CHAPITRE VIL

SUITE DE LA RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. LES FIGURES RÉCIPROQUES ET LA MÉTHODE DE CULlfANN.

SÉnimOH DS8 naUBES aÉOMÉTBiaUSS FOBMtES PAR LES STSTtim AR- WXnii GOHSIDÉBÉS DAH8 CE GHAPITBE. — Considérons une figure formée de droites reliant des points distribués d'une manière quelconque dans un plan; ces points sont ce que nous appellerons les sommets de la figure. Toute portion de droite comprise entre deux sommets sera appelée une ligne ou côté de la figure. Enfin nous désignerons par le mot nœud l'ensemble des côtés partant d'un même sommet.

Nous ne considérerons que^^des figures dont les côtés passent au moins par deux sommets et nous pouvons admettre que chaque côté passe par deux sommets seulement. Il suffira pour cela, si i sommets sont placés sur une même ligne droite, de regarder les i—i segments qu'ils déterminent sur cette droite comme autant de côtés distincts de la figure.

FlfiUBES SÉrOBlEAfiLES, 8TBICTE1IEIT IHDÉrOBlEAfiLES ET A UfiHES SUR- ABOESAITES. — Nous diviserons les figures géométriques dont il Went d'être parlé d'abord en deux classes : figures déformables ou dont les angles peuvent varier sans que les longueurs des côtés varient, ei figures indéjormables dont les angles sont déterminés lorsque les longueurs des côtés sont données.

Les figures indéformables comprennent elles-mêmes deux catégories qu'il importe de distinguer : celles qui sont telles qu'elles cessent d'être indéformables lorsqu'on supprime un seul de leurs côtés seront dites strictement indéformables ou strictement dé-

l48 2' SECTION. — CHAP. VI.

finies de forme} celles, au contraire, qui ne perdent pas la qualité d'être indéformables lorsqu'jon supprime un ou plusieurs de leurs côtés seront dites alignes surabondantes j parce qu'elles contiennent plus de lignes qu'il n'est strictement nécessaire pour les définir de forme.

Un triangle est une figure strictement indéformable; un quadrilatère articulé est déformable; une figure formée par un quadrilatère et une de ses diagonales est strictement indéformable; un quadrilatère complet, c'est-à-dire la figure formée par les six lignes joignant quatre points d'un plan, renferme une ligne surabondante. Cinq de ces six lignes définissent entièrement la forme de la figure, de sorte que la sixième peut être trouvée, soit analytiquement, soit graphiquement à l'aide des cinq autres.

Ainsi, entre les longueurs des six lignes qui joignent quatre points d'un plan, il existe toujours une relation qui permet de trouver l'une d'elles en fonction des cinq autres.

POLTftOHE COMPLET A n SOMMETS; HOMBBE DE GOHDITIOHS HÉGESSAIBES POUR LEDEFDflB. — La figure formée par l'ensemble des lignes joignant n points d'un plan deux à deux pourrait se nommer un polygone complet à n sommets. Une telle figure renferme — ' "~

côtés. Mais il existe évidemment entre leurs longueurs un certain nombre de relations.

Pour les trouver toutes, envisageons deux des n sommets choisis arbitrairement A et B {fig^ 20, p. i49)« Les sommets restants sont au nombre de n — 2; les lignes qui. les joignent deux à

deux, au nombre de •

Je dis que toutes ces lignes, dont aucune n'aboutit aux points A et B, peuvent s'exprimer en fonction de celles qui aboutissent en ces deux points.

En effet, soit CD une ligne quelconque comprise entre deux sommets C etD. Entre les six lignes qui joignent les quatre points A, B, C, D, il existe une relation qui permet d'exprimer la ligne CD en fonction des cinq autres.

RECHERCHE DBS FORCES ÉLASTIQUES. l49

Ainsi, entre les — lignes joignant les n points, il existe

— relations. Ce sont d'ailleurs les seules distinctes qui

puissent exister; car toutes les lignes, telles que CA et CB, joignant un sommet G aux deux points A et B, peuvent être prises arbitrairement, ainsi que la ligne AB.

Par chaque sommet G, passent deux lignes aboutissant en A et B, soit, pour les n — 2 sommets G, an — 4 lignes plus celle AB, en tout 2/1 — 3 qui sont arbitraires. Si on se les donne, toutes les

Fjg. ao.

autres, au nombre de ^^ -» s'en déduisent; elles sont donc

surabondantes. Les 2n — 3 lignes arbitraires et les ~

qui sont déterminées quand les premières sont données, forment d'ailleurs bien la totalité des lignes de la figure ; car on a identiquement

(/z--90(n-~3) n(n-i) an — i -h = •

Si, dans les équations existant entre les longueurs de tous les côtés de la figure, au lieu de regarder comme connues toutes les lignes, au nombre de 2/1 — 3, qui aboutissent aux deux points particuliers A et B et comme inconnues les autres, on suppose donnés 2/1 — 3 côtés quelconques, on pourra en déduire les côtés restants.

11 va de soi qu'il faut, pour cela, que les côtés qu'on se donne soient indépendants les uns des autres, c'est-à-dire que, parmi eux, il ne s'en trouve pas qui soient tellement choisis, qu'entre leurs longueurs il existe une relation en vertu des équations mêmes qu'il s'agit de résoudre. Telles seraient six lignes joignant quatre points delà figure; les longueurs de six pareilles lignes ne sauraient être

l50 2' SECTION. — CnAP. VIÏ.

données arbitrairement sans que les données fussent en contradiction avec les équations à résoudre, et le problème serait impossible; si on les donnait de façon que la relation qui existe entre elles fût satisfaite d'elle-même, cela équivaudrait à n'en donner que cinq distinctes, et le problème serait indéterminé.

