C' -KT
Bo
On connaît donc a priori les moments en tous les points d'une havce à deux constantes près. Ces constantes changent d'une travée à l'autre.
Pour une poutre à n travées, il s'introduit donc a/i constantes indéterminées et que la théorie de l'élasticité permet, en général, seule de déterminer.
Corollaire II. — Quels que soient le nombre et la nature des appuis d'une poutre, quelles que soient les charges qu'elle supporte, s'il existe soit une portion de travée, soit une travée entière AqBq vide ou dépourvue de toute charge (même de celle due à son propre poids), le moment de flexion y est représenté par l'ordonnée d'une portion de droite.
En efl'et, dans ce cas, en prenant le point G' en Ao, on a m = o et la formule (a) donne
M = M' -T'a:, c'est-à-dire que le moment de flexion en tout point G compris entre
Ao et Bo est une fonction linéaire de l'abscisse de ce point. Si donc en chaque point G on construit une ordonnée qui, à une dchelle convenue, représente le moment de flexion M, le lieu des extrémités de ces ordonnées sera une portion de droite aob^, de sorte que, si l'on connaît les moments XqOq et B^Ôq en A^ et Bq, on les connaîtra dans toute la partie AoBq.
Corollaire III. — Quels que soient le nombre et la nature des appuis d\ine poutre, quelles que soient les charges quelle supporte, s^ il existe soit une portion de travée, soit une travée entière supportant une charge uniformément répartie à raison de p^ par unité de longueur, le moment de Jlex ion en tout point G compris entre A^ et B© est l'ordonnée d'une parabole à
axe vertical dont le paramètre est > dont la forme est, par
suite, connue et indépendante des charges et appuis du surplus de la poutre, sa position seule dépendant de ces éléments.
En effet, dans la formule (2) et la fig. 38 (p. a84 ) en prenant le pointG' en Ao, m est la somme des moments, relativement à G, des charges directement appliquées entre Aq et G. Prenons le point A^ pour origine des abscisses. Alors la charge totale entre A^ et (i est égale kp x \qG=px', elle est appliquée au milieu de AqG et
a, par suite, pour bras de levier -; son moment, qui est égal à la somme des moments des charges elles-mêmes, est donc, en valeur absolue,^— • Si elle est descendante, ainsi que l'axe des^, ce moment est négatif, les moments positifs comptés de gauche à droite. Ainsi
d'où
(3) M = -^-ra7-+-M',
équation d'une parabole à axe vertical, déforme déterminée et dont la position seule varie avec les coefficients T' et M'.
Théorème V. — L'effort tranchant compté positivement de haut en bas dans une section d'une poutre horizontale à appuis
en nombre quelconque est égale à la dériyée, prise en signe contraire, du moment fléchissant par rapport à Vabscisse de la section.
Ce ihéorème est un cas particulier du théorème III. Ainsi, T et M étant TelTort tranchant et le moment de flexion dans une section d'abscisse a:, on a
Corollaire I. — L effort tranchant en un point d'une poutre est le coefficient angulaire pris en signe contraire de la tangente en ce point, à la ligne représentative des moments de flexion .
Si, en effet, M est représenté, à une échelle convenue, par une ordonnée, le coefficient angulaire changé de signe de la tangente à la ligne lieu des extrémités de ces ordonnées représente l'effort tranchant.
Il j a toutefois une remarque à faire à ce sujet : pour obtenir le coefficient angulaire d'une droite, il suffit de diviser l'une quelconque des ordonnées de la droite par l'abscisse correspondante comptée depuis le point où la droite coupe l'axe des abscisses. Ici on devra mesurer l'abscisse à l'échelle adoptée pour les abscisses ou la longueur de la poutre et l'ordonnée à l'échelle adoptée pour représenter les moments de flexion.
Corollaire IL — L'effort tranchant dans une portion vide d'une poutre est constant; l'effort tranchant dans une portion de poutre portant une charge uniforme p est l'ordonnée d'une droite de coefficient angulaire p, dont la direction est donc indépendante des appuis et charges du surplus de la poutre, la position de cette droite dépendant seule de ces éléments.
