M -= ^0 X GC

le facteur q^ mesuré à l'échelle des forces et celui GG à l'échelle des longueurs ou inversement.

D'ailleurs, le moment de q^ est positif si le point G est audessus de G, c'est-à-dire que les ordonnées comptées depuis l'arc sont positives au-dessus de l'arc et négatives au-dessous.

Si l'arc était suspendu, ce serait l'inverse.

LE POLTGOHE DES PRESSIONS DËFim GOMME POLTOOHE DES MOMEITS DE FLESOH. — On peut, d'après cela, donner une nouvelle déHnition du polygone des pressions. Soient Go^o et Qf\g\ les ordonnées verticales menées par les extrémités de la fibre moyenne jusqu'à leurs rencontres en g^ et g^ avec le polygone des pressions. Si Mo et M, sont les moments de flexion aux points Gq etG|, on aura

Ml == ^0 X Gi^i.

Donc, pour avoir le polygone des pressions, il suffit : i° par les extrémités Gq et G| de la fibre moyenne, de mener des ordonnées verticales égales aux quotients des moments de flexion en ces points par la poussée de l'arc, ces ordonnées mesurées à l'échelle des longueurs et, si l'arc est supporté, dirigées de bas en haut ou de haut

MOMENTS DE FLEXION. 3oi

en bas, suivant que les moments Mo et Mf sont positifs ou négatifs ; 2** de construire le polygone funiculaire des forces données de distance polaire q^ [q^ mesuré à Féchelle des forces) et passant par les points go et g^ (Probl. IV, § 43).

Cette considération permet de généraliser utilement, au point de vue pratique, le théorème X. En effet, les ordonnées comprises entre l'arc et le polygone des pressions sont, en général, très petites, et il peut être utile de les avoir, sur l'épure, amplifiées dans une certaine mesure. Concevons qu'on mène la corde GqGi de l'arc, puis qu'on amplifie dans le rapport n\i les ordonnées de l'arc et celles du polygone funiculaire comptées depuis cette corde.

Les ordonnées comprises entre l'arc et le polygone seront amplifiées dans le même rapport.

Mais le nouveau polygone ainsi obtenu est encore (§43 bis) un polygone funiculaire des forces données, ayant une distance polaire n fois plus petite que celle du polygone des pressions. Cette dernière étant ^0) la nouvelle sera

n De là, le théorème suivant :

Théorème XL — Si, par les extrémités Go et G| de la fibre moyenne d'un arc, on élève des verticales égales aux quotients

~T^ 'T ^^^ moments de flexion, en ces points, par une longueur

arbitraire d^ ces ordonnées étant mesurées à Féchelle des forces, ascendantes ou descendantes suivant que Mq et Mi sont positifs ou négatifs (si l'arc est supporté, c'est l'inverse s'il est suspendu), et quCy par les extrémités de ces ordonnées on fasse passer le polygone funiculaire de distance polaire d des charges données, tournant sa concavité dans le même sens que l'arc donné (Probl. IV du § 45), puis qu'on amplifie les ordonnées verticales de cet arc comptées depuis sa corde, dans le rapport q^ : d de sa poussée horizontale à la distance polaire rf, les portions d'ordonnées comprises entre le nouvel arc obtenu et le

3oa 3* SECTION. — CHAP. XVII.

poly gone funiculaire représentent les quotients -s des moments

de flexion aux divers points de V arc par la distance polaire rf, en sorte que, si z est F une de ces ordonnées, on a

Dans ce produit, l'un des facteurs est à mesurer à l'échelle des forces, l'autre à l'échelle des longueurs.

Corollaire. — Pour que le moment de flexion d^une pièce soit nul partout, il est nécessaire que sa fibre moyenne coïncide avec Pun des polygones funiculaires des charges données qui la sollicitent.

Remarque L — Si l'arc GoGj se réduit à une poutre droite, c'est-à-dire à sa corde, alors les ordonnées de l'arc comptées depuis sa corde sont nulles ; si on les amplifie dans le rapport q^ : rf, elles restent toujours nulles, d'où résulte le théorème VI comme cas particulier de celui-ci. Ainsi le théorème qui fait l'objet du précédent paragraphe, et qui se démontre bien simplement, résume, à lui seul, toute cette théorie, qu'il s'agisse des arcs ou des poutres droites.

