces à deux, dont l'un ait la droite D pour ligne d'action. Soit A la ligne d'action de la seconde résultante; le foyer F du plan donné est (§ 272) son intersection avec la ligne A. Or une droite quelconque, située dans ce plan et issue du point F, est située dans un même plan avec chacune des deux droites D et A; donc (§ 279) le moment relativement à cette droite de chacune des deux résultantes dirigées suivant D et A est nul. Il en est, par suite, de même de la somme des moments des forces données relativement à la droite dont il s'agit : ainsi, étant donné un système de forces distribuées d'une manière quelconque dans l'espace et un plan quelconque, il existe, dans ce plan, une infinité de droites telles que la somme des moments des forces données relativement à chacune de ces droites soit nulle. Ces droites concourent toutes en un point F. Ce point est ce que nous avons appelé le foyer du plan relativement au système de forces données. Môbius l'appelait le point nul {nul punct) du plan, expression justifiée par la propriété que nous venons d'indiquer.

Réciproquement, étant donné un point F de l'espace, par ce point il passe une infinité de droites telles que la somme des moments d'un système de forces relativement à ces droites soit nulle. Ces droites sont toutes situées dans un plan que nous appelons le plan focal du point F relativement aux forces données.

C'est par ces propriétés des moments des forces que M. Cremona définit le foyer et le plan focal (qu'il nomme pôle eX plan polaire). Nous avons vu qu'on peut établi rieurs propriétés sans faire usage des moments. On pourrait aussi les définir géométriquement en dehors de toute considération mécanique ; car les droites D et A sont celles dont Chasies et M. Mannheim ont tiré un si grand parti dans l'étude géométrique du mouvement des systèmes invariables. Nous ne pouvons, à cet égard, que renvoyer aux Mémoires de M. Mannheim et à son Traité de Géométrie cinématique, ainsi qu'aux travaux nombreux publiés par et depuis Plûcker sur les complexes linéaires.

FORCES DISTRIBUÉES DANS l'eSPAGE. 447

Gorainoira o'iauiuBBE et D'ÉauivALEiiGE Expamâss a l'aide des mo-

MERS. — Pour que des forces soient en équilibre, 11 faut et il suffit que les deux résultantes auxquelles on peut les réduire soientégales, dirigées suivant la même ligne et de sens opposés, ce qui exige que les sommes des projections de ces deux forces sur trois axes rectangulaires arbitrairement choisis et les sommes de leurs moments relativement à ces axes soient nulles, et, comme les sommes des projections et des moments des deux résultantes sont les mêmes que celles des forces qui les fournissent, on a :

Théorème I. — Pour que des forces quelconques appliquées à un solide invariable soient en équilibre^ il faut et il suffit que les sommes de leurs projections sur trois axes rectangulaires arbitrairement choisis soient nulles, ainsi qu^e les sommes de leurs moments relativement à ces axes.

De là et des principes relatifs à l'équivalence (§ 21) résulte immédiatement :

Théorème IL — Pour que deux systèmes de forces appliquées à un solide invariable soient équivalents j il faut et il suffit qu'ils aient mêmes sommes de projections sur trois axes rectangulaires arbitrairement choisis et mêmes sommes de moments relativement à ces axes.

Remarque. — Si les conditions du Théorème I pour un système de forces ou celles du Théorème II, pour deux systèmes de forces, sont remplies à l'égard d'un système d'axes de coordonnées, elles le sont à Tégard de tous les axes de l'espace.

GOMPOSmOH DES COUPLES ET DES rOECES EV aÉHtRAL. — Convenons de représenter le moment d'une force par rapport à un axe par une longueur portée sur cet axe dans un sens tel qu'un observateur placé suivant cet axe, la tète du côté duquel on a porté la longueur

représentative du moment, voie la force tourner son bras de levier dans un sens convenu, par exemple de gauche à droite.

D'autre part, on comptera positivement sur chaque axe les moments portés sur cet axe dans un sens convenu et négativement ceux qui sont portés en sens contraire.

La somme algébrique des moments d'un système quelconque de forces relativement à un axe est ainsi elle-même représentée par une longueur définie en grandeur et sens portée sur cet axe.

La somme des moments des deux forces d'un couple relativement à un axe se nomme le moment du couple relativement à cet axe.

Le moment d'un couple relativement à un axe perpendiculaire à son plan est égal à la somme des moments des deux forces du couple relativement au point où Taxe perce le plan. Il est donc constant (§ 115), quelle que soit la position de Taxe et égal au produit de la force du couple par son bras de levier.

La longueur qui le représente se nomme Vaxe du couple. Ainsi, Taxe d'un couple est une droite perpendiculaire au plan du couple, égale, à une échelle convenue, au produit de la force du couple par son bras de levier ou, si l'on veut, à Taire du parallélogramme défini par les deux forces du couple et dirigé dans un sens tel que, si on le place, par exemple, au milieu du bras de levier, un observateur placé suivant sa direction, les pieds sur le plan du couple, voie celui-ci entraîner son bras de levier, dans le sens des moments positifs, soit de gauche à droite suivant nos conventions habituelles.

On observera d'ailleurs que l'axe d'un couple est une droite définie en grandeur, direction et sens, mais non en position. On peut le placer dans une position quelconque.

De la définition même des moments d'une force relativement à un axe et de ce qui précède, résulte le théorème suivant :

Théorème III. — Le moment d^un couple relativement à un axe quelconque est égal, en grandeur^ direction et sens, à la projection sur cet axe de Vaxe du couple.

Théorème IV. — Pour que deux systèmes de couples soient équivalents, il faut et il suffit que leurs axes aient mêmes som mes géométriq ues .