CHAPITRE XVII

THÉORIE, CONSTRUCTION ET EMPLOI GÉNÉRAL DES MOMENTS DE FLEXION ET EFFORTS TRANCHANTS.

ITFOET TRAHGHAHT; GOMFBESSIOH DE LA FIBE^ KOTEHHE. KOMERT ET GOÏÏPLE DE nmOH. Soit (Jiff. 34) AoBqAiB, un corps quelconque

Fig. 34.

(poutre, arc, etc.) libre ou non, symétrique par rapporta un plan et en équilibre sous Taction de forces extérieures toutes (y compris les réactions des appuis si elles existent) situées dans ce plan.

Concevons qu'à l'intérieur de ce corps et dans le plan de symétrie on trace une courbe GqGi, puis qu'on fasse, dans le corps, des sections telles que X'X, normales à cette courbe. En général, le corps est tel que la ligne GoG| soit le lieu des centres de gravité des sections qui lui sont normales et elle prend alors le nom de Jibre moyenne de la pièce. Nous lui donnerons ce nom, pour abréger le langage, tout en observant que les théorèmes de pure Statique qui vont suivre sont vrais, quelle que soit la courbe GqG\ tracée à l'intérieur du corps.

Soit AB la trace de la section sur le plan de la fibre moyenne ; AB

sera la normale à cette ligne au point G où elle est coupée par la section. Cette section divise la pièce en deux parties. Quand nous parlerons des forces élastiques ayant leurs points d'application dans la section, nous entendrons celles exercées par la partie de gauche AqBoAB du corps sur celle de droite ABA<B<.

Concevons qu'on transporte toutes ces forces au point G.

Soient R la résultante de cette translation et M le moment du couple résultant correspondant. La force R est dans le plan de symétrie; soient T et N ses composantes suivant la ligne AB et la normale à la section ou la tangente à la fibre moyenne.

La force T ou somme des composantes tangentielles des forces élastiques est ce que nous avons déjà appelé V effort tranchant,

La force N ou somme des composantes normales des forces élastiques se nomme la compression ou tension de la fibre moyenne.

Le couple résultant de la translation des forces élastiques au point G où la ligne AB coupe la fibre moyenne se nomme le couple de flexion relatif à ce point.

Le moment M de ce couple, c'est-à-dire la somme des moments des forces élastiques par rapport au point G se nomme le moment fléchissant ou moment de flexion.

Les composantes tangentielle et normale d'une force élastique se nomment souvent, par abréviation, force élastique tangentielle ou normale,

GONVEHTIOlfSSnRLES SIftHES. — Il importe de bien préciser les signes des grandeurs que nous venons de définir.

Soit s l'arc G© G compté de gauche à droite.

Nous prendrons le sens positif des s pour le sens positif de la normale à AB ou de la tangente à l'arc s. Il en résulte que nous regardons les forces élastiques normales comme positives quand elles représentent des compressions ; c'est pourquoi nous appellerons N la compression de la fibre moyenne.

Lorsque nous rapporterons la position de la fibre moyenne à des axes de coordonnées qui seront rectangulaires, nous prendrons comme sens positif de la ligne AB ou de la normale à la fibre moyenne un sens tel que la normale parallèle à l'axe des y (c'est-

à-dire la normale au sommet de la fibre moyenne si l'axe des y est vertical) ait pour sens positif le sens des r positifs.

L'effort tranchant T sera positif ou négatif suivant qu'il sera ou non dirigé dans le sens de la normale positive.

Les moments (en particulier le moment de flexion M) seront, en général et sauf avis contraire, comptés positivement s'ils tendent à tourner leurs bras de levier dans le sens qui amènerait le demi-axe positif des x sur le demi-axe positif des r, comme l'indique la flèche.

Quand nous ne ferons pas usage de coordonnées, Teffort tranchant sera compté positivement dans un sens tel que, dans la seclion verticale de la pièce, il soit descendant.

Dans ce cas aussi les moments ( en particulier les moments de flexion M) seront comptés positivement de gauche à droite.

THÉOBiMES ftÉHÉBAUX. — Ceci posé, considérons les forces extérieures, y compris, s'il y a lieu, les réactions des appuis, qui agissent entre la section AB et l'extrémité gauche de la poutre; transportons-les au point G et soient R' leur résultante de translation, T, N' les composantes de cette force suivant la ligne AB et la norr maie à cette ligne; M' le moment du couple résultant de cette translation.

Nous savons (§ 63) que les forces extérieures, y compris les réactions des appuis, qui agissent entre l'extrémité gauche de la pièce et une section quelconque AB, ont même résultante ou même couple résultant que les forces élastiques qui agissent dans cette section.

Ces deux systèmes de forces, qu'ils admettent ou non une résultante, sont donc équivalents et ont, par suite (§117, Rem. II), même résultante de translation et même moment résultant, c'està-dire que

T'=T, N'=N, IVl'=M.

