OG

Arc de cercle. — La construction précédente étant applicable, quelque petits que soient les côtés du polygone régulier, elle s'appliquera encore à la limite, lorsque ce polygone se confondra avec un arc de cercle.

Si donc ijig' 48, PL -JT) G est le centre de gravité de Tare de cercle AIB, de longueur L et de rayon /*, on aura

OG X L = rx AB, d'où

On peut construire le point G, soit par le procédé indiqué cidessus, soit par celui qui suit : sur la tangente au milieu I de l'arc, portons une longueur IB' égale au demi-arc IB rectifié. Joignons le point B' au point O; en B, menons une perpendiculaire à AB jusqu'à sa rencontre en G avec OB' ; enfin de G abaissons une perpendiculaire GG sur le rayon 01. Le point G sera le centre de gravité

cherché; car

OG CG 01 - iB' ou

OG __ iAB AB r " -JL "■ L ' d'où

rx AB

Centre de gravité des aires planes.

On appelle diamètre d'une ligne plane le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée.

Quand un diamètre est rectiligne, sa direction et celle des cordes qu'il divise en parties égales sont dites conjuguées.

Thêobemb. — Lorsqu^ une courbe plane fermée admet un dia-

2l8 2' SECTION. — CHAP. XI.

mètre reciiligne^ le centre de gravité de taire de cette courbe se trouve sur ce diamètre.

Soit {fg- 49, PL X) xy une droite, Heu des milieux des cordes ac parallèles aune direction fixe.

Traçons une série de cordes telles que ac, parallèles à cette direction et très voisines les unes des autres. Parles extrémités a etc de chacune d'elles, abaissons des perpendiculaires ab et cd sur la corde voisine a!d\ nous formerons ainsi une série de rectangles tels que abcd,

La figure formée par l'ensemble de ces rectangles est d'autant moins différente de la figure donnée que les cordes ac, a'c\ ... sont plus voisines, et, si elles se rapprochent Indéfiniment, la somme des aires des rectangles se rapprochera indéfiniment de Taire de la figure donnée. Or chacun de ces rectangles (§ 128) a son centre de gravité sur le diamètre xy. Donc (§ 121, Bemarque I) le centre de gravité de la figure formée par l'ensemble des rectangles est sur la même ligne. Comme il en estainsi, quelque voisines que soient les cordes ac, a!c\ cette propriété appartiendra aussi à Taire donnée, vers laquelle tend indéfiniment celle formée par Tenseinble des bandes rectangulaires.

Centre de gravité de Taire d'un parallélogramme. — Il résulte de là immédiatement que le centre de gravité de Taire d'un parallélogramme EFGH {fi g. 47, PL X) est son centre de figure ; car les deux diamètres AB et CD parallèles aux côtés du parallélogramme et passant par son centre devant tous deux contenir le centre de gravité cherché, celui-ci est leur point d'intersection.

Centre de gravité de Taire du triangle. — Le centre de gravité de Taire d'un triangle estau point d'intersection de ses trois médianes, c'est-à-dire au tiers de chacune d'elles. Chaque médiane, en effet, est un diamètre, puisqu'elle divise en parties égales les cordes parallèles au côté du triangle au milieu duquel elle aboutit.

APFUGATIOH DE LA MÉTHODE fiâlÉRALE A LA RECHERCHE DU CEHTRE DE 6RAÎITÉ DE L'AIRE D'UN P0LT60HE OU D'UHE COURRE OUELCOHOUE. — Pour appliquer au centre de gravité des aires planes la méthode du § 127, s'il s'agit de Taire d'un polygone, on le décomposera en triangles. Au centre de gravité de chaque triangle, on supposera appliquée une force proportionnelle à son aire, toutes ces forces étant parallèles; elles de>Tont d'ailleurs toutes avoir même sens ou des sens différents suivant que l'aire du polygone sera composée de la somme arithmétique ou de la somme algébrique des aires des triangles. Si tous les triangles sont à additionner, toutes les forces appb'quées en leurs centres de gravité devront avoir même sens; si quelques-uns sont à additionner et d'autres à retrancher, ce qui peut avoir lieu notamment dans les polygones présentant des angles rentrants, les forces appliquées aux centres de gravité de ces derniers devront avoir un sens contraire à celui des autres. Pour représenter les aires des triangles par des forces ou des longueurs, il suffit d'ailleurs de les réduire (§ 13) à une base commune arbitrairement choisie. Les forces à appliquer aux divers centres de gravité sont égales ou proportionnelles aux hauteurs correspondantes.

Quadrilatère. — Appliquons cette règle à un quadrilatère quelconque ABGD (y?^. 5i, PL JlI), On mènera la diagonale CD. On joindra les sommets opposés A et B au milieu I de cette diagonale.

Les points ^ et ^ placés aux tiers des lignes LA et IB, à partir de I, sont les centres de gravité des triangles ACD et BCD. On devra y appliquer des forces proportionnelles aux aires de ces triangles, c'est-à-dire à leurs hauteurs A a et B6, puisqu'ils ont même base CD. Ces hauteurs sont d'ailleurs proportionnelles aux segments AO et OB de la diagonale AB, ou, si l'on veut, aux segments ^i et ig^ qui sont les tiers des précédents. Donc, pour avoir le centre de gravité cherché, on devra (§ 120) diviser la ligne gg' en parties inversement proportionnelles à gi et ig'. Pour cela, il

suffira de prendre, à partir du point g^ une longueur .^ G :=^i; le point G est le centre de gravité cherché.

Trapèze. — Dans le cas du trapèze, la construction précédente peut être un peu simplifiée. Soit {Jîg* 33, PL A^I) un trapèze ABCD. Divisons-le en deux triangles ACD et ABD par la diagonale AD. Menons la médiane DE du triangle ADB-, le centre de gravité G| de ce triangle est au tiers de DE à partir de E. De même le centre de gravité Gj du triangle ACD est au tiers de la médiane FA à partir de F. Le centre de gravité du trapèze sera donc sur la ligne Gj Gj ; mais la ligne EF est une ligne diamétrale du trapèze : donc (§ 133) le centre de gravité cherché sera aussi sur cette ligne ; il se trouvera donc au point d'intersection G des lignes G< G2 etEF.

De là, on peut déduire une autre manière de trouver ce point : prolongez CD d'une longueur DK égale à AB, et BA d'une longueur AH égale à CD ; puis menez la ligne HK ; cette ligne passera par le point G. En effet, menons les lignes Gj Ij et G2I2 parallèles aux bases du trapèze. Puisque G< est au tiers de ED, le point l| sera au tiers de EF ; de même le point I2 sera au tiers de FE, en sorte que

I,E~I,F-:iEF et, par suite,

D'un autre côté, les triangles semblables GG|I|, GGjIj

donnent

GG, or, __ Grif, CD .

GGi ~ Glj ~ Gjiî ~ AH' d'où

Gï,-u ;gi, cd^ ; ab

GI,H-iGii ~ AB-r-^CD ~

2GI,-^GIj HK

2G!,-^ Gli KF'

relations (6), on a

2Gî,-f-GI,r-GE,

2GIî-4-Gï,r-.GF;

GENTEB8 DE GRAVIT^ DES CORPS. 'iSI

et, par suite,