Théouème YI. — 1° Le moment de flexion en un point d'une travée d'une poutre ci appuis en nombre quelconque, sous l'influence de charges quelconques^ est, à une fonction linéaire
près de l'abscisse de ce point, le même que si cette travée était séparée du reste de la poutre et posée sur appuis simples à ses deux extrémités,
2** L'effort tranchant en un point de la travée est, à une constante près, le même que si la travée était ainsi séparée du reste de la poutre.
Soîenl M le moment de flexion véritable en un point G d'une travée et [x le moment de flexion qu'y produirait la charge, quelle qu'elle soit, qui y règne, si la travée existait seule. Soit enfin m la somme des moments, relativement au point G, des charges directement appliquées entre ce point et l'extrémité gauche de la travée. En appliquant la formule (2) successivement à la poutre réelle et à celle obtenue en séparant la travée de ses voisines et prenant le point G' infiniment près de l'appui gauche, on voit que les deux fonctions M et |jl ne diffèrent l'une et l'autre de m que par une fonction linéaire. Donc elles ne diffèrent entre elles que par une lelle fonction.
Ainsi
(5) M = |x-r- Aa'-hB,
A et B étant deux quantités constantes pour tous les points d'une travée, mais changeant d'une travée à l'autre. On tire de là
dM du.
ce qui, en vertu de (4), démontre la seconde partie de la proposition.
OPBESSION AMALTTiaUE BU MOMENT DE FLEZIOH DANS UNE POUTRE A DEUX APPUIS SIMPLES. — On voit, par ce qui précède, que le moment de flexion et l'effort tranchant des poutres à deux appuis simples jouent un rôle particulièrement important dans la théorie des poutres en général. Il nous sera utile, pour cette raison, de les connaître non seulement graphiquement, mais aussi analytiquemenl.
3'* SECTION. — GIIAP. XVII.
1° Charge unique. — Supposons d'abord (/Z^. Sg, p. 287) une telle poutre AB soumise à l'action d'une seule charge P, ajant pour abscisse AC = a. Nous compterons, à moins d'indications contraires, les abscisses depuis l'appui gauche de la poutre.
Les réactions R et R' qu'elle fait naître devant lui faire équilibre, la somme des moments de ces trois forces relativement à un point quelconque est nulle. Si nous prenons les moments successivement par rapport aux appuis B et A, il vient, en appelant l=z AB la longueur de la poutre,
Pa
Cherchons le moment de flexion [jl relativement à un point G d'abscisse x, que nous supposons d'abord placé entre A et C. Par définition même, on a
Fig. 39.
UL = KX :
Si le point G est en G' entre C et B, le moment de flexion y sera, par définition, la somme des moments des deux forces R et P; mais, comme la somme des moments des trois forces en équilibre R, P et R' est nulle, on peut encore dire que le moment de flexion en G' est égal au moment, relativement à ce point, de la force R' changé de signe, soit
jx = R'(/ — A') = Pa^^.
Ainsi :
Pour X <; a,
Pour X > a, (6') H^ = Pailla.
Pour x = a l'une et l'autre formule conviennent également.
2° Charges isolées en nombre quelconque. — Supposons maintenant i^fig- 4o) ^"^ nombre quelconque de forces ?<, Pa, P3, P4, ..., P/, P/+4, ..., P;, d'abscisses t.^, a„ aj, ..., a/, a/+,, ..., a^ et cherchons le moment de flexion [jl relatif à un point quelconque G d'abscisse x.
Appelons P l'une quelconque des forces et a son abscisse.
Fig. 40.
Les forces Pi, P2, . . ., P/ placées à gauche de G, c'est-à-dire pour lesquelles a <C ^y fournissent chacune un moment de flexion donné par l'expression (6'); les autres fournissent chacune un moment de flexion donné par l'équation (6).
Donc on aura, quelle que soit la position du point G,
y indiquant une sommation qui s'étend à toutes les forces placées n à gauche du point G et V une sommation s'étendant à toutes
celles qui sont à sa droite.
Ce qui change d'un terme à l'autre de ces sommes, ce sont les forces P et leurs abscisses a, mais non x et /.
