AC IG

d'où

gO. I

ce qu'il fallait démonlrer.

Corollaire L — Le centre de gravité d'un tétraèdre est le centre des moyennes distances de ses quatre sommets, c'est-à-dire que sa distance à un plan quelconque est la moyenne arithmétique entre les distances de ses sommets au même plan. En effet, le poids du tétraèdre appliqué en G peut être décomposé en deux forces parallèles et de même sens, Tune appliquée en A et l'autre en^; et, comme Gg = -jAG, si la composante passant en A estQ, celle passant en g sera (§ 120) 3Q; mais celle-ci peut à son tour être décomposée en deux forces appliquées Tune en C, l'autre en T, et, comme I^= {gC^ la force appliquée en I sera double de celle appliquée en C, c'est-à-dire que celle-ci sera Q et celle appliquée en I sera 2 Q et pourra être remplacée par deux forces égales chacune à Q, appliquées en B et D. Donc le poids du tétraèdre se trouvera décomposé en quatre poids Q égaux entre eux, appliqués en ses sommets.

Soient a, 6, c, d les distancés de ces sommets à un plan quelconque, et i la distance au même plan du point G; le théorème des moments appliqué aux poids 4Q du tétraèdre donne

4Q J = Qa -i- Q6 4- Qc -H Qrf

5= -(aH-6-f- c-hd).

Corollaire IL — De la démonstration qui précède, il résulte

a3o a* SECTION. — chap. xi.

aussi que le centre de gravité d'un triangle est le centre des moyennes distances de ses trois sommets.

Corollaire IIL — Le centre de gravité d'un tétraèdre coïncide avec le centre de gravité de l'aire du triangle que détermine, dans le tétraèdre, une section distante d'une de ses faces du quart de la hauteur correspondante.

Corollaire IV. — Le centre de gravité d'un tétraèdre jouit encore de la propriété d'être au milieu de la ligne qui joint les milieux de deux arêtes opposées quelconques du tétraèdre. En effet, joignons le point I, milieu de l'arête BD, au centre de gravité G. La ligne I( j, étant dans le plan AJC, ira rencontrer l'arête AC opposée à BD, ainsi que sa parallèle gg^. Soient V et i les points de rencontre avec ces deux lignes : il est clair que i sera le milieu de gg et F le milieu de AG; car les triangles semblables Gig et AGI' donnent

AI' ~ GI" de même, les triangles g^îG et GFC donnent

gT~ GI" d'où

On établirait de même, au moyen des triangles semblables lAV et \ig^ d'une part, ICI' et \ig de l'autre.

ou, à cause de (i).

CI' ~ Ai' ^'^ P^Vg'i'

Cr AI' AI' " CI' '

ce qui exige que CI' = AF.

Ainsi la ligne IF joint bien les milieux I et F de deux arêtes opposées AC et BD. Je dis maintenant que G est le milieu de cette ligne. En effet,

9i — iC — l£ — ^ G'I "" Cl' "" IG " 3

D'ailleurs,

G. = lGr.

Par conséquent,

GI = G/-4- Ii= ^^- -+- ^ -+- g)GI' = GI'.

On peut voir, par des considérations mécaniques très simples, que le centre de gravité du tétraèdre est au milieu de la ligne qui joint les milieux de deux arêtes opposées.

Soit le tétraèdre ABCD (Jig. 59, PL Xll). Coupons-le par des plans parallèles aux arêtes opposées CD et AB. Ces plans détermineront, sur les faces du tétraèdre, des parallélogrammes, tels que abcd^ a^biCxd^^ dont les côtés sont parallèles à CD et AB. Les centres de ces parallélogrammes sont évidemment sur la ligne IF qui joint les milieux des arêtes CD et AB. Donc (§ 147) le centre de gravité du volume du tétraèdre se trouve sur cette ligne.

De plus, ces parallélogrammes ayant tous même angle, leurs aires sont entre elles comme les produits de leurs côtés, en sorte que

aire abcd ab x db

a Or

donc

c'est-à-dire que les aires des parallélogrammes sont entre elles comme les produits des deux segments que leurs plans déterminent sur une arête CB. Donc, si Ton prend deux parallélogrammes tels

aire

aybiCidx

ab aibt

bd àidl

axbx

Cb = G6V hb

~hbV

dibt

aire abcd

xdb

a'ireaibiCidi

~ aibi

X dibi

Bbi

232 a* SKCTION. — CHAP. XI.

que abcd et db* dd\ également distants des sommets C et B, ils sont équivalents, parce que C6 = B6' et, par suite, B6 = C6'. D'où

Il résulte de là que, si Ton considère deux plaques infiniment minces, d'égale épaisseur, ayant ces parallélogrammes pour bases, ces plaques auront même volume et même poids, et le centre de gravité de l'ensemble des deux sera dans un plan équidistant de l'une et de l'autre, c'est-à-dire équidistant des sommets C et B. Comme il est sur la ligne IF, il sera donc au milieu de celte ligne. II en est de même de toutes les plaques que l'on considérera ainsi deux par deux, et par suite aussi du volume formé par l'ensemble de toutes ces plaques; et, comme ce volume peut être rendu aussi voisin que Ton veut du volume du tétraèdre si les plaques sont prises suffisamment minces, le centre de gravité du tétraèdre se trouvera lui-même au milieu de la ligne IF.

