FORCES DISTRIBUÊBS DANS L*£SPACE

En efiel, deux systèmes de couples sont deux systèmes de forces auxquels nous pouvons appliquer les conditions générales d*équivalence fournies par le Théorème II; mais deux systèmes de couples, quels qu'ils soient, ont des sommes de projections nulles et, par suite, égales, sur n'importe quels axes. Donc, pour que deux systèmes de couples soient équivalents, il faut et il suffît qu^ils aient mêmes sommes de moments relativement à trois axes; ou, en vertu du théorème III, que les sommes des projections de leurs axes sur trois axes rectangulaires soient les mêmes, ce qui exige que leurs axes, dans l'espace, aient mêmes sommes géométriques.

Ainsi, pour vérifier si deux systèmes de couples sont équivalents, on portera bout à bout les axes de chacun d'eux, on formera ainsi deux polygones; l'équivalence a lieu si les droites qui ferment ces deux polygones ont même grandeur, même direction et même sens, ou encore, on porte les axes de chaque système à partir d^un même point de Tespace; on les compose comme si c'étaient des forces, et les résultantes obtenues doivent être les mêmes pour les deux systèmes de couples.

Corollaire I. — Pour que deur couples soient équivalents^ il faut et il suffit que leurs axes soient égaux, parallèles et de même sens : il faut donc et il suffit que les couples soient placés dans des plans parallèles, qu'ails tendent à faire tourner leurs bras de levier dans le même sens et que leurs moments (produits de la force par le bras de levier) soient égaux.

Corollaire II. — Un couple est, d'après ce qui précède, entièrement défini par son axe, et toutes les modifications qui ne changent pas son axe peuvent être faites sans que le couple cesse d'être équivalent à lui-même. Ainsi :

Corollaire III. — On peut déplacer un couple d'une manière quelconque dans son plan ou dans un plan parallèle, modifier en même temps arbitrairement sa force, pourvu qu'on modifie le bras de levier de façon que le produit de la force par le bras de- levier reste invariable.

Corollaire IV. — Tout système de couples est réductible à un

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couple unique ayant pour axe la somme géométrique des axes des couples composants.

Corollaire V. — On peut décomposer un couple en plusieurs autres ; il su/fit pour cela de décomposer son axe en plusieurs autres lignes dont il soit la somme géométrique.

En particulier, un couple peut être remplacé par trois couples dont les plans coïncident avec trois plans coordonnés donnés, et ayant pour axes les projections de Taxe du couple donné sur les axes de coordonnées. Par suite, un système quelconque de couples peut être remplacé par trois couples dont les axes sont dirigés suivant trois axes de coordonnées rectangulaires ou obliques.

Théorème V. — Tout système de forces est réductible à une force unique S égale à leur résultante de translation en un point O arbitrairement choisi de V espace et à un couple unique qui prend le nom de couple résultant de la translation.

En effet, chaque force peut être (§ 116) transportée au point 0 pourvu qu'on lui adjoigne le couple dû à cette translation. Toutes les forces ainsi transportées se composent en une seule égale à leur somme géométrique, et tous les couples en un seul, ayant pour axe la somme géométrique des axes des couples composants.

Corollaire I. — i° La projection de la force urUque S sur un axe quelconque Ox issu du point O est égale à la somme des projections des forces données sur cet axe; 2° la projection de Vaxe r du couple résultant sur un tel axe est égale à la somme des moments^ relativement à cet axe, des forces données.

La partie i° est évidente; la partie 2° résulte des conditions d'équivalence même. La force S et le couple d'axe F formant un système de forces équivalent au système des forces données, la somme de leurs moments, relativement à un axe Ox^ est égale à la somme des moments des forces données relativement à cet axe. Mais le moment de la force S par rapport à Taxe Ox est nul, puisque cette force rencontre Taxe, et la somme des moments des deux forces du couple relativement à Taxe Ox est la projection, sur cet axe, de Taxe Y du couple.

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Corollaire II. — Considérons trois axes de coordonnées ;

soient

les sommes des projections d^un système de forces quelconques

sur ces axes, et

les sommes des moments de ces forces relativement à ces mêmes axes.

Les forces données sont équivalentes à trois forces A, B, C et à trois couples ayant pour axes les longueurs L, M, N.

Car, si l'on réduit les forces données à une force unique S passant par Torigine des coordonnées et à un couple correspondant d'axe r, la force S pourra être décomposée en trois forces dirigées suivant les axes de coordonnées et le couple en trois couples ayant leurs axes dirigés suivant ces mêmes lignes. Mais, en vertu du corollaire 1, les composantes de S sont précisément A, B, C el celles de F sont précisément L, M, N.

NOTE I. — DIMENSIONS DES PIÈCES d'uNB CONSTRUCTION. 447