On peut donc écrire
(7) ^=iz^2p'+îi;p(^-«).
expression facile à retenir. S^il existe une force au point G, on peut indifféremment la con-
ago 3* SECTION. — ciiap. xvii.
sidérer comme infiniment peu à gauche ou infiniment peu à droite de ce point, ou comme partiellement dans le premier cas, partiellement dans le second. 11 est évident a priori que cela n'altère qu'infiniment peu, c'est-à-dire que cela n'altère pas la valeur du moment de flexion; c'est ce que la formule montre; car un terme
de 2. ^^^ — 7~~ P^c et un terme de ^ est ^ P (/ — a). Or, pour
cL = x, les deux expressions sont identiques.
Appelons S une somme s'étendant à la travée entière, en sorte que
On peut encore écrire, en réunissant les termes en x.
d'où, pour r effort tranchant que nous appellerons t, on aura, à cause de l'équation (4) du § 191,
~~ dx OU
3° Charges continnes quelconques. — Si, au lieu de charges isolées, on a des charges continues de telle sorte que, sur un élément âfadela poutre pris à partir du point d'abscisse a, il règne une charge p doL^ p étant une fonction donnée quelconque de a, il faudra, dans les formules ci-dessus, faire ]?=zpda. et les sommations \^> \^j \^ se
changeront respectivement en / ^ / y j y de sorte qu'il vient, à la place des formules (7), (8) et (9),
(7') ^^~r~j P^^^-^lJ /?(^— a)^a>
(8') |J^ = / poLd%-hx( I pda—j 1 poLd^Lj,
(9') ^~7j P^d^— j pd'y.^
4° Charge uniforme sur tonte lapontre. — Si la charge est uniforme, p est constant ; les intégrations peuvent s'effectuer. Mais, dans ce cas, le résultat est évident a priori. Nous savons (§ 191) que |jl est une
fonction du second degré dont le terme en x^ est — - — . D'ailleurs
|A doit s'annuler pour j: = o et a: = /. Donc la fonction du second degré est, à un facteur constant près, x{l — ^) et, puisque le terme
en jc*a — - pour coefficient, on a nécessairement
(lO) \3. = ^x{l^X)\
d'où
Si l'origine des coordonnées était au milieu de la travée, on trouverait de même
(il'} z=px,
5** Charge nniforme snr nne partie de la pontre. — Supposons que la charge/? ne règne que sur une longueur).^ soit a,, Tabscisse du milieu de cette longueur. La réaction sur l'appui de gauche, produite par la charge totale/?)., est, comme au i° ci-dessus,
celle sur l'appui de droite est
Donc, entre l'appui de gauche et le commencement de la charge, soit dea:=oà:r = ao >
(i3) ^^^a: = p\^-^x. Dans la longueur \ soit de:r = ao àar^a^H — >
jx = Ra7 p (^ — *0'
aga $• section. — chap. xvii.
ou
(i3i) jj.=^X— ^a;— -/?^ar — ao + -j •
Entre l'extrémité de droite de la charge et l'appui de droite, soit de ^ = ao -I — k x = ty
Les efforts tranchants correspondants seraient
(i4) < ':=— ^X— ^ H7>^ar— ao-t- - j ,
G"" Charge d'eau ou de terre. — Supposons une charge régnant sur une longueur X (égale ou inférieure à celle de la poutre) à partir de l'appui gauche.
Au droit de cet appui , elle a la valeur p^ ; à son autre extrémité, soit pour aL=z\ elle a la valeur p^. Entre ces deux points, elle varie linéairement, de sorte que son expression, pour toute abscisse a inférieure .à \ est
P =P0'^{Pl —Po)y^-
Pour toute valeur de a supérieure k\ on a /> = o.
Cette charge peut être considérée comme la superposition :
1° D'une charge uniforme p^ régnant dea=oàa = X;
a° D'une charge dont la ligne de charge (§ 2S) serait une droite partant de l'appui gauche et ayant une ordonnée égale kp^ — p^ au point a = X.
