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et le minimum pour a = - •
FORCE TAHaCHTIELLE VAXIIIA. -- Théorème. — En chaque point, il existe deux éléments rectangulaires inclinés à 4^** sur les éléments isostatiques, supportant des forces tangentielles égales en valeur absolue et dont la valeur commune^ égale à la demidifférence des forces principales, est maxima, c^ est-à-dire supérieure à la force tangentielle que supporte tout autre élément passant par le point considéré.
En effet, prenons toujours les axes parallèles aux éléments isostatiques pour axes de coordonnées, de façon que
/ = o, /i = A, /Il = B ; la seconde des équations (4) devient
to = — sinaa,
qui a son minimum positif et égal à ^ pour 2 a = — et son
maximum négatif égal à pour 2 a = - •
Donc, les valeurs correspondantes de a sont -7 et -7- > c'est-à-dire
que les éléments qui supporlenl les forces tangenlîelles maxiina sont ceux qui font des angles de 4'^" avec les axes de coordonnées ou avec les éléments isostatiques. Oa voit de plus que les forces langentlelles qu'elles supportent sont égales, au signe prùs, à la demi -différence des forces principales.
UflHES ISOSTATiaUES ET UftlTES D'EFFORTS TUftEimELS MAXIMA. -
Partant d'un point a, traçons l'un des deux éléments isostatiques ab {fig- 72) qui y passe; par son extrémité 6, traçons de même l'élément bc infiniment voisin; en continuant ainsi de proche en proche, on obtiendra une courbe abcd.
Fig. 71.
En partant d'autres points ^i, a.2, . . . , on aurait ainsi une série de courbes telles que chacune d'elles ne supporte, sur toute son étendue, que des actions normales.
Si, en partant des points a, b, c, on avait construit de même les éléments isostatiques respectivement perpendiculaires aux précédents, on aurait obtenu une seconde série de courbes coupant partout les premières à angle droit et jouissant aussi de la propriété de ne subir que des actions normales. Nous les tracerons en gros traits ou traits fins suivant qu'elles sont comprimées ou tcuidiies. Elles doivent, d'jiprès un théorème plus général de Lame,
se nommer lignes isoslatiques. C'est suivant elles que s^exercent les pressions ou tensions maxima.
Concevons, à pressent, que l'on construise les deux systèmes de lignes coupant toutes les précédentes à 4 )"•
C'est (§ o) suivant ces nouvelles lignes que s exercent les actions tangentielles les plus grandes.
Ainsi, des qu'on connaît Tun des systèmes de lignes isostatiques, non seulement on peut trouver l'autre, mais on peut trouver aussi les deux systèmes de lignes qui supportent les actions tangentielles les plus grandes.
YALEUBS DES FORCES HOBMALES ET TAHaEHTIELLES MAZQIà EN GHAttUE POm. — Pour simplifier les démonstrations, nous avons dans ce qui précède, supposé qu'on prenait pour axes de coordonnées les directions des forces principales. Revenons à des axes fixes quelconques.
La direction des éléments isostatiques est donnée par ^ = o ou parla seconde des équations (4)y
(5) tanîîaa= •
^ n — fil
En portant les deux valeurs qui en résultent pour l'angle a, dans la première des équations (4),
ar^ = fsin2aH cosaaH — >
on aura les valeurs des forces principales A et B. Or,
a< n — Tix
smaa— — y cosaa =
z=/(/i — /ij )« -h 4 ^* ziiyJK^n — nj-^-f- 4 t-
d'où, pour ces valeurs,
(6) X^^'Lttl^^t^^i^^L
Tune des forces cherchées répond au signe + du radical, l'autre au signe — .
On peut, de même, déterminer la valeur maxima de G. Elle
répond à
ou
n, — n — ^ sinia -h cosaa = o
/Il — n tangua = •
En appelant a' l'un des angles fournis par cette équation et comparant à (5), on voit que
tang2 a tangaa' = + i,
c'est-à-dire que les directions définies par les angles a a et a a' seraient rectangulaires, et par suite, celles définies par a et x' sont à 4^^) comme nous le savions.
On tire de (7)
rii — n it
sinaa= - — — - - •> cosaa =
-Jz v'(ni ~ ny~-i- 4 /2 -Jz v/(ni — n)^-»- 4 1*
d'où
(8) ç; = ih /^2 -f- (n, -^n)i\
ce qui montre encore qu'en appelant A et B les forces principales, c'est-à-dire les deux racines de (6), on a bien, comme nous l'avons trouvé,
BEPBÉ8EIITATIOH ftÉOMéTUaUE DE K. D'OGAftHE DES PBESSI0H8 EH OT POOrT. — Dans la troisième édition de son remarquable Traité de Résistance des Matériaux [^, 2^7)7 ^ï* ^^« Gollignon indique une construction due à M. Maurice d'Ocagne, Ingénieur des Ponls et Chaussées, qui permet de trouver très simplement les forces élastiques exercées sur les divers éléments passant en un point donné dans le cas particulier où la force normale /ii sur les éléments parallèles à une direction fixe (prise pour axe des x) esl nulle.
RÉPARTITION DES PRESSIONS INTÉRIEURES. SSq
La construclion s^étend immédiatement au cas général et peut alors s'effectuer ainsi :
Théorème. — Connaissant les composantes normale et tangent telle, n, n^ et t des forces élastiques exercées sur les deux éléments parallèles aux axes de coordonnées passant en un point quelconque du plan de symétricy pour trouver les composantes normale et tangentielle J^ et (B de la force élastique exercée sur un élément passant par ce même point et formant un angle quelconque a ai^ec la verticale, construisez en un point arbitrairement choisi O du plan {/ig. 73, p. 54o) deux axes rectangulaires G^ï», Cs. Sur le premier, portez une Ion' gueur GO égale à la valeur absolue de ^(n — /ïi), du côté positif C3f^ ou du côté opposé suivant que ^ (n — nt) est positif ou négatif; de même, portez 00' égal à la valeur absolue de — 7(^-4-/11) du côté OX ou du côté opposé suivant que — |{/i -h /Il ) 65^ positif ou négatif.
Sur l'axe G(r, portez une longueur G A égale à la valeur absolue de t du côté fixé par son signe.
Ceci fait, du point O comme centre avec OA pour rayon, décrivez une circonférence et menez le diamètre AOA'.
Enfin ^ faites l'angle A'OM = 2a et menez l'ordonnée MP du point M ainsi déterminé sur la circonférence.
Je dis que l'ordonnée MP représente — G et Tabscisse O'P représente X. En effet, soit co Tangle AOG. On a
MP = MO sin(in — aa-i- (o;= MO sin(2a — w), MP = MO sin 2 a ces u) — MO sin w ces 2 a
= OC sinaat — AG ces 2 a = — f ces 2 a -4- ^ (/i — /ii) sin2a,
c'est-à-dire — Ç, en vertu de la seconde des équations {f\). De même,
OP