Ainsi :

Théorème I. — i® L'effort tranchant dans une section quelconqueXIX. d'une pièce à /ibre. moyenne plane, symétrique par rapport au plan de cette fibre et soumise à des forces quel--

a;8 3* section. — chap. xvii.

conques situées dans ce plan, peut se définir indifféremment la somme des forces élastiques tangentielles exercée dans la section X'X ou la somme des projections sur cette section des forces extérieures {y compris les réactions des appuis) qui agissent à sa gauche.

2" La compression normale peut se définir soit la somme des forces élastiques normales, soit la somme des projections sur la normale à la section y des forces extérieures dont il vient d'hêtre parlé.

3*" Le moment de flexion dans la section considérée peut se définir soit la somme des moments, par rapport au point G oii elle coupe la fibre moyenne, des forces élastiques qui y agissent, soit la somme des moments, relativement au point G, de ces mêmes forces extérieures.

Corollaire I. — Dans les poutres droites {ou pièces à fibres moyennes rectilignes) horizontales soumises à des charges verticales et reposant sur des appuis ne pouvant fournir que des réactions verticales, la compression de la fibre moyenne est partout nulle.

Pour de telles pièces on n'a à considérer, dans chaque section, que le moment de flexion et l'eff^ort tranchant.

Corollaire II. — Si, dans une pièce quelconque, on considère deux sections infiniment voisines (fïg* 35, p. 279) comprenant entre elles une force F de grandeur finie, normale à la fibre moyenne, les moments de flexion dans ces deux sections ne diffèrent que d'une quantité infiniment petite, ainsi que la compression de la fibre moyenne; mais les efforts tranchants y diffèrent de toute la grandeur de la force F.

(SI la force F est tangente àla'fibre moyenne, TefTort tranchant et le moment de flexion dans les deux sections ne difiièrent qu'infiniment peu, et c'est la compression de la fibre moyenne qui se modifie brusquement de toute la grandeur de la force F. )

En eflet, soient AB, A'B' deux sections infiniment voisines comprenant entre elles la force F de grandeur finie, normale à la fibre moyenne.

Le moment de flexion au point G est la somme des moments par rapport à ce point de toutes les forces agissant entre lui et Textrérnité de gauche Go de la pièce.

Le moment de flexion au point G' se compose : i° de la somme des moments de ces mêmes forces relativement au point G', somme qui ne diflere qu'infiniment peu de la précédente; 2° du moment relativement au point G' de la force F, moment qui est lui-môme infmiment petit.

On voit de môme que la force F, quoique de grandeur finie, ne modifie qu'infiniment peu la compression de la fibre moyenne en G', puisque sa projection sur la tangente à cette courbe en G' est infiniment petite.

Mais, sur A'B', elle se projette en vraie grandeur, de sorte que Teffort tranchant en G' où elle intervient diflere de l'efi'ort tranchant en G, où elle n'intervient pas, de toute la grandeur de cette

force.

Fig. 35.

On démontrerait de même la proposition relative au cas où la force F est tangente à la fibre moyenne.

Corollaire IIL — Dans une poutre droite horizontale soumise à des charges verticales et posée sur des appuis ne donnant lieu qu'à des réactions verticales, les moments de flexion de deux sections infiniment voisines comprenant entre elles soit une force finie directement appliquée, soit un appui simple^ ne diffèrent qu'infiniment peu, tandis que lés efforts tranchants diffèrent de toute la grandeur de la force directement appliquée ou de la réaction de l'appui.

On peut donc parler du moment de flexion sur un appui, comme étant la limite de celui qui existe dans une section infini-

a8o 3* SECTION. •— CHAP. XVII.

ment voisine prise soit à sa droite, soit à sa gauche ; tandis que Teffort tranchant doit être considéré dans Tune ou l'autre de deux pareilles sections suivant le but qu'on se propose.

Théorème IL — Quelles que soient les charges que subit une pièce à fibre moyenne plane y ces charges étant dans le plan de la fibre qui est plan de symétrie de la pièce et quels que soient le nombre et la nature des appuis y le moment de flexion M en un point quelconque G de la pièce peut être obtenu en ajoutant au moment de flexion M' relatif à un point fixe G' arbitrairement choisi à gauche de G, la somme des moments relativement à G : \^ de toutes les forces extérieures agissant entre G' e^ G ; 2'' de r effort tranchant et de la compression de la fibre moyenne au point G' .

En effet, le moment de flexion au point G {fig* 36) se com-

Fig. 36.

pose de la somme des moments relativement à ce point : i"* de toutes les forces, y compris les réactions des appuis, agissant entre lui et le point G' ; 2^ de toutes celles agissant entre le point G' el l'exlrémité gauche Go de la pièce.

Mais on ne change pas la somme des moments de ces dernières forces en les remplaçant par leur résultante de translation en G'el le couple résultant correspondant. Or cette résultante R' a pour composantes suivant la normale et la tangente à la fibre moyenne les forces N' et T', et le couple résultant a pour moment M'. Donc la somme de moments des forces 2** se compose de celle T' et N' et de celle des deux forces du couple de flexion en G', laquelle est (§ 114) constante et égale à M', quel que soit le point G.