Le moment de flexion en un point d'abscisse x, dû à la première,
est, d'après les formules (i3< ) et ( 182) où l'on doit faire a© = - : 1° Pour ;r <). :
2® Pour a? > A ;
MOMENTS DE FLEXION. agS
La seconde a, poar résultante, Taire du triangle qui lui sert de surface de charge, soit
et passe par le centre de gravité de ce triangle, soit à une distance y de Tappui de gauche. Donc, les réactions qu'elle fait naître sur les appuis de gauche et de droite sont respectivement
Ceci posé :
1° Le moment de flexion qu'elle détermine en un point G d'abscisse a: < X se compose des moments relativement à ce point, de la réaction R et de la résultante des charges agissant à sa gauche, soit sur une longueur x. Ces charges sont représentées par un triangle ayant pour base l'abscisse x et pour hauteur l'ordonnée de la ligne de charge répondant à cette abscisse, soit
iPi — Po) i'
Leur résultante est l'aire de ce triangle, soit
iPi-Po) ^;
elle passe en son centre de gravité, dont l'abscisse est jX ; sa distance au point G est donc jX et son moment, relativement à ce point.
Par suite,
|x=Ra:-(;?i-7?o)'g^
OU
2" Pour j: > )>,
lx=R'(/-T) = (/,,-/.,)^^ (/-«).
a94 3* SECTION. — chap. xvn.
En ajoutant les valeurs de [jl dues à la charge /?o ^^ à celle dont on vient de s'occuper, on aura définitivement : I** Pour 07 <X,
a** Pour a: }> X,
[Xî X» 1
Si la charge règne sur toute la longueur de la poutre, on a X = / et, en un point quelconque d'ahscisse x, il faut appliquer l'équation (i4) qui devient
(,6) ^=-|^^.+ /__ (^,+ jJ
et
7° Aiguilles d'un barrage. — Si l'appui inférieur de l'aiguille est pris pour origine, si h est la hauteur de l'eau au-dessus du seuil de l'aiguille, on a, en kilogrammes',
j9o = lOOoA£, /?! = o,
£ étant la largeur de l'aiguille, et
Le moment maximum a lieu pour t = o soit pour
8* Cas général. — Si l'on a à la fois des charges isolées et des charges continues quelconques, on prendra pour [jl la somme des seconds membres des équations (7) et (7') ou (8) et (8') et pour t la somme des expressions (9) et (9').
MOMENTS DE FLEXION. 2g5
Si l'on a des charges isolées quelconques et une charge uniforme, on ajoutera pour (x les expressions (7) et (10) et pour t celles (y) et (11).
Remarque, — Les formules qui précèdent, en particulier, celles (7), (8), (9) subsistent si la poutre se prolonge au delà de ses appuis, pourvu que les abscisses a des charges placées à gauche Atk{Jig. 40î p- ^^89) soient comptées négativement.
BEPBÉSERTATIOH GRAFHiaUE DES MOM^TS DE FLEUOH ET EFFORTS TBAH- GHAITS DAHS LES POUTRES DROITES. — Théouème Vil. — Le moment de flexion dans une section d^ une poutre horizontale posée sur deux appuis simples et soumise à des charges verticales quelconques est égal au produit de la distance polaire d'un polygone funiculaire quelconque relatif à ces charges, par l'ordonnée que cette section détermine entre le polygone dont les côtés extrêmes sont prolongés jusqu'aux verticales des appuis et la corde correspondante.
Soient (Jig- 93, PI. XXI) les forces verticales 1, 2, 3, 4, 5, 6 représentées {fig-^i) par
et agissant sur la poutre horizontale AB posée sur les appuis A et B sans encastrement.
Construisons le polygone funiculaire 8'1'2 3'4'5'6'7' relatif au pôle quelconque O et limité aux verticales des appuis en 7' et 8'.
Si nous menons la corde T 8' et le rayon polaire correspondant 0(1), les longueurs 6(i)=:7et(i)a = 8 sont les grandeurs des réactions 7 et 8 qu'exercent les appuis B et A.
Considérons la section quelconque a^jî qui détermine entre le polygone et la corde l'ordonnée ab; je dis que le moment de flexion en ^ est le produit ab X rf* d étant la distance polaire, Fun des facteurs, celui que l'on veut, étant mesuré à l'échelle des forces et l'autre à l'échelle des longueurs.