Mais, si les 2/i — 3 côtés donnés sont indépendants, les équations fourniront les grandeurs de tous les autres côtés de la figure en fonction de ceux-là.

Les expressions qu'on trouvera indiqueront, dans chaque cas, si le problème est possible ou non. Ainsi, trois côtés d'un triangle le définissent ; mais, pour qu'on puisse le construire, il faut que le plus grand côté soit moindre que la somme des deux autres. Dans toute figure, les côtés donnés devront ainsi satisfaire à certaines inégalités que l'Analyse ou la Géométrie définira pour chaque figure.

Mais, si une figure est construite et, par conséquent possible, la connaissance de 2/i — 3 de ses côtés (supposés distincts) définira les autres. Ainsi :

Théobème. — Pour que les - — — ^ distances mutuelles de

n points d'un plan soient déterminées, il faut et il suffit que in — 3 d^ entre elles soient connues.

Or, quand on connaît toutes les distances mutuelles de divers points, on connaît aussi les angles que ces lignes font entre elles, puisque un quelconque de ces angles fait partie d'un triangle dont on connaît les trois côtés. On a donc tous les éléments qui constituent la forme de la figure. Donc : une figure à n sommets est déterminée de forme par la connaissance de 2,n — Z de ses côtés.

HOKBBE DE COTÉS D'UIE naUBE DÉFOBIIABLE, STBICTEMER IMIIËloa- ■ABLE, A UfiHES SURABOHBAHTES. — D'après cela, soit m le nombre des côtés existant réellement dans une figure donnée à n sommets-,

m sera au plus égal a ;

Posons

m — in — 3-+- A:,

k étant un nombre entier.

BECHERCHE DES FORGES ÉLASTIQUES. l5l

I** Si k < o, la figure est déformable; car, même en se donnant les longueurs de tous ses côtés, la forme de la figure n'est pas définie et ses angles peuvent varier.

2"* Si Ar = o, la figure est strictement indéformable ;

3** Si A >o, la figure contient k lignes surabondantes, c'està-dire que, 2n — 3 lignes de la figure étant données, la connaissance des k autres s'ensuit.

jutnsmn ^iimtmmL des iwnsA ubbemeht diutables. — Nous

dirons qu'une figure, comme celles dont il vient d'être parlé, est librement dilatable, lorsque chaque côté peut à volonté se dilater ou se contracter, dans certaines limites, sans que les autres côtés en soient influencés. Ceci exige que chaque côté puisse être séparément allongé ou raccourci dans certaines limites, tous les autres côtés conservant rigoureusement leurs longueurs. En particulier, la longueur de chaque côté doit pouvoir être augmentée ou diminuée d'une quantité infiniment petite, tous les autres côtés conservant leurs longueurs, soit rigoureusement, soit aux infiniment petits près d'ordre supérieur à l'allongement positif ou négatif du premier côté.

n est évident que, pour qu'une figure soit librement dilatable, il est en général nécessaire et suffisant qu'elle ne contienne aucune ligne surabondante, en d'autres termes, qu'elle soit déformable ou strictement indéformable.

La condition est en général nécessaire. Prenons, en efiet, une figure renfermant une ligne surabondante, par exemple les six lignes joignant quatre points. Comme les longueurs de cinq de ces six lignes déterminent la longueur de la sixième, on ne peut pas en laisser cinq invariables sans que la longueur de la sixième reste elle-même invariable; inversement, si la longueur de l'une d'elles change d'une quantité finie ou infiniment petite, les longueurs des cinq autres changeront, en général, de quantités de même ordre. Le même raisonnement s'applique, à plus forte raison, si la figure contient plus d'une ligne surabondante (*).

(') Ce raisonnement peut toutefois être en défaut.

Considérons, par exemple, une figure renfermant une ligne surabondante, de

I^'i 'Jr SECTION. — CHAP. VII.

La condition est aussi, en général, suffisante.

En effet, dire qu'une figure ne contient aucune ligne surabondante, c'est dire que tous ses côtés sont indépendants les uns des autres, qu'ils peuvent être choisis arbitrairement; par conséquent on peut augmenter ou diminuer la longueur de l'un quelconque d'entre eux, les longueurs des autres restant invariables, sans que la figure cesse d'être possible (*).

sorte qu'entre les longueurs ap a,, a,, ..., a„ des m côtés qui la composent, il existe une relation géométrique pouvant s'exprimer par une certaine équation

Concevons qu'on construise une nouvelle figure infiniment peu différente de la première avec des côtés de longueurs a,-f-Sa,, a,-h 6a,, a,-f-6«,, .... Entre les longueurs de ses côtés, on aura la relation

/(a,-f-5a„ a,-r-Sa„ «,-h6ûr„ ..., «,„+6a„) ^ o, et, en retranchant les deux équations membre à membre,

qui indique bien qu'en général les m côtés ne peuvent pas recevoir des allon- . gcments indépendants. Mais supposons qu% les m lui'igutuis a„ a^, a,, ..., o^ ^ «vMïtr choisies de manière à satisfaire aux m équations

d/ df df àf

Alors la relation entre les aHongements Sa,, 6a,, ..., 6a^ se trouve satisîaite, quels que soient ces allongements. Dans ce cas, quoique la figure contienne une ligne surabondante, ses divers côtés peuvent recevoir des dilatations infiniment petites, entièrement arbitraires.

