OM
cos(tït — 2a -
Ih
OA
cos(2a
-co)
Ih
OA tin
cosu) cos2a -i- OA sino) sin2a — ni)cos2aH- t sin2a,
c'est-à-dire X, en vertu de la première des équations (i).
54o NOTE IV.
De celte construction, on tîre aîsément les propriétés des forces élastiques autour d'un point, que nous avons déduites des formules (4).
Les valeurs extrêmes d<î la pression normale O'P se produisent quand le point M est sur l'axe CJ^ en m ou en m',
Fig. 73.
Les valeurs correspondantes A'O/w et A'Om' de l'angle 2% diffèrent entre elles de w et, par suite, les inclinaisons a des éléments
correspondants diffèrent de —• Ces éléments sont donc rectangulaires.
Les valeurs correspondantes de S = MP sont nulles. Ce sont donc les éléments isostatiques.
Les valeurs extrêmes de la force tangentielle — C ou MP sont
OjJL et Ojji', égales au rayon de la circonférence, soit à i/ i' -^ — -'
et répondent au diamètre jjljjl' parallèle à CA. Les valeurs A'Ou et A'OjJi' correspondantes de l'angle 2a sont les précédentes au*;
mentées de-; donc les inclinaisons a correspondant aux valeurs
extrêmes de G diffèrent de - ou de 43'' de celles qui répondent
aux valeurs extrêmes de Db, c'est-à-dire que les lignes de pins grand effort langentiel sont inclinées à 4>" sur les lignes isoslatiques. C'est ce que nous avions déjà trouvé.
DISTBIBUnOH DES FORGES ÉLASTiaUES n, n^, t AftlSSAHT SUR DES ÉLÉ- MERS PARALLÈLES AUX AXES. — AFPUGATIOH AUX POUTRES DROITIS DE SEGTIOH GOHSTAHTE. — Prenons pour axe des x Taxe liorizontal de la poutre, dirigé de gauche à droite, et pour axe des j^ une verticale descendante.
Soient M et T le moment de flexion et l'effort tranchant dans une section verticale. Nous avons vu (§ 203) que la pression normale n sur un élément de cette section placé à une distance ii de
la fibre moyenne est
I étant le moment d'inertie de la section que nous regardons ici comme constante.
La lettre u représente l'ordonnée y du point où agit /?, donc
où M est une fonction de la seule variable x.
Les équations (2) donnent, en négligeant le poids delà poutre, c'est-à-dire en faisant Xq = o, Y© = o,
Ofz ânz __ driiz dtz dy dx ~~ "* dy éx ~~ *
En général, e est une fonction donnée de x et y. Ici la poutre est cylindrique, c'est-à-dire que e est une fonction de la seule variable j'. Donc
dtt z r)\î f)niZ ât
^ ^ Oy i-^ ôx ^ dy Ox
En intégrant, il vient
en désignant par Uq l'ordonnée de l'une des deux fibres les plus éloignées de la fibre mo}enne.
La composante tangentielle sur un élément horizontal tangent
à cette fibre est évidemment nulle, puisque cet élément est à la surface de la poutre. Il en résulte qu'il n'y a pas de constante d'intégration à ajouter.
Si Wi est la seconde fibre la plus éloignée, on doit aussi avoir pour cette fibre t = o. Celte condition est remplie d'elle-même.
En eifet, représentons {Jig- y 4) la section de la poutre. Soîl G rhorizontale passant par le centre de gravité.
Fig. 7'i-
Si Êf/j' = dS est l'élément de surface compris entre les horizontales d'ordonnées j' et y -j- flj^ on a
/ V'df = fydS, ^'^ il.
l'intégrale étendue à toute la surface. Cette intégrale est nulle en vertu d'une propriété connue du centre de gravité.
Il est bon de vérifier que la résultante des actions tangentielles l donne bien l'effort tranchant T. On a, en effet (§192),
donc d\)ii
dy\
dx
/ itdf^— df zydy
ou, en intégrant par parties,
S dy I tydy=r j tydy— j ty-dy.
Le premier terme s'annule pourj^ = Uq et pour^' = W| , comme il vient d'être rappelé.
Donc
par suite
f dy I tydy^— j zy^df=z \,
I tzdy = T, c. Q. F. D.
On lire de (lo), à cause de T --
dx
T r^ (u) a = — j / tydy;
d'où
dtt 1 dT r^ j
Cl, par suite, la seconde des équations (9) donne
11 n'y a pas de constante à ajouter, la pression à la surface de la poutre étant supposée nulle sur la fibre extrême caractérisée par «0, que nous regardons comme la fibre inférieure, si les charges sont posées à la partie supérieure, et vice versa.
Soit e une valeur convenable comprise entre toutes celles que prend e depuis j' = «0 jusqu'à y = Ui. On aura
/ tydy = 'l f ydy==^l^-'-^'
Si 0 est une longueur de l'ordre de grandeur des dimensions de la section de la poutre, dimensions supposées très petites, on voit:
1** Par l'équation (9), en observant que le moment d'inertie I est de l'ordre de grandeur de 8* et - de l'ordre de 8^, que n est de l'ordre de \, ;
2° Parréqualion.(i2), que t est de l'ordre de „- = 0 x \- ou do Tordre de on, soit incomparablement plus petit que n ;
3° Par l'équation ( 1 3) en raisonnan t sur la double in tégrale comme nous Pavons fait sur celle ftydf^ que Hx est de Tordre de o' x v; ou de ô'/î, c'est-à-dire encore beaucoup plus petit que t.
