APPLICATION AUX CINTRES DES VOUTES ET A DES CHARPENTES DIVERSES

lOnOHS PBÉLmiHAIBES SUR LE FEOTTEMEIIT. — Considérons {fi g, 85, PL^AIJT) un corps (A) reposant sans adhérence sur un plan xy. Nous avons vu(§ 53) que la réaction de chacun des points d'appui du plan sera normale à ce plan, en sorte que la résultante des réactions de tous les points d'appui, quel qu'en soit le nombre, sera aussi normale à xy.

Ces réactions sont d'ailleurs toutes dirigées dans le même sens, dans un sens tel qu'elles s'opposent à ce que le plan soit traversa parle corps. Leur résultante sera donc dirigée dans le même sens et comprise entre les points d'appui.

Pour que le corps (A) puisse être en équilibre, il faut que la résultante R des forces qui agissent sur lui soit égale et contraire à celle des réactions du plan. Cette force devra donc : i° être normale au plan xy; 2° tendre à appuyer le corps contre le plan: 3° son point d'intersection avec le plan devra se trouver à Tintrrieur du périmètre formé par les points d'appui.

D'après cela, si la résultante R des forces agissant sur le corps (A), au lieu d'être dirigée suivant une normale au plan xj'y a une direction oblique R', le corps (A) glissera sur le plan.

Cela suppose, toutefois, que les surfaces en contact sont d'un poli par/ait. En réalité, il n'en est pas ainsi. L'expérience prouve : 1° que si les corps en contact sont des solides naturels, le glissement ne s'effectue que si l'inclinaison cp' de R' sur la normale atteint ou dépasse une certaine valeur <p; 2** que cette valeur est indépendante de la grandeur de R', indépendante de l'étendue des surfaces en contact; elle ne dépend que de la nature de ces surfaces et se nomme V angle du frottement de Vune des surfaces sur l'autre.

De ce que le corps (A) demeure en équilibre tant que la résultante R' des forces qui agissent sur lui fait, avec la normale, un angle cp' moindre que l'angle du frottement <p, il résulte que le plan xy fait alors naître une réaction R'' exactement égale et contraire à R'. Ainsi , si un corps naturels^ appuie sur la surface d^un autre corps naturel, celle-ci peut lui opposer une résistance oblique dont V inclinaison sur la normale peut prendre toutes les valeurs comprises entre zéro et un certain angle o appelé l'angle de frottement. La composante de la réaction parallèle à la surface est le frottement ; la composante normale à la surface conserve le nom de réaction normale. Le rapport du frottement à la réaction normale est évidemment égal à la tangente trigonométrique de rinclinaison de la réaction sur la normale. Ce rapport peut varier depuis o jusqu'à tang ç ; cette dernière quantité est ce que Ton nomme le coefficient de frottement des deux surfaces en contact; nous le désignerons habituellement par la lettre/, en sorte que/=^ tang^p^ quand le corps (A) est sur le point de glisser, si N est la pression normale qu'il e\erce sur xy, le frottement que fera naître cette pression sera ainsi égal à /N.

BEGHERGHE DE L'ACTION EXERCÉE PAB UNE VOUTE EN COURS DE CONSTRUC- TION SUR SON CINTRE. — Les voûtes se construisent en posant sur cintre les voussoirs, à partir des deux naissances à la fois, jusqu'à la clef. On pose ensuite le voussoir de clef qu'on chasse comme un coin entre les voussoirs voisins, de façon à le serrer le plus possible: la voûte est alors terminée; elle se tient d'elle-même et l'on peut enlever les cintres; mais, tant que la clef n'est pas posée, elle est exclusivement portée par les cintres.

Le problème que nous nous proposons de résoudre est celui-ci :

Quelles sont les pressions exercées parles divers voussoirs sur le cintre au moment où l'on va poser la clef ou, plus généralement, à un moment quelconque de la construction d'une voûte, par exemple, lorsqu'on a construit la partie xafyy' {fig* 86, PL JT/JQ?

Considérons un voussoir quelconque abcd et cherchons l'action que ce voussoir exerce sur le cintre. Chaque voussoir repose sur le cintre par l'intermédiaire d'un couchis k passant en son milieu.

APPLICATION AUX CINTRES DES VOUTES. ajl

Nous pouvons regarder raction cherchée conime passant par le centre de ce couchis. Cette action est d'ailleurs normale à Tintrados; elle est donc dirigée suivant la ligne médiane gH. du voussoir. Nous en connaissons ainsi la position, et c'est sa grandeur seulement que nous avons à déterminer.

