AH ~ AC

d'où

A^ =pa.

La composante horizontale ou poussée est donnée par la proportion

AE

HG AG

l40 a' SECTION. — CHAP. VI.

OU

ou Or

ou

Eb^py: HG

Eb^pir-f), ÂÏÏ'-a»=r/(2r~/),

qui donne la poussée en fonction de la portée et de la flèche.

Si le rapport- est très faible^ c'est-à-dire si l'arc est très surbaissé, on peut négliger l'unité devant -^ et écrire approximativement pour la poussée

Eb = E^.

CAS DE CHARGES VERTICALES; POUSSÉE. — Lorsque (Jig. 19, p. 142) les forces qui agissent, soit sur un polygone articulé, soit sur un arc flexible fixé à ses extrémités, sont verticales, qu'elles soient en nombre limité ou non, le polygone de ces forces est représente {/iff- 19, p. i4'^) par une verticale ab. Soit O le pôle du polygone ou de la courbe d'équilibre. La tension d'un côté du polygone est représentée par un rayon Om parallèle a ce côté, de même que la tension en un point de l'arc, s'il s'agit d'un arc, est représentée par un rayon Om parallèle à la tangente à l'arc au point considéré.

Cette force 0/n peut se décomposer en deux composantes, l'une 0(0 parallèle à la corde AB de l'arc, l'autre (o/n verticale. La première 0(1) est constante, quel que soit le rayon considéré Om, et égale à la distance polaire comptée parallèlement à la corde de l'arc; elle est donc aussi la même pour les côtés extrêmes du polygone ou pour les éléments extrêmes de l'arc; par suite elle représente la poussée exercée sur les appuis.

.\insi la poussée qu^un polygone ou un arc suspendu ou supporte et soumis à des charges verticales exerce sur ses appuis

RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. l4l

est représentée par sa distance polaire estimée parallèlement à la corde de Varc,

Celte distance représente aussi la pression ou tension de Tare au point où sa tangente est parallèle à la corde.

Si les appuis sont de niveau, la poussée est représentée par la distance polaire proprement dite, laquelle représente aussi la tension ou pression, suivant que l'arc est suspendu ou supporté, en son point le plus bas ou le plus élevé.

POLTOOn: DES PORTS SUSPENDUS OU SUPPORTÉS- — Le câble d'un pont suspendu est relié au tablier qu'il supporte par des barres verticales (barres de suspension) équidistantes etl'on se propose de disposer le câble de façon que la charge totale du tablier se répartisse également entre toutes les barres. Par conséquent (Jig- 19, p. i4i) les forces agissantes H', 22', 33', ... sont ici toutes verticales, égales et équidistantes et il s'agit de trouver la forme à donner au câble pour qu'il reste en équilibre sous l'action de telles forces.

On se donne généralement la flèche du câble qu'il y a intérêt à prendre grande, ainsi qu'il résultera de la solution même, si l'on veut diminuer autant que possible les tensions que supporte le câble; mais, dans chaque cas, la flèche est limitée par les circonstances où l'on se trouve.

Théorème. — Le polygone funiculaire formé par un câble de pont suspendu est inscriptible dans une parabole à axe vertical.

En effet, soient {Jig^ 19, p. i4i) A et B les deux points de suspension du câble; 1, 2, 3, 4, 5 les barres de suspension équidistantes du tablier, c'est-à-dire les lignes d'action des forces agissantes, et {Jig* iQj p- 143) 1,^ 2, 3, 4î 5 les longueurs égales entre elles portées bout à bout et formant le polygone des forces.

Traçons une parabole à axe vertical passant par les points ^ et B et d'ailleurs quelconque ; on déterminera aitisi par ses intersections avec les barres les points 1,2, 3, 4-, 5; il s'agit de

l4a 2° SECTION.— CHAP. VI.

démontrer que le polygone A 1.2.3.4.5B reste en équilibre sous l'action de forces verticales égales entre elles, agissant en ses sommets.

A cet effet, d'un point quelconque O menons des rayons

Oa, Om, O/i, Oy?, O^, Ob, respectivement parallèles aux côtés

Al, 1.2, 2.3, 3.4, 4.5, 5B du polygone et coupons ce faisceau de lignes par une verticale

Fig. 19.

quelconque ab qui y déterminera les segments

am = I, mn = a, np = 3, pq =4, qb = 5.

Des forces verticales respectivement égales à ces grandeurs appliquées aux cinq sommets du polygone le maintiendront en équilibre en vertu du théorème de Varignon.

Toute la question est donc de montrer que ces forces sont toutes égales entre elles.

En effet, rapportons la parabole à deux axes rectangulaires Oq^', Oo^, l'un vertical, l'autre horizontal.

Son équation sera de la forme

Appelons x^ ,jKi les coordonnées du point 1 ; x^^y^ celles du point 2, .. .; Xi^yi celles du point portant le n** ï. Si aest Téquidistance

Fig. 19-

Fig. 19'.

des barres, on aura, par exemple,

^3= A-hBo^a-î- C

X*= A-hB(:r3-i-a)4-G

(fVj-a).

(l'oii

y\—y^^^a-^ ~(2aar34-a«),

et la tangente de l'angle que fait le côté 3.4 avec Thorizontale

sera

= Bh — iix^-\- a),

a Or le rayon 3.4 ou Op est, par hypothèse, parallèle au côté 3.i;

l44 a* SECTION.— CHAP. VI.

donc, si OH est la distance polaire,

On aurait de même

d'où, en retranchant membre à membre,

—/: — G (xs, — .ra ) — Ca — const.