En eflet, prolongeons le côté 2' 1' coupé par la verticale de g jusqu'à sa rencontre en I avec la corde.
^96 y SECTION. — CHAP. XVII.
Le point I appartient à la résultante R des forces, y compris les réactions des appuis, qui agissent à gauche de g. Cette force est d'ailleurs R = to G ou la somme des forces 8 et i .
Le moment de flexion cherché est
li étant la distance du point I à ab, ou
Or, les triangles lab et owG étant semblables, leurs bases sont entre elles comme leurs hauteurs; on a
wG "" û^ ou
o)C X li = ah X. dj
ce qu'il fallait démontrer.
Dans le premier membre, Tun des facteurs étant mesuré à l'échelle des forces, l'autre à l'échelle des longueurs, il doit en être de même des deux facteurs du second membre.
Corollaire L — L'effort tranchant en g est, par définition^ représenté, sur le polygone des forces, par la longueur toC comprise entre le rayon polaire i .2 qui répond au côté l'.2', du polygone funiculaire coupé par la verticale du point g et l'origine (o déterminée par le rayon parallèle à la corde, de sorte que, si l'on représente les efforts tranchants par les ordonnées comptées depuis V horizontale iùtù'y on obtient la ligne en escalier de lafig. 93.
Remarque. — Les constructions qui précèdent s'appliquent encore si la poutre se prolonge au delà de ses appuis et porte des charges sur ses prolongements.
Théorème VIIL — Étant donnée une poutre à appuis en nombre quelconque, avec ou sans encastrement, portant des charges verticales quelconques, si Von trace :
I** Un polygone funiculaire quelconque relatif aux charges données qui agissent dans une travée ;
2° Une droite convenablement choisie dans le plan,
Le moment de flexion, dans une section quelconque de la travée, est égal au produit de V ordonnée correspondante à cette section, comprise entre la droite et le polygone, par la dislance polaire de celui-ci.
Cette droite se nomme la droite de fermeture du polygone.
Supposons que la poutre AB, considérée au paragraphe précédent [fig- 93, PL JrX7), soit une travée d'une poutre quelconque.
Soient M le moment de flexion en ^ et [jl ce que serait ce moment si la travée AB était isolée et posée sur les appuis simples A et B. On a (§192)
A et B étant deux constantes et x Tabscisse du point g comptée sur la droite AB; mais la forme linéaire Kx 4- B subsiste évidemment si Ton compte les abscisses sur une autre droite.
Comptons-les sur la corde T 8' du polygone funiculaire.
En vertu du théorème VII, si Ton appelle z l'ordonnée ab comptée depuis cette corde, on a
^ — z X d, e/ étant la distance polaire du polygone funiculaire. Donc
M = ^ X d-^ Kx -+■ B ou
Construisons la droite
l'ordonnée j' étant toujours comptée depuis la corde 7' 8'. Soit 1" 8" cette droite. Alors
M = d{z — y) — d X cm.
Remarque L — Les ordonnées ca comptées depuis la ligne de fermeture doivent être portées de haut en bas si les moments sont positifs et de bas en haut dans le cas contraire. C'est, en effet, la convention que nous avons faite implicitement pour les ordonnées badela poutre à appuis simples, puisque pour celle-ci tous les moments de flexion sont positifs (car, près de l'appui gauche, le moment de la réaction prédomine, et il tend à tourner son bras de levier de gauche à droite; donc il est positif et, comme le moment de flexion ne s'annule pas jusqu'à l'appui opposé, il- reste toujours
positif). Or les ordonnées ba comptées depuis la corde ont été portées de haut en bas, ainsi que les ordonnées bc de la droite de fermeture ; il faut donc qu'il en soit de même de celles ca.
On voit qu'ici le moment de flexion s'annule aux points Y ^^ ^ où la ligne de fermeture coupe le polygone. Entre ces points il est positif et, entre chacun d'eux et l'appui voisin, il est négatif.