Si l'on avait seulement ~ = o, alors le côté a, pourrait être dilaté, tous les

autres conservant leurs longueurs.

(*) Mais ici aussi il y a des cas d'exception qu'il importe de signaler.

Quoique les côtés d'une figure strictement définie de forme soient indépendants, en ce sens qu'il n'existe entre eux aucune équation permettant de déduire algébriquement l'un d'eux de la connaissance des autres, la possibilité de la figure exige, comme il a été dit plus haut, que les longueurs de ses côtés satisfassent à des conditions d'mé^a/iïe qui font que, tous les côtés, sauf un, restant de longueurs invariables, la longueur du dernier ne puisse varier qu'entre certaines limites. Si donc la figure donnée a été constituée de façon que le côté en question ait précisément l'une des valeurs extrêmes qu'il ne peut franchir sans que la ligure cesse d'être possible : i" si c'est une valeur roaxima qu'il a, on ne pourra pas le dilater; 2" si c'est une valeur minima, on ne pourra pas le contracter, sans que

BECHERCHE DES FORGES ÉLASTIQUES. l53

DÉnnnOH des naUBSS RËCIPROOtUES. — Deux figures, comme celles définies au § 87, sont dites réciproques lorsqu'elles satisfont aux conditions suivantes :

1** Qu'à chaque ligne ou côté de Tune réponde une ligne

la figure cesse d*ètre possible. On conçoit donc qu'on puisse former de la sorte des figures strictement indéformables qui ne soient pas librement dilatables.

Comme exemple, considérons ijig. i\) deux triangles ABC, abc^ et relions les sommets par trois droites A a, B6, Ce. On aura une figure à six sommets et neuf côtés. Elle a le nombre de côtés voulu pour être slrirlemcnt indéformable ou strictement déterminée de forme; car, si /i - 6, on a 2/1 — 3 39.

Pour la construire, plaçons le triangle ABC dans une position fixe quelconque ; traçons ensuite le côté A a dans une direction arbitraire et achevons le quadrilatère ABo^ dont la position est déterminée pour chaque position de A a.

Si ensuite on achève le triangle a6c, on voit que son sommet c est aussi déterminé pour chaque direction de A a. Si l'on fait varier cette dernière direction, le point c décrit une certaine courbe.

Si du point C comme centre, avec le côté donné Ce pour rayon, on décrit une

circonférence, elle coupera la courbe lieu du point c en un certain nombre de points qui fourniront un nombre fini de solutions du problème.

Considérons l'une des figures ainsi obtenues; ses angles sont déterminés, c'està-dire que la figure est bien indéformable.

En général aussi, elle est librement dilatable; si on laisse tous les côtés donnés invariables, qu'on change un peu la longueur de l'un d'eux, on pourra, avec ces nouvelles données, construire, en général, une nouvelle figure un peu différente de la première, et une seule.

Ainsi, chaque côté peut, en général, être dilaté ou contracté indépendamment des autres sans que la figure cesse d'être possible.

Mais il y a un cas d'exception.

Supposons que les premières données, celles à l'aide desquelles on a tracé la figure ABC a^c, soient telles que l'arc décrit du point C comme centre avec le

l54 a* SECTION.— CHAP. Vïl.

parallèle de l'autre, et une seule; deux lignes qui se correspondent ainsi seront dites réciproques l'une de l'autre ou correspondantes ;

2^ Qu'à chaque nœud (ensemble des lignes issues d'un sommet) de l'une réponde, dans l'autre, un polygone fermé.

Une figure quelconque n'admet pas nécessairement une figure réciproque. Pour qu'une figure admette une réciproque, il est nécessaire (mais non suffisant) :

1° Que chacun de ses nœuds comprenne au moins trois côtés;

2° Que, parmi les systèmes de polygones fermés que comprend la figure, il en existe au moins un, tel que chaque côté de la figure fasse partie de deux des polygones de ce système et de deux seulement.

En efi*et,

i*' A un nœud de la figure considérée doit répondre un polygone fermé dans la figure réciproque; et, comme un polygone fermé

côté donné Ce pour rayon, au lieu de couper en c le lieu décrit par ce point, lui soit tangent.

Il suffit, pour cela, tous les côtés autres que Ce ayant été choisis à volonté (sous réserve, bien entendu, que les triangles ABC, abc puissent être construits avec les côtés donnés) qu'on prenne pour le côté Ce la longueur de l'une des normales abaissées du point C sur le lieu des points c. Supposons, pour fixer les idées, que cette normale représente la plus courte distance du point C à la courbe, lieu des points c. Alors la figure ABC adc est encore possible; mais elle cesse de l'être si l'on prend pour Ce une nouvelle valeur un peu plus faible que la normale dont il s'agit. Ainsi, dans ce cas, la figure ABCa^e, quoique parfaitement et strictement déterminée de forme, n'est pas librement dilatable, puisque, si le côté Ce se contractait, la figure ne pourrait plus exister.

Ce cas est celui où les trois côtés A a, Bb, Ce concourent en un même point. En eflct, la tangente au lieu du point c est facile à construire. Ce point est invariablement lié aux deux points a ci b qui sont eux-mêmes assujettis à se déplacer sur des circonférences décrites respectivement des points A et B comme centres. Donc le centre instantané de rotation de la figure invariable abc est le point de rencontre S des normales A a, B 6 aux trajectoires des deux points dont il s'agit; et, d'après les principes delà Cinématique, Se est la normale au lieu du point e.

Si donc on veut que la ligne Ce soit elle-même normale à ce lieu, il faut que les trois points S, e, C soient en ligne droite.