D'après cela, pour tracer le polygone, par le milieu de AB menons une verticale sur laquelle nous prendrons une longueur IG égale à la flèche donnée /.

La parallèle Cx k AB est tangente à la parabole et, si nous rapportons la courbe à l'axe Cx et à la verticale Cy, son équation sera

puisqu'elle doit passer par les points V et B et par le point G.

On peut donc déterminer exactement les coordonnées de chacun des sommets 1,2, 3, connaissant les abscisses des barres, c'està-dire les rapports - qui sont des nombres entiers.

Il est, par suite, facile de tracer le polygone funiculaire que forme le câble et qui est assujetti à passer par les trois points donnés A, B, G sans recourir à la méthode générale du § 4o. On peut aussi la tracer directement (vo^V note III bis), ce qui fournit les sommets du polygone inscrit Al. 2. 3....

Pour avoir les tensions, par un point O on mènera les parallèles Oa, O/;?, ... aux côtés du polygone, et l'on coupera ce faisceau par une verticale quelconque ab. Nous savons que tous les segments i, 2, 3, ... seront égaux entre eux; ab représente la charge totale que porte le tablier et, comme cette charge est donnée, on en déduit l'échelle des forces. Soit Q cette charge évaluée en

tonnes; on en conclut qu'une longueur -^ vaut une tonne.

A cette échelle, Oa sera la tension du côté Al, Om celle du côté 1.2, etc.

RECHERCHE DES FORCES ELASTIQUES. l45

POUSSÉE D'UH ABC PABABOUaUE POBTAKT THE CHABfiE VERTICALE HHIrOBME. — Si les barres de suspension se rapprochent indéfiniment, ou si la charge du tablier se trouve uniformément répartie sur tout le cable au lieu de l'être, par parts égales, sur des verticales équidistantes, le polygone funiculaire se confond avec l'arc parabolique dans lequel il est inscrit. Ainsi, un arc parabolique à axe vertical portant une charge uniformément répartie suivant l'horizontale (tablier de pont) ou, ce qui revient au même, une charge uniformément répartie suivant sa corde, quelle qu'en soit l'inclinaison, et fixé à ses deux extrémités, reste en équilibre, même s'il est parfaitement flexible. Il forme une courbe funiculaire ou une courbe de pression (en d'autres termes, il est tendu ou comprimé), selon qu'il présente sa concavité vers le haut ou vers le bas; dans le premier cas, il peut servir de câble à un pont suspendu ; dans le second, il peut former un arc de pont métallique supporté (sauf les précautions à prendre pour éviter l'instabilité).

Pour avoir les tensions ou pressions en ses divers points, par un point (y, on mènera {fig* 19', p. i43) des parallèles O'a, O'ô à ses tangentes extrêmes; il suffit pour cela sur la verticale IC du milieu de la corde de prendre une longueur IC double de IG et les droites C'A, C'B sont les tangentes aux extrémités de l'arc ; on coupera l'angle aO'b par une verticale ab.

Cette verticale représentera la charge totale du tablier.

Soient p la charge par mètre courant de corde AB et AB = 2 a ; la charge totale sera ab = 2/?a, ce qui donnera l'échelle des forces, puisque, si p est exprimé en kilogrammes, il résultera de

celle égalité qu'une longueur représente un kilogramme.

La tension (ou pression) en un point M de l'arc sera, à cette échelle, égale au rayon vecteur issu de O' et parallèle à la tangente à la courbe en M.

Les tensions (ou pressions) supportées par les éléments extrêmes sont représentées par les rayons extrêmes aC etO'6.

Celle aO' se décompose en une composante verticale (oa et une composante O'o) parallèle à la corde AB.

l46 a* SECTION. — CHAP, VI.

Celle O'ô, en une composante wO' parallèle à la corde et une composante verticale w6.

Les points fixes A et B sont généralement placés aux sommets de culées en maçonnerie; la poussée O'w tend à renverser ces culées vers le dedans ou vers le dehors, suivant que l'arc est suspendu ou supporté.

Prenons le cas usuel où les points A et B sont de niveau. Alors le point iù est au milieu de ab; 6w = aa) représente la demicharge totale du tablier, soit pa; donc la poussée est

O'w = pa : tang 60'a).

Or O'b est parallèle à la tangente à la parabole en B; donc tangèO'w est le coefficient angulaire de cette tangente, puisque les axes Car, Cy sont rectangulaires. Or ce coefficient angulaire

T^ = > comme il résulterait aussi de Péquation de la courbe;

donc la poussée est

O'o) =pax—.= ^-—z-

Ainsi, la poussée qu'un arc parabolique suspendu ou supporté dont la portée est 2 a, la /lèche/, la charge par mètre courant de sa corde p, exerce sur ses culées est

pà^

On emploie parfois cette formule à titre de première approximation, pour calculer la poussée d'un arc peu différent de la parabole (comme un arc circulaire très surbaissé) lorsque sa charge est verticale et uniforme suivant la corde.

Pour un arc très surbaissé, elle se confond d'ailleurs avec la valeur approchée trouvée au § 83 pour la poussée d'un arc circulaire portant une charge normale uniforme (*).

( ' ) Voir, pour plus de développements, la Note sur les courbes funiculaires.