Remarque IL — Les moments de flexion sur les appuis sont représentés par les produits des ordonnées 8" 8', 7" 7' par la distance polaire et sont négatifs. Donc, réciproquement, ayant tracé un polygone funiculaire 8' vy' 7' avec une dislance polaire rf, pour avoir la ligne de fermeture, il suffit, de ses points d'intersection 8' et T avec les verticales des appuis, de mener des ordonnées 8' S'', T 7'V*gales aux quotients changés de signe des moments de flexion sur ces appuis parla distance polaire et de joindre les extrémités de ces deux ordonnées.
Théorème IX. — Etant donnée une poutre à appuis quelconques, soumise à des charges verticales, sur chaque appui on porte une ordonnée égale au quotient du moment de flexion sur cet appui par une longueur quelconque rf, cette ordonnée mesurée à réchelle des forces et la longueur d mesurée ii V échelle des longueurs, les ordonnées positives portées dans un sens {par exemple de haut en bas) et les ordonnées négatives de bas en haut.
Si^ par lesextrémiiés des ordonnées relatives aux deux appuis consécutifs de chaque travée on fait passer un polygone funiculaire de distance polaire d des charges données qui agissent sur cette travée, en chaque point le produit de la distance polaire par V ordonnée du polygone représente le moment de flexion en ce point.
En effet, si l'on reporte les ordonnées ac à partir de la ligue AB considérée comme axe des abscisses, ces ordonnées multipliées pare/ fournissent toujours les moments de flexion. Mais on obtient ainsi (§ 43 bis) un polygone funiculaire de même distance polaire rfque le premier. Or ce polygone est déterminé par deux de ses points, par les extrémités des ordonnées sur les appuis.
B. Application aux arcs.
Théorème X. — Etant donné un arc posé sur appuis de niveau ou non, simples ou encastrés et soumis à des charges verticales quelconques, si l'on construit le polygone des pressions (§ 69), en chaque point le produit de la distance polaire de ce polygone par la portion d'ordonnée correspondante comprise entre lui et l'arc donné (les ordonnées étant comptées depuis l'aj^c positivement dans le sens ascendant si Varc est supporté, négativement s' il est suspendu) représente le moment de flexion en ce point. {Dans ce produit l'un des facteurs est mesuré à V échelle des longueurs, l'autre à l'échelle des forces.)
En effet, soit (fig. 100, PL JCXIf) CoG, la fibre moyenne d'un arc posé sur deux appuis AoBq et A» B| avec ou sans encastrement et soumis à des charges verticales
représentées sur le polygone des forces {fig. loo) par les côtés
Soit CoTo la réaction deTappui de gauche, Gq étant le centre de pression de la section extrême de gauche. (Si l'arc est posé sur un simple tourillon G©, les points Go e Go coïncideront.)
Menons par l'origine a du polygone des forces la ligne aO égale, parallèle et de sens opposé à la réaction GoT© et construisons le polygone funiculaire des charges données ayant le point O pour pôle. Soit Go. 1.2. 3. 4. 5. 6. G, ce polygone, qui est, comme nous le savons (§ 69), le polygone des pressions de l'arc.
SoitGG une section verticale quelconque; le côté 3. 4 qui coupe celte section est la ligne d'action de la résultante r de toutes les forces, y compris la réaction Tq de l'appui gauche, agissant entre cet appui et le point G, et la grandeur de cette résultante est représentée sur le polygone des forces par le rayon polaire correspondant 3.40U Oc.
Donc, le moment de flexion en G n'est autre que le moment
300 3® SECTION. — CHAP. XVIÏ.
par rapport à ce point de la force r (puisque le moment de cette résultante r est égal à la somme des moments de ses composantes, c'est-à-dire des forces agissant entre le point G et l'appui gauche).
Décomposons la force /• en deux autres, l'une C^Tq horizontale, l'autre G A verticale. Ges composantes sont représentées sur le polygone des forces par les longueurs Oi et «cdont la première est la distance polaire du polygone et représente la poussée horizontale de l'arc, poussée que nous appellerons q^. Elle est la même pour toutes les sections GG; la composante verticale G A varie seule.
Le moment de r par rapport au point G se réduit au moment de cette force constante q^^ puisque le moment de G A est nul, cette force passant par le point G.
Ainsi, si M est le moment de flexion au point G, on a