Sauf les cas d'exception de ce genre pour l'étude complète desquels nous renvoyons à la note relative à ce sujet (t. II de cet Ouvrage), une figure strictement indéformable ou strictement définie de forme est aussi librement dilatable, tandis qu'une figure à lignes surabondantes n'est pas librement dilatable, même infiniment peu.

RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. l55

comprend au moins trois côtés, il faut que chaque nœud delà proposée comprenne au moins trois côtés ;

2** Un côté d'une des figures considérées passe (§ 87) par deux sommets et deux seulement.

Donc, chaque côté de la figure réciproque, si elle existe, fait partie de deux nœuds, et de deux seulement; son correspondant, dans la proposée, fera donc partie de deux polygones fermés répondant à ces nœuds et ne fera partie d'aucun autre polygone fermé répondant à un nœud de la réciproque.

Il existe donc bien, dans la proposée, au moins un système de polygones fermés jouissant de la propriété énoncée ci-dessus (2").

DÉnnnOHDES STSTiUESABTIClTLÉS- — Supposons à présent que chaque sommet soit (§ 73) un point d'articulation, que chaque côté soit la ligne de jonction des deux points d'articulation d'un corps; nous aurons l'idée de la forme géométrique des charpentes ou systèmes articulés que nous nous proposons d'étudier.

A la place de chaque côté il faut concevoir placé un corps symétrique par rapport au plan de la figure, de forme d'ailleurs quelconque, traversé par deux charnières placées aux extrémités de ce côté.

On voit, d'après cela, que chaque corps est traversé par deux charnières, et par deux seulement, mais qu'une même charnière peut traverser un nombre quelconque de corps, puisqu'elle en traverse autant qu'il y a de côtés de la figure géométrique, issus du sommet que forme le centre d'articulation de la charnière considérée.

En général, les corps usités se réduiront à de simples barres cylindriques de faibles dimensions transversales. C'est pourquoi nous désignerons souvent les corps sous le nom de barres ou tiges; mais il importe de remarquer que chaque corps peut être de forme quelconque, de sorte ^vl il peut lui-même être formé d^un système de barres, et cette considération nous permettra de décomposer des systèmes articulés plus ou moins complexes en d'autres plus simples et faciles à étudier.

l56 2* SECTION. — CHAP. VII.

OBJET DU FBOBLilIE A RËSOUDBE. — Des forces données toutes situées dans le plan de symétrie agissent soit sur les corps, soit sur les charnières, c'est-à-dire sur les points d'articulation (points que l'on doit regarder comme distincts des corps auxquels ils servent de pivots) et l'on demande : i° de trouver les conditions d'équilibre de ces forces ; 2° ces conditions étant supposées remplies, de déterminer les réactions que les corps éprouvent de la part des charnières; 3° les résultantes des forces élastiques qui s'exercent dans une section quelconque faite dans l'un des corps.

Nous savons que le premier problème est toujours soluble par la Statique (§ 50); nous savons aussi que, une fois connues les réactions que chaque corps éprouve de la part des deux charnières qui le traversent, on peut tracer le polygone des pressions et, par suite, connaître les résultantes des actions élastiques dans l'une quelconque des secftions qu'on y ferait. Ainsi, la principale difficulté consiste dans la résolution du problème 2**.

Nous nous proposons de montrer qu'il peut être résolu par la Statique toutes les fois (sans exception) que la figure formée par la charpente que l'on considère est librement dilatable et seulement dans ce cas. Mais, avant de nous occuper de cette proposition fondamentale, nous la vérifierons sur un type de charpente particulièrement important par ses applications et intéressant en raison de la facilité avec laquelle il se prête aux méthodes graphiques.

PBIHGIPES APPUGABUS8 A TOUS LES STSTËMfiS ABTIGULÉS. — Pour qu'un système articulé soit en équilibre^ il faut et il suffît que chacune des parties dont il est composé, c'est-à-dire chaque corps et chaque charnière, soit séparément en équilibre.

Chaque corps peut être regardé comme libre sous l'action des forces qui lui sont directement appliquées et des réactions qu'il éprouve de la part des charnières supposées au nombre de deux qui le traversent.

RECHEHCHB DES FORCES ÉLASTIQUES. l57

Considérons (Jig* a) un corps A articulé en a et 6 avec d'autres corps en nombre quelconque.

On peut le détacher de tout le reste et le regarder comme libre (Jig, p et p', p. i58), pourvu qu'aux forces qui lui sont directement appliquées on adjoigne des réactions convenables passant (§50) par les points d'articulation.

1* Si {Jig- P) aucune force directementappliquée n'agit sur lui, il sera en équilibre sous la seule influence des réactions des charnières. Ces forces, que nous désignons par /^^ et /^'^, devront donc être égales, dirigées suivant la droite ab et de sens opposés.

Si ces forces sont, comme sur la figure, dirigées de façon à com-

Fig. a.

primer le corps A suivant la ligne aè, ou, comme nous dirons par abréviation, de façon à comprimer cette ligne, ce sont des prèssions; dans le cas contraire, des tensions.

L'équilibre du corps A se trouve ainsi assuré, quelle que soit la grandeur commune des forces /^^ ^^fia' On peut inversement détacher ijig' a) ce corps sans troubler l'équilibre du reste du système, pourvu qu'aux charnières a et 6 on applique des forces égales aux pressions qu'elles éprouvent de la part du corps, c'est-à-dire des forces /«* et/^a respectivement égales et opposées à/^^ ^^fia-

Observons que si, comme l'indique \dijig, p, le corps A est comprimé parles essieux qui le traversent, inversement il tend à écarter les essieux l'un de l'autre, c'est-à-dire que si les forces /^^ fia appliquées au corps sont attractives, celles fab et Jf,a appliquées aux essieux ou point d'articulation sont répulsives et vice versa,

2** Supposons maintenant (Jig- ^') que le corps A soit soumis à des forces directement appliquées dont la résultante est R.

l58 a* SECTION. — CHAP. VII.