Nous pouvons concevoir enlevée la partie de la voûte placée audessus du joint cdj pourvu que nous remplacions Faction qu'elle exerce sur ce joint par une force fictive y qui lui soit égale. Supposons, pour un instant, cette force connue en grandeur et en position ; je dis qu'on en pourra déduire : i° la force analogue gr' relative au joint ab, c'est-à-dire l'action exercée sur ce joint par la partie de la voûte située au-dessus de lui ; 2° l'action cherchée X de la voûte sur le cintre au point A*.

En effet, composons l'action supposée connue q avec le poids p du voussoir; soit r la résultante de ces deux forces et o le point d'intersection de cette résultante avec la ligne ^X suivant laquelh» est dirigée l'action cherchée X.

Il peut se présenter deux cas : la partie de la voûte placée audessus du joint ab peut tendre à se détacher de la partie placée audessous, de deux manières, soit en glissant le long du joint ab, soit en tournant autour de l'arête d'intrados b. Dans la première hypothèse, l'action inconnue 5^' exercée par abyy' sur le joint ab serait connue en direction^ car elle ferait, avec la normale à ab, un angle égal à l'angle du frottement de la pierre sur la pierre (§ 182), angle que Ton admet, d'après l'expérience, être généralement de iS® pour les voûtes en maçonnerie (*). Dans la seconde hypothèse, l'action q ne serait pas connue en direction, mais on connaîtrait un point de sa ligne d'action ; car cette force passerait nécessairement par le point 6.

D'après cela, voici la marche à suivre pour avoir à la fois les forces q^ et X. On décomposera la force r en deux : l'une suivant la ligne oX dont la position est connue, l'autre suivant la ligne ogr' passant par o et formant un angle de i5^ avec la normale au joint ab. Si cette ligne oq' coupe le joint ab entre les points a et b, la

(') Nous n'avons pas ici à tenir compte de radhcrence des mortiers, puisqu'ils n'ont pas encore fait prise au moment où nous éludions les actions mécaniques qui se développent dans la voûte.

composante de r dirigée suivant cette ligne sera Taction cherchée q' sur ce joint, et la composante suivant oX sera Faction exercée en k sur le cintre. Dans ce cas, on sera bien certain que c'est par glissement que la partie de la voûte située au-dessus de ab tend à se détacher du reste.

Si, au contraire, la ligne oq^ coupait la ligne ab dans le prolongement de la portion ab^ alors on serait, au contraire, assuré que ce n'est pas par glissement, mais par rotation autour du point fc, que le mouvement de la portion abvy de la voûte tendrait à se produire ; on devrait donc de'composer la force r en deux : Tune suivant oX et l'autre suivant ob, La première des composantes donnerait l'action sur le cintre, la seconde, l'action gr" sur le joint ab.

Ainsi, dans tous les cas, étant connue l'action q exercée sur un joint cdf on en peut conclure : 1" l'action analogue {^' ouq") exercée sur le joint suivant, ainsi que l'action exercée sur le cintre par le voussoir compris entre ces deux joints.

Or, en partant du dernier voussoir posé m nyy\ l'action exerct'e sur le joint yy' est q = o. Elle est donc connue. On pourra par suite trouver : i" l'action exercée sur le cintre par le dernier voussoir; 2** l'action exercée sur le joint mn.

Connaissant celte dernière, on en peut déduire l'action exercée sur le cintre par l'avant- dernier voussoir, ainsi que l'action exercée sur le joint suivant m'/i', et, en continuant ainsi de proche en proche, on aura l'action exercée sur le cintre au droit de chacun des voussoirs de la voûte.

11 est à peine besoin d'ajouter que toutes ces recherches se font graphiquement avec la plus grande facilité, au moyen du polygone des forces et du polygone funiculaire. On portera bout à bout les forces/? elq; puis, par l'une des extrémités du contour ainsi obtenu, on mènera une parallèle à oX; par l'autre, une parallèle à oy' sî celte ligne tombe entre a et 6 et à oq" dans le cas contraire; on aura ainsi en grandeur les forces cherchées X et q^ (ou q'^) sur le polygone des forces. La première est d'ailleurs connue en position; la construction d'un polygone funiculaire quelconque donne la position de la seconde.