G2W,= DH

la ligne Ui u^ rencontrera OC au centre de gravité cherché G.

Anneau compris entre deux arcs de cercles concentriques. — Soii ijig- 52, PL XI) à chercher le centre de gravité de Tanneau ABCD compris entre les arcs de cercle concentriques AB et CD. Il se trouve évidemment (§ 133) sur le rayon 01 passant par le milieu des arcs AB et CD, puisque ce rayon est une ligne de symétrie. Soient G| et Ga les centres de gravité des secteurs OAB et OCD, et G le centre de gravité cherché de Tanneau ABCD. Nous savons trouver les points Gj et G2.

On a ABCD = sect. OAB — sect. OCD. Donc (§ 127) on peut regarder le centre de gravité cherché comme étant sur la ligne d^action de la résultante de deux forces parallèles et de sens contraires, Tune proportionnelle à Taire du secteur OAB appliquée en son centre de gravité G|, l'autre proportionnelle à Taire du secteur OCD appliquée en son centre de gravité Go. Donc

GG| sect. OCD ÔC* GG, ~ sect. OAB "" q^* '

CENTRES DE GRAVITÉ DES CORPS. 2a3

Joignons le point A au point J et menons G i parallèle à ÂJ ; on

aura

OA OJ OC.

OG ~ o« "" or

d'où

et, par suite,

OG*=OAxOt

GGi OA^x Ot Oi

^G« " >rr* OA'

Du point G, sur une ligne quelconque, portons Gi u^ = Oi, et du point Ga, sur une parallèle à G| £/|, portons G2U2 = OA. Joignons les points U2 et W| ; la droite ainsi obtenue passera évidemment par le point cherché G.

Segment de parabole. — Soit {/Ig^- 57, PL A^l) un segment de parabole AIB. Son centre de gravité se trouve sur le diamètre IX, conjugué à la corde AB (§ 133). Soit G ce point.

Rapportons la parabole au diamètre IX et à la tangente conjuguée lY, et soit

son équation.

Prenons une zone a^a'ji' ayant une épaisseur dx comptée parallèlement à IX. Soit X l'abscisse de la ligne ap. On aura

a3 = 2 >J ipx.

L'aire AIE sera proportionnelle à

ijdxyjipx^

son moment relatif à lY proportionnel à ,

GI X ij dx yj ipx.

Le moment de la zone a^a'jî' sera proportionnel à

X X dx X n. \]ipx = %xdx ^2.px.

Donc le théorème des moments donnera

GI X ijdxyj'ipx = S^xdx^%px\

224 a* SECTION. — CHAP. XI

OU, en supprimant le facteur commun 2^/2^,