Décomposons les réactions des charnières en leurs composantes r' et r\ parallèles à R et leurs composantes/^^ et /^^ suivant la ligne ab ; les cinq forces

^j ^'i ^\y fâbi fia

devant se faire équilibre, leur polygone des forces doit se fermer. Or, les premières étant parallèles entre elles et les secondes de même direction, on voit que cela exige que le polygone des trois premières se ferme séparément ainsi que celui des deux dernières, c'est-à-dire que celles-ci soient égales et opposées ; -mais alors elles satisfont aux conditions d'équilibre relatives à des corps solides.

Fig. p. Fig. ?'.

Donc, les trois premières doivent, de leur côté, être en équilibre. Ainsi les composantes r', r\ sont déterminées et peuvent être trouvées graphiquement (§ 42, ProbL 7), et la valeur commune des deux forces /^i,j fia reste seule inconnue.

Les pressions exercées par le corps A sur les essieux seront égales et opposées à ces réactions, c'est-à-dire qu'elles se composeront des forces /a* Gt/àa {fig- a)? comme dans le cas précédent, et en outre, des forces r et r^ égales et opposées à i^ et r\ et qu'on obtiendra directement en décomposant la force R en deux autres parallèles portant sur les charnières (§42). Ainsi :

Théorème I. — Si un corps A est relié à d^ autres corps en nombre quelconque par deux articulations seulement:

1° Si aucune force directement appliquée n^agit sur le corps A, pour que le système tout entier soit en équilibre, il faut et il suffit que ce système privé du corps A soit en équilibre sous l'influence des forces qui luisant directement appliquées et de deux

RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. iSq

forces appliquées aux deux points d^ articulation, dirigées suivant la ligne qui les joint et de sens contraires.

Si ces forces sont attractives, le corps A est tendu suivant la ligne qui joint les deux points d^ articulation ; si elles sont répulsives, il est comprimé suivant cette ligne,

a*" Si le corps k supporte lui-même des forces y on rentre dans le cas précédent en décomposant leur résultante en deux autres r et r< ifig- a) de même direction qu'elle, appliquées aux deux charnières.

Si les forces données agissant sur le corps A se réduisaient à un couple, on ferait la décomposition pour chacune des deux forces du couple.

D'après cela, on peut, dans les recherches des conditions d^équilibre des systèmes articulés comme ceux que nous considérons, aussi bien que dans la recherche des actions mutuelles entre les corps et les charnières, supposer qu'il n'y a de forces directement appliquées que sur les charnières (*). C'est ce que nous ferons. Alors, en vertu du théorème précédent, les conditions d'équilibre du système ne sont pas modifiées si l'on enlève successivement chacun des corps, pourvu que, suivant la droite qui joint ses deux points d'articulation, on applique deux forces égales et opposées.

Tous les corps étant ainsi enlevés, il ne restera que les charnières qu'on peut regarder comme libres et indépendantes les unes des autres, sous l'action des forces qui leur sont directement appliquées, et de celles qu'on a ajoutées pour tenir lieu des corps enlevés.

Pour que le système tel qu'il existait en réalité soit en équilibre, il faut et il suffit que chacune des charnières soit en équilibre, c'est-à-dire (§ 29) que le polygone des forces qui la sollicitent se ferme, puisque toutes ces forces passent par les centres d'articu lation qu'on a ainsi le droit de considérer seuls.

Ainsi :

('} Mais les conditions d'équilibre assurées et les actions mutuelles connues, si l'on veut chercher la répartition des pressions ou tensions que ces forces font naître à rintérieur de chaque corps, il faudra restituer à chaque force son véritable point d'application et construire, pour chaque corps, le polygone des pressions, selon les principes établis au Chapitre précédent.

l6o *1* SECTION. — CHAP. VII.

Théorème IL — Etant donné un système articulé f or mépar des corps en nombre quelconque, ne portant chacun que deux charnières et soumis uniquement à des forces appliquées aux points d'' articulation, si Von applique suivant la ligne qui joint les deux centres d'' articulation de chaque corps une paire de forces égales et opposées, pour que le sytème soit en équilibre, il faut et il suffit que chaque point d* articulation considéré comme libre soit en équilibre, c est-à-dire qu^ il faut et il suffit que le polygone formé par les forces directement appliquées en chacun de ces points et celles qu'on a ajoutées se ferme.

Les corps pour lesquels la paire de forces ajoutées est attractive sont tendus; ceux pour lesquels elle est répulsive sont comprimés. On peut encore dire plus simplement que si, soit la force fab (fig' a), appliquée en a, soit celle /^^ appliquée en b tombe sur le prolongement de ab^ le corps est comprimé ; dans le cas contraire, il est tendu.

Remarque, — Si des forces agissent sur les corps eux-mêmes, on les reporte sur les charnières^ comme il est indiqué ci-dessus.

APPUGiTIOI AUX roiMEWORKS OU 8T8TË1IE8 BÉTIGULAIBE8. — On

nomme systèmes réticulaires ou systèmes simplement triangulés ou Frameworks (en allemand Fachwerck) des charpentes formées par la juxtaposition de triangles suivant le type indiqué sur l^fig.U, Pl.XIlL Elles se composent :

I** D'un polygone de pourtour, abcdefghja dont les côtés seront appelés les barres principales ;

2° De barres placées diagonalement à l'intérieur du polygone de pourtour^ comme il est indiqué sur la figure.