Nous admettrons donc qu'on néglige cette pression normale 77| exercée sur les éléments horizontaux de la poutre.
Nous aurons ainsi, en résumé, pour les forces élastiques /?,/»(, t en un point a{x^y)^
(i4) /1---J-J, ^=j-^J ^^"^^""Til '"^^^' «l = ^^
où I; moment d'inertie de la section de la poutre, est une constante; M, moment de flexion relatif à la section d'abscisse x esl une fonction de cette seule variable ; e, épaisseur de la poutre perpendiculairement à son plan de symétrie au point considéré a, esl une fonction de la seule variable^.
On voit bien que l'hypothèse (§ 219) consistant à supposer lc$ forces tangentielles t uniformément réparties dans chaque section est inexacte; leur répartition dépend de e ou de la forme de la section.
Dans une poutre à section rectangulaire, e est constant et
Soit h la hauteur de la poutre ; e étant son épaisseur, on a «„ = -
I = s ( ^^^ ^.rf,- = » = , , = -,. (- - V.)
et comme, pour une section donnée, TelTort tranchant T a une valeur donnée, on voit que t varie avec ^', suivant une fonction parabolique.
UftNES ISOSTATiaUES ET LICITES DE PLUS SRAHD EFFORT TAHaSHTICL DAXS UHE POUTEE DEOITE. — Si l'on fait /? i = o dans les formules (4 ), elles
deviennent
On a de plus
3f^ = t sinaa h — (1 -h cos2a)
i-} z= t cosaa siD2a.
Considérons {/ig- 75) une portion de poutre PQP'Q' dans laquelle le moment de flexion M soit, pour fixer les idées, positif.
Du côté de la fibre extrême supérieure P'Q' où j' est négatif, n est positif. L'action tangenticlle t sur un élément horizontal tangent à cette fibre est évidemment nulle. Donc ^ se réduit à son
second terme dont le coefficient est positif. Le maximum a lieu pour cos2a = i. Donc, le long de PQ, tous les éléments verticaux subissent des compressions maxima et font ainsi partie du système des lignes isostatiques comprimées.
Sur la fibre moyenne, soit pour j^ = o, on a n = o, d*où
3(^ = t sin2a.
Le maximum de 3(l>dL lieu pour sin 2a = ± i > ce qui indique que les lignes isoslatiques coupent toutes la fibre moyenne sous un angle de 45®.
Le long de la génératrice extrême inférieure PQ, on a encore t = o; mais n et, par suite, X sont négatifs, c'est-à-dire que tous lejs
éléments sont tendus, sauf celui tangent à PQ(pour lequel a= —
et cos 2 a = — 1 , qui n'est ni tendu, ni comprimé ; 3^ = o est donc I. 35
546 NOTB IV.
en ce point la compression maxima et elle a lieu pour rélémenl horizontal).
Donc, les lignes isostatiques comprimées sont normales à FQ', tangentes à PQ, coupant sous un angle de 4^° la fibre moyenne; elles ont la forme de la ligne tracée en gros trait.
Les lignes isostaliques supportant des tensions sont orthogonales aux précédentes. Elles sont donc tangentes à P'Q', normales à PQ et coupent aussi la fibre moyenne à 45**.
Elles ont la forme de la ligne tracée en trait fin.
Les lignes de plus grand glissement coupent, comme nous savons, les lignes isostatiques sous des angles de 45°; elles sont donc tangentes à la fibre moyenne et coupent les génératrices extrêmes PQ, P'Q' sous l'angle de 45^
Des considérations analogues sont applicables aux arcs ; si l'on néglige, comme on le fait, /ii, ainsi que la compression de la fibre moyenne, les courbes jouissent des mêmes propriétés que pour les poutres droites.
Les figures a et 6 {PL XXIV) donnent, l'une les lignes isostatiques, l'autre (en pointillé) les lignes de plus grand effort tangentiel dans une poutre posée sur deux appuis et chargée symétriquement.
Aux deux appuis, M = o; donc /i = o et, par suite,
3^=^sin2a, G = <cosa«,
qui monlrentquelesvaleursextrêmesdeXontlieupoura = riz 45**. Vinsi, les lignes isostatiques doivent couper les sections des appuis sous un angle de 45" {fig- a). Au contraire {fig. 6), les lignes de plus grand glissement doivent leur être tangentes.
Pour la section du milieu, M est maximum, sa dérivée et, par suite, T = o. Donc aussi ^ = o et
^= -(i-h cosaa) = p (i-H- cosaa),
G = smsa.
La valeur maxima de X, dans cette section, a Heu pour cos aa = 1 ou a = o, c'est-à-dire que la moitié supérieure de celle section est une ligne isostatique comprimée ; de même, on verrait que la moitié inférieure est une ligne isostatique tendue.
RéPAATITION DES PRESSIONS INTÉRIBUAES. 547
Les lignes comprimées sont marquées en gros traits; les lignes tendues tracées en traits plus fins sont symétriques des précédentes par rapport à la fibre moyenne si la section de la poutre est ellemême symétrique par rapport au plan horizontal contenant le centre de gravité.
Pour la section du milieu, 5 atteint ses valeurs extrêmes pour sln 2a.=z±\, a 1= dz 43°. Au point où cette section coupe la fibre moyenne, on a /i = o et, par suite, G = o, quel que soit a. En ce point, comme /i =: ^ = o, les éléments ne supportent aucune pression, quel que soit a.