De là, on déduirait ce théorème de Géométrie démontré directement plus haut :

Les quatre lignes qui joignent les milieux des arêtes opposées dun tétraèdre se croisent en un même point, qui est le milieu de chacune déciles.

P3rrainides et cônes. — Le centre de gravité du volume d'une pyramide ou d'un cône à base quelconque coïncide avec le centre de gravité de Caire d'une section parallèle à la base faite au quart de la hauteur de la pyramide ou du cône, à partir de cette base.

En efiet, menons les diagonales issues de l'un des sommets du polygone de base d'une pyramide, et décomposons celle-ci en tétraèdres au moyen de plans passant par ces diagonales et parle sommet de la pyramide. Le centre de gravité de chacun de ces tétraèdres coïncide (§ 148, Coroll, II) avec le centre de gravité du triangle que détermine, dans ce tétraèdre, une section parallèle à

la base de la pyramide placée au quart de sa hauteur, à partir de cette base. De plus, le volume du tétraèdre est proportionnel à Taire de ce même triangle. Donc, pour avoir le centre de gravité de la pyramide, il sufGt, au centre de gravité de chacun de ces triangles, d'appliquer une force proportionnelle à son aire et de chercher lé centre de toutes ces forces parallèles; ceci revient à dire qu'il faut chercher le centre de gravité de l'aire du polygone que le plan sécant détermine dans la pyramide.

Ceci étant vrai, quelque nombreuses que soient les faces d'une pyramide inscrite dans un cône quelconque, l'est aussi pour un tel cône.

§isi.

Tronc de pyramide et tronc de cône à bases parallèles. — Soit {fig 60, PL XII) un tronc de pyramide à bases parallèles ABCDEaicrfe. Prolongeons le tronc de façon à compléter la pyramide. Soit S son sommet; soient G2 et G| les centres de gravité des pyramides SABCDE et S abcde ; Q2 et Qi leurs volumes. Les points Ga et G| sont sur la ligne qui joint le sommet S aux centres de gravité g^ et^i des bases et au quart des hauteurs S^a et S^f , à partir de ces bases.

Le centre de gravité du tronc cherché se trouvera donc aussi sur cette ligne. Si Q est le volume du tronc, on aura

Q = Q.-Qi.

Donc (§ 127), pour obtenir le centre de gravité G, il suffit, aux centres de gravité Ga et G|, d'appliquer des forces proportionnelles à Qa et Qi, parallèles et de sens contraires, et de chercher le centre de ces forces parallèles. Le point G sera donc tel (§120) que

GGj __ Qi SÔ^

D'après cela, menons du point S une ligne quelconque SX, et décrivons les arcs de cercle AA' et aa! ayant le point S pour centre. Menons les lignes antiparallèles Aa' et h!a\ prenons sur SX une longueur quelconque Si; menons 1 1' parallèle à Aa'; ï'2 parallèle

234 tî* SECTION. — CHAP. XI.

à a A', et 22' parallèle à A a. On aura

Si Sa'

Si' ~ SA

~ SA

Si' Sa

Sa ~ SA'

~ SA

Sa Sa'

Sa' ~ SA

~-SÂ

d'où, en multipliant membre à membre et supprimant les facteurs

communs,

Si Sa __ GGt

s? ~ sT " ^''

Donc, si, au point G, on mène une ligne de direction arbitraire G| Mj = S 2', et au point G2 une parallèle à la précédente, Gj 1/2=81 , et qu'on joigne les points u^ et «a» la ligne 11 ^ u^ ira rencontrer la ligne Gi G2 au point cherché G.

Rien absolument n'est changé si, au lieu d'un tronc de pyramide, c'est un tronc de cône qui est donné. On prolongera deux arêtes quelconques du tronc jusqu'à leur rencontre en S, et l'on opérera sur l'une d'elles la construction faite sur SA et Sa.

Polyèdre qnelconqne. — Tout polyèdre pouvant être décomposé en pyramides ou en tétraèdres, on peut trouver maintenant le centre de gravité du volume d'un polyèdre quelconque.