Ces barres se nomment les barres de remplissage et, suivant les cas, bracons ou étrési lions; parfois, celles inclinées d'un côté, à savoir, 6/, ch, dg, prennent les noms de bracons ou étrésillons, les autres cj, dh^ eg prennent le nom de contre-bracons ou contreétrésillons. Quand il y a des barres verticales elles prennent souvent le nom depoinçons.

REGHERCHB DES FORCES ÉLASTIQUES. l6l

Les caractères essentiels de ces systèmes sont les suivants :

a. Se composant de triangles simplement juxtaposés, ils forment des figures strictement indéformables et librement dilatables ;

b. 11 existe au moins un nœud, et, en général, deux (ici ceux a et/) ne comprenant que deux barres; au moins un nœud et, en général, deux (ici b et e) ne comprenant que trois barres;

c. Par un point quelconque on peut faire, dans la charpente, ane section xy rencontrant au plus trois barres.

Remarque. — Les noms de JrameSy framework, fachwerk^ systèmes réticulaires sont des noms génériques qu'on applique souvent à des systèmes articulés quelconques. Quand nous le ferons, nous le dirons explicitement.

A. — Systèmes réticulaires libres.

§ 96 bis.

HtTHODE eÉlÉRALB POUR DÉTEBMIIIER LES TEHSIOIS OU FBE88I0I8 DAH8 UI FBAHEWOBX OU 8TSTË1IE BÉTIGULAIBE LIBB& — Supposons qu'aux divers sommets ou en quelques-uns agissent des forces données. On demande de trouver leurs conditions d'équilibre ainsi que les tensions ou pressions qu'elles déterminent dans les lignes de jonction.

i*" Conditions d'éqmlibre. — Pour comprendre, dans les considérations qui vont suivre, toutes les circonstances qui peuvent se présenter, nous avons supposé qu'il agit des forces sur certains sommets seulement. Il s'en exerce aux points 6, c, e, /, A, a, tandis qu'on n'en suppose pas aux points rf, g^ j. La figure formée par la charpente étant indéformable, pour que les forces qui la sollicitent soient en équilibre, il faut et il suffit que leur polygone se ferme ainsi qu'un de leurs polygones funiculaires. Pour vérifier s*il en est ainsi, partons de l'une quelconque des forces données, par exemple, de celle appliquée en b ; numérotons-les en suivant le polygone de pourtour de la charpente.

Noas avons ainsi les lignes d'action

l62 *»• SECTION. — CHAP. VI.

Portons leurs grandeurs bout à bout, de manière à former fig. 64) le polygone des forces dont les côtés

Bont représentés sur la figure par de doubles lignes.

Les forces étant supposées, en équilibre, ce polygone se ferme.

Traçons ensuite le polygone funiculaire relatif à un pôle O qu'on choisira à volonté. Ce polygone

cdh'c'e'fKa'

est représenté en lignes pointillées sur la figure.

Les côtés successifs a' 6', 6'c', d e\ dfyfh\ h!a!^ compris respectivement entre les lignes d'action

6 et 1, 1 et 2, 2 et 3, etc.

et par conséquent parallèles aux rayons issus de O {fig* 64) el aboutissant aux sommets 6.1, 1.2, 2.3, etc. du polygone des forces, se ferme aussi, par hypothèse.

Remarque. — Dans la pratique, si l'on sait d'avance que les forces données sont en équilibre, il ne sera pas nécessaire de tracer ce polygone funiculaire; le plus souvent la charpente reposera sur un ou deux appuis ; alors les réactions de ces appuis devront être déterminées suivant les indications données au Chapitre V, de manière à faire équilibre aux forces directement appliquées et la détermination de ces réactions exigera d'ordinaire le tracé d'un polygone funiculaire obtenu soit en suivant l'ordre de successiou que nous avons adopté pour les forces, soit en suivant tout autre ordre de succession.

Le polygone, tel que nous l'avons tracé, en prenant les forces dans l'ordre où elles se présentent lorsqu'on suit tout le pourtour de la charpente, est essentiel pour la clarté des explications qui vont suivre, mais, comme nous le verrons, ne joue aucun rôle dans le tracé final de l'épure. Si donc, par le tracé d'un autre polygone funiculaire ou par toute autre considération, on est assuré que les forces agissantes se font équilibre, il sera inutile, dans la pratique y de tracer celui porté sur la figure.

a" Recherche des tensions. — La figure formée par la charpente donnée n'admet pas défigure réciproque (§ 92), puisque, des points a*et/ne partent que deux barres. Mais complétons-la par l'adjonction : I** des côtés du polygone funiculaire; a** des lignes d'action des forces, ou du moins des portions de ces lignes comprises entre le polygone funiculaire et la charpente.

Ceci fait, nous nous proposons de trouver une figure réciproque de la figure ainsi complétée, en nous imposant la condition que les lignes réciproques des lignes d'action des forces données soient les côtés du polygone de ces forces. Nous démontrerons que ce problème est possible d'une seule manière et que, de plus, les lignes réciproques de celles qui, sur la figure donnée, coïncident avec les barres de la charpente représentent les tensions ou pressions de ces barres à l'échelle où les côtés du polygone des forces représentent les forces données.