Théorème II bis, — Le moment de flexion en un point G d^une pièce quelconque est, à une fonction linéaire près des coordon-

nées de ce point, la somme des moments^ relativement à ce points des forces extérieures comprises entre lui et un point fixe G' arbitrairement choisi à sa gauche.

En effet, pour avoir le moment de flexion en G, il faut, d'après le théorème qui vient d'être établi, ajouter à la somme des moments, relativement à ce point, des forces comprises entre G' et G : i** le moment fléchissant M' au point G', c'est-à-dire une quantité constante ou indépendante de la position du point G; a°la somme des moments relativement à G des forces N' et T' ou le moment de leur n'sullante R'. Or, cette ligne R' est fixe, quel que soit le point G. Son moment est égal au produit de R' par la distance G/?. Et la distance d'un point G à une droite fixe R' est une fonction linéaire des coordonnées de ce point.

Théorème III. — V effort tranchant^ dans une section EGA [fig, 87, p. 282), dUine pièce quelconque dont la fibre moyenne droite ou courbe est Go G< , est égal, en valeur absolue, à la dérivée du moment de flexion en ce point, prise relativement à Varc 5= Go G, de la fibre moyenne comptée depuis V extrémité gauche Go-

Cette dérivée doit être prise en signe contraire si (§ 189) Ton prend comme sens positif de la normale à la fibre moyenne le sens BA, tel que la normale parallèle à l'axe des y ait le sens des >' positifs.

Le moment de flexion M en un point G est (théorème I) la i'Orame des moments relativement à ce point de toutes les forces, y compris les réactions des appuis qui agissent entre Gq et G.

Soit {fig. 37) c le point d'application de l'une quelconque de ces forces, qu'elle soit donnée ou que ce soit une réaction d'appui.

Rapportons le système à deux axes rectangulaires quelconques Ox, Oy, Soient a, (3 les coordonnées du point c pris à la gauche Je AB, A et B les composantes parallèles aux axes de la force qui apt en c.

Si X et j^ sont les coordonnées du point G, le moment de la force appliquée en c ou la somme des moments de ses composantes A et B relativement au point G est, si le sens des moments positifs est

celui de Li flèche allant de Oj: vers O^,

et le moment M est la somme des moments de toutes les forces analogues agissant à gauche de la section AB.

Appelons > cette somme g

d'où

~ds

.^ \ ^6* ds I

Or -7- et -y- sont les cosinus des angles que la tangente en G fait

avec les axes de coordonnées.

Les cosinus des angles que la normale BA fait respectivement avec ces mêmes axes sont

dy

-ds'

dx d's'

en prenant les signes supérieurs ou inférieurs suivant le sens positif qu'on attribue à la normale. SI on lui attribue le sens tel que, quand BA vient en B' A' parallèlement à Taxe desj^, le sens positif soil

celui des^ positifs, cela veut dire que pour -~- = o le cosinus de

l'angle de la normale avec Taxe des^ est -i- i, ce qui exige qu'on prenne les signes inférieurs.

Donc

ds lis

est la projection, sur BA, de la force appliquée en c, et le second membre de Téquation (a) est la somme des projections, sur cette ligne, de toutes les forces agissant à gauche de la section BA, c'està-dire reflbrt tranchant que nous appelons T, en sorte que

Corollaire I. — Aux points où le moment de flexion cVune pièce quelconque est maximum ou minimum , l'effort tranchant est nul et réciproquement.

Corollaire II. — Lorsque le moment de flexion d'une pièce est constant en tous ses points^ V effort tranchant est partout nul ,tt vice versa.

A. — Application aux poutres droites.

Théorème IV. — Quelles que soient les charges qui agissent sur une poutre droite et quels que soient le nombre et la nature des appuis, le moment de flexion en un point quelconque G d'une ra\^ée peut s'obtenir en ajoutant au moment de flexion, en un point G' arbitrairement choisi à sa gauche dans la même traitée, la somme des moments relatii'cment à G : i° des forces données agissant entre G' et G; a^ de l'effort tranchant en G.

En effet, appliquons le théorème II à deux points G et G' (Jig- 38, p. 284) appartenant à une même travée, de sorte qu'entre ces points n'agissent que des forces connues. D'ailleurs la compression N' de la fibre moyenne, même si elle existe, passe par le point G et fournit, par suite, un moment nul. Donc, si G^x est l'axe des

284 3* SECTION. — CIIAP. XVII.

x^ G' r origine des abscisses, x l'abscisse du point G et m a somme des moments, relativement à G, des forces données qui agissent entre G et G', on aura

ou

(2) M = m — T'x-hM'.

Corollaire I. — Quels que soient le nombre et la nature des appuis d'une poutre droite, le moment de flexion en un point d'une travée quelconque est, à une fonction linéaire près de l'abscisse de ce point, égal à la somme des moments relativement à ce point des forces données qui agissent entre lui et un point fixe G' arbitrairement choisi à sa gauche, dans la même travée.

Fig. 38.