Secteur sphériqne. — Le centre de gravité du volume dun secteur sphérique est le centre de gravité de la surface cTune calotte sphérique ayant même centre que le secteun donné et pour rayon les trois quarts du rayon de ce secteur.

La démonstration est tout à fait semblable à celle relative au secteur de cercle (§ 139).

CENTRES DE GRAVITÉ DES CORPS. !j35

Portion d'enveloppe sphériqne. — Considérons {^fig- 61 , PL XII) une portion d'enveloppe sphérique, engendrée par la demi-révolution de Panneau A2 A^ B^B^ compris entre deux arcs de cercle concentriques et les normales A2 A| etB2B| à ces arcs, autour de l'axe OCf passant par leurs milieux. La ligne OC2 est une ligne de symétrie sur laquelle se trouvera le centre de gravité cherché. Soit G ce point. Soient G2 et Q^ les centres de gravité des secteurs O A2B2 et O Ai Bi que nous savons trouver; Q2 et Qi leurs volumes. Le volume Q de l'enveloppe est

Pour trouver son centre de gravité G, nous devons (§ 127) appliquer aux points G2 et G^ des forces parallèles, proportionnelles à Q2 et Q4, de sens contraires, et chercher le centre de ces forces parallèles. Ce point sera sur le prolongement de G| G2 et divisera cette ligne (§ 120) de façon que

GGj Q, QÂ^a

Menons les lignes ^2^^ et K^ Cj. Prenons sur OA2 une longueur arbitraire Oi; menons 11' parallèle à A,C2; l'a parallèle à Ci A,, et 22' parallèle à A|C2. On verrait, comme au § 151, que

Donc, par G|, on mènera une ligne de direction quelconque Gi ttj = Oa', et par G2 une parallèle G2Mt = Oi; la ligne 11^ u^ ira couper le rayon OC2 au centre de gravité cherché G.

Segment de sphère à nne base. — Soit {fig. 62, PL XII) un segment de sphère engendré par la demi-révolution du segment de cercle ABC autour du rayon OC passant au milieu de AB. Cette

236 !>.• SFCTioN. ~ en A P. XI.

ligne est une ligne de symétrie, sur laquelle est placé le centre de gravité cherché G.

Soient G2 et Qa le centre de gravité et le volume du secteur sphérique OACB, et G| et Q, le centre de gravité et le volume du cAne OAB. Nous savons trouver les points Ga et G|. Le volume Q du segment étant

nous aurons, comme ci-dessus,

GG, Q, GG, l^,'

Or le volume du cône OAB est

Q, ^.^T.DHx OD.

Soient h ^r= CD la hauteur du segment et r le rayon de la sphère, on aura

Le volume Q2 du secteur est

Donc

GGj ^'Kh('àr — h)(r — h) (2r — h)(r — h

Prenons sur la tangente en G une longueur CF -= OD .sr. r — h\ joignons le point F à l'extrémité E du diamètre CE = ar. On aura

DTI ED

d'où

et, par suite,

r — h 'xr

^^ ^ (r-h){'ir-h)

GG, DH GG, "" r '

Donc, si l'on prend, sur une ligne quelconque issue de G|, G|^/| égal au rayon de la sphère, et sur une parallèle à cette ligne, issue de Ga, G2a2 = DH, la ligne UiU2 ira couper OC au centre de gravité cherché G.

Segment de sphère à deux bases. — Soit (^g. 63, PI. XII) une zone sphérique engendrée par la demi-révolution du segment circulaire A1A2B1B2, compris entre les cordes parallèles A|B|,A2B2, autour de l'axe OM. On aura

voLAïAiBiB,

= sect.OAjMB,— sect. 0 A, M B, -1- côneOAjB, — côneOAtBt.

Nous savons trouver les centres de gravité des quatre corps dans lesquels le volume de la zone se trouve ainsi décomposé. Soient Gi, G2 les centres de gravité et Qi, Q2 les volumes des secteurs OAjMBi et OA2MB2 ; soient de même g^ ^^gi les centres de gravité, et gr,, ^2 les volumes des cônes, en sorte que

vol. Al AjBiBj = Q, — Q, 4- y, y,.

Le centre de gravité cherché G est (§ 127) le centre de quatre forces parallèles et proportionnelles à

Qi, — Qi, qt et —qi

appliquées respectivement aux points

Gi, Gj, gt et ^1,

les signes moinsy dans la désignation des forces appliquées en G2 et ^1, indiquant que ces forces sont de sens contraire à celles appliquées Gi et ^2.

On a, en appelant r le rayon de la sphère et posant