D'autre part, nous avons vu 'que, si une figure admet une réciproque, àchaque nœud delà réciproque répond, dans la proposée, an polygone fermé et le système des polygones fermés ainsi définis est tel que chaque côté de la figure donnée fait partie de deux de ces polygones et de deux seulement. Nous démontrerons que. dans tous les systèmes réticulaires, ces polygones peuvent être définis d'avance et toujours d'après la règle unique que nous allons indiquer; à cet effet, nous diviserons les lignes de la figure en quatre catégories :

i** Les barres principales, c'est-à-dire celles qui forment le pourtour de la charpente ;

2® Les étrésillons et contre-étré sillons ;

3** Les lignes d'action des forces extérieures ;

4**. Les côtés du polygone funiculaire.

I** Chaque barre principale fait partie de deux polygones fermés, à savoir : i** un triangle de la charpente ; 2° un polygone formé par les lignes d'action des deux forces limitrophes de ce côté, par la portion du polygone funiculaire et celle du pourtour de la charpente comprises entre ces mêmes forces.

Ainsi, la barre bc, comprise entre les forces 1 et 2, fait partie du triangle bcj et du quadrilatère bb' cd\ toute barre principale aux deux extrémités de laquelle agissent des forces fera ainsi partie

lG4 a* SECTION. — CHAP. VI.

d'un triangle et d'un quadrilatère; mais les barres qui ne sont pas dans ce cas font partie d'un triangle et d'un polygone d'un plus grand nombre de côtés.

Ainsi, la barre hg^ comprise entre les forces 4 et 5, fait partie du triangle hgd et du pentagone hgjf h! h\ la barre gf fait partie de ce même pentagone. Toutes les barres comprises entre deux forces consécutives ont ainsi en commun un des deux polygones fermés auxquels elles appartiennent, en sorte que, si la force 5 n'existait pas, les barres a/', yA, hg^ g/ feraient toutes partie d'un même polygone fermé ayant, pour deux de ses côtés, les forces 4 et 6 entre lesquelles toutes ces barres seraient comprises.

1^ Chaque étrésillon fait partie de deux triangles qui se présentent d'eux-mêmes sur la figure de la charpente; la barre 6/ fait partie des deux triangles 6/a, bjc ; la barre jc\ des deux triangles ich.jch.

3® La ligne d^action de chaque force fait partie de deux polygones fermés pour lesquels il ne saurait non plus y avoir de doute ; ils sont formés par la ligne considérée elle-même, par l'une des deux forces voisines et limités, d'autre part, par les portions correspondantes du polygone funiculaire et du pourtour de la charpente.

Ainsi ff fait partie du quadrilatère ffe'e et du pentagone ff'Hhgf.

4® Chaque côté du polygone funiculaire fait partie de ce polygone même qui est fermé et de l'un des polygones fermés dont il vient d'être parlé.

Ainsi V d fait partie du polygone funiculaire et du quadrilatère b'c'bc'y cfé fait partie du polygone funiculaire et du pentagone de'edcd.

Pour démontrer les propositions qui viennent d'être énoncées, il suffit de construire la figure réciproque cherchée. Nous pourrions, pour cela, partir de la définition même de ces figures, consistant en ce qu'à chaque nœud de la proposée répond un polygone fermé de la réciproque, et vice versa.

Mais, pour nous conformer à ce qu'on est réellement amené à faire dans les applications, nous procéderons autrement : nous essayerons de construire une figure telle : i° qu'à chaque nœud de la proposée réponde, dans la nouvelle figure, un polygone fermé ;

RECHERCHE DES FORClSS éLASTIQUES. l65

1^ (^vî'kchacundes polygones Jermés de la proposée qui viennent d'être définis réponde un nœud de la figure cherchée.

n est claîr que s'il est possible de construire une telle figure, non seulement elle sera réciproque de la proposée, selon la définition du § 92, puisqu'à ses noeuds répondront des polygones fermés de la proposée, mais de plus ces polygones fermés seront bien ceux annoncés.

Pour construire la figure cherchée, après avoir numéroté les lignes d'action des forces, en suivant, comme il a été dit plus haut, le pourtour des barres principales, donnons les numéros suivants aux barres elles-mêmes, dans un ordre quelconque (Jig* 64). Toules ces lignes élant désignées par des chifl^res graSy leurs lignes réciproques {fig- 64) seront désignées par les chiffres ordinaires correspondants.

11 n'\ a que les côtés a'b\ b' c\ ... du polygone funiculaire que nous n'avons pas numérotés, parce que, dans la pratique, on n'a pas à s'en occuper.

Cela posé, les lignes réciproques des lignes d'action des forces 1,2, 3, ... ou bb'j ce' y ee', . .. {Jig> 64) sont tracées {fig^ 64). Ce sont les côtés i, 2, 3, ... du polygone des forces. D'autre part, la position (non la grandeur) de toutes les barres principales est déterminée d'avance. Ainsi, la barre bc appartient au quadrilaîère bcb'c' comprenant les lignes d'action 1 et 2 ; dans la figure réciproque, à ce poljgone fermé doit répondre un nœud, c'està-dire des lignes concourantes; donc la réciproque de bc passe par le point de rencontre des réciproques de 1 et 2, c'est-à-dire par le sommet i.q du polygone des forces et, comme la réciproque d'une ligne est, par définition, parallèle à cette ligne, sa position est déterminée; de même les barres crf, de font partie l'une et l'autre d'un polygone fermé auquel appartiennent les lignes d'action 2 et 3 entre lesquelles ces barres sont comprises; donc les lignes réciproques de ces lignes passent l'une et Vautre par le point a. 3 du polygone des forces. Nous avons donc cette règle : La réciproque d'une barre principale passe par celui des sommets du polygone des forces qui est formé par les deux forces limitrophes à cette barre.

El c'est cette règle qui, en définissant a priori la position des lignes réciproques des barres principales, nous dispensera de tra-

j66 2' SECTION. — CHAP. VI.

cer le polygone funiculaire lorsque d'autres raisons n'auront pas conduit à le faire.

Ceci posé, partons de l'un des deux nœuds a ou/ ne comprenant que trois lignes, par exemple du nœud a.

Aux trois lignes

de ce nœud doivent répondre les trois côtés d'un polygone fermé, c'est-à-dire un triangle. Nous connaissons un côté de ce triangle, le côté 6 i^g' 64) du polygone des forces qui correspond, par hypothèse, à la ligne d'action 6, et les directions des deux autres. Le triangle est donc déterminé; pour l'obtenir, il suffit, par l'une des extrémités de 6, de mener une parallèle à 7 et, par l'autre extrémité, une parallèle à 8. Or, d'après la règle qui vient d'être établie, la barre principale 7 comprise entre les lignes d'action 6 et 1 part du sommet 6. i du polygone des forces et la barre principale 8 comprise entre les lignes d'action 6 et 5 part du sommet 6.5 de ce même polygone.

Nous avons donc, comme répondant au nœud a sur la figure, le triangle parfaitement déterminé ayant pour côtés

D'ailleurs les côtés 7 et 8 représentent évidemment les tensions ou pressions des barres de même nom ; car (§ 95, théor. II) le point a doit être en équilibre sous l'action de ces tensions ou pressions et de la force 6. Donc, ces trois lignes doivent former un polygone fermé (triangle) et, comme on connaît le côté 6 de ce triangle en grandeur, direction et sens et les deux autres en direction, ce ne peut être que le triangle qui vient d'être construit.

Il est d'ailleurs facile de voir si les côtés 7 et 8 représentent des pressions ou des tensions. En effet, le sens de la force 6 est donné par celui du polygone des forces ou par la flèche de 6; ce sens détermine celui du triangle qui doit être parcouru dans l'ordre

Par suite, la force 7, mise en place, c'est-à-dire appliquée à l'extrémité a de la barre ab, tombe sur le prolongement de cette ligne et non sur la ligne elle-même; donc (§ 95, théor. II) la barre ab est comprimée ; de même la force 8, appliquée au point a de la

barre 8, tombe sur le prolongement de cette ligne : c'est donc aussi

une pression : c'est pourquoi, sur les deux figures, les lignes portant

les n®* 7 et 8 sont indiquées en gros traits.

Du nœud a, on passe à celui des deux nœuds voisins, b ou/, qui

contient le moins de barres: ici c'est le nœud b\ il se compose de

quatre lignes, à savoir

Dans la figure réciproque, il devra lui correspondre un quadrilatère.

Nous avons déjà deux côtés de ce quadrilatère, à savoir

I et 7;

les deux autres répondent aux côtés

10 et 9.

Le premier étant une barre principale comprise entre les lignes d^aclion 1 et 2 part du sommet i . 2 du polygone des forces ; le second faisant partie du triangle formé par les côtés 9, 7, 8 (dont les réciproques doivent former un nœud) passe par le point 7,8 (nous désignerons toujours un point de la figure réciproque par deux des lignes qui y concourent).

Ainsi : du point 1.2 on mènera une parallèle à 10; du point 7.8, une parallèle à 9. On aura ainsi le quadrilatère cherché formé par les lignes

Il est d'ailleurs évident que 7 étant, comme nous l'avons montré, la pression de la barre 7 et i étant la grandeur de la force 1 , il faut que 10 et 9 représentent les tensions ou pressions des barres 10 et 9 ; car, le point b devant être en équilibre, ces tensions ou pressions doivent, avec les forces 7 et i , former un quadrilatère fermé. Ce quadrilatère est déterminé, puisqu'on en connaît les côtés 7 et I et les deux autres en direction. Ce ne peut donc être que celui formé par les lignes (a).

Le sens de ce quadrilatère est fourni par celui de la force donnée i; si cette force n'existait pas, ce sens serait néanmoins connu; car nous savons que 7 représente une pression, c'est-à-dire que les forces à appliquer en a et 6 (§ 95, théor. Il) sont répulsives; donc, la forcé 7 à appliquer en b tombe sur le prolongement de

l68 2* SECTION. — CHAP. VI.

ab. Donc le sens de la force 7 parallèle à ab est le sens ab, ce qui montre que le quadrilatère doit être parcouru dans l'ordre (a) de ses côtés. Par suite, la force 10 mise en place, c'est-à-dire appliquée en b, tombe sur le prolongement de la barre c6, ou est répulsive : c'est donc une pression ; la force 9 mise en place en b tombe suivant la barre bj à laquelle elle est appliquée; donc elle est attractive (§ 9o) et cette barre 9 est tendue; c'est pourquoi nous l'avons représentée par un trait plus fin.

Du nœud 6, on passera au nœud y comprenant les quatre lignes

Les réciproques des deux premiers sont placées. Pour placer la réciproque de Tétrésillon H, on observe qu'il fait partie du triangle jbc\ donc, 1 1 fournira un nœud avec 9 et 10; la barre principale 12 comprise entre les forces 6 et 5 passe par le sommet 6.5 du polygone des forces. Ainsi, de ce sommet on mènera une parallèle à 12 et du sommet 9. 10 une parallèle à 11 ; on formera ainsi le quadrilatère dont les côtés sont