Dans le cas des arcs, les ordonnées positives sont comptées dans un sens déterminé suivant que l'arc présente sa concavité vers le haut ou vers le bas. Si l'arc se réduit à une droite, ce sens est arbitraire et nous avons adopté les ordonnées descendantes pour représenter les moments de flexion positifs.

11 est à peine besoin de dire que, si l'arc était à un nombre quelconque de travées solidaires, la proposition subsisterait, rien dans la démonstration ne particularisant les réactions des appuis.

On aurait pu déduire le théorème XI du suivant :

Théorème XII. — Le moment de flexion en un point d*un arc quelconque soumis à des char ges verticales est, à une fonction linéaire près des coordonnées de ce point, égal au moment de flexion a au point situé sur la même verticale que G, d'une

poutre droite de même portée, soumises aux mêmes charges et simplement appuyée à ses extrémités.

Si Taxe des y est vertical ascendant, le coefficient de y dans cette fonction linéaire est la poussée q^ de l'arc changé de signe.

En effet, soit {Jig* 4*) nt ^^ somme des moments, relativement à G, des charges données agissant entre ce point et l'extrémité gauche de l'arc. Soient h^ et ^Tq J^s composantes horizontale et verticale de la réaction de l'appui Gq, et Mo le moment de flexion en ce point; si Go^r et Q^y sont les axes, le dernier étant vertical ascendant et les moments positifs étant comptés de gauche à droite suivant la flèche, le moment de flexion en (j(^x, y) sera f § 190, Th. II bis)

M = m -^ Mo — qoy -h Ao x.

Mais, pour une poutre dirigée suivant G©^, le moment de flexion [1 en ^ serait de la forme

{jL = m -H Ao -h Boa;,

Aq et Bq étant deux constantes.

De ces deux équations on conclut

M = (X -H A H- Ba? — q^y,

A et B étant deux nouvelles constantes.

Ceci étant, concevons qu'on construise un polygone funiculaire

des charges données de distance polaire rf, limité aux verticales

des appuis, nous aurons

^ = zx d,

z étant l'ordonnée comprise entre ce polygone et sa corde. Donc

3o4 3" SECTION. — CHAP. XVII.

Construisons la droite de fermeture , A B

amplifions les ordonnées y de Tare dans le rapport ^ et soit

l'ordonnée de Tare amplifié. On aura

z — 5' sont les ordonnées du polygone funiculaire comptées depuis la droite de fermeture.

Portons ces ordonnées z — z' k partir de GoX, nous aurons (§43 bis) un nouveau polygone qui sera encore un polygone funiculaire de distance polaire d.

Soit z" ^^ z — z' l'ordonnée de l'un de ses points. On aura

qui n'est autre que l'expression du théorème XI.

COHSTRUGTIOH DES EFFORTS TRUGHANTS DAHS LES PIÈGES COUBBES. —

Nous savons que l'effort tranchant est la dérivée prise en signe contraire du moment de flexion par rapport à l'arc de la fibre moyenne.

Soit {fig> 100 bis, PL XXIl) GoG^ la fibre moyenne d'un arc soumis à des forces données

Pi> Pîj P3J P*, ••••

Soît 01.2.3.4 le polygone des pressions.

Considérons un point G de la fibre moyenne et proposons-nous de construire l'effort tranchant en ce point.

Menons la verticale G^ entre la fibre moyenne et le polygone

des pressions, ainsi que celle ÇJ ^ relative au point infiniment

voisin G'. Soit

GG' = ds.

Prolongeons le côté 3.4 jusqu'à sa rencontre en S avec la tan-

MOMENTS DB FLEXION. 3o5

génie à la fibre moyenne menée par le point G et menons ^y P*" rallèle à GG' jusqu'à sa rencontre en *f avec l'ordonnée G^^. On aura

^Y = ^M et ^Y = GG' = ds.

Les trîaijgles semblables gg'^ et ^GS donnent

ë^ GS • Maïs (§ 19S)

M = ^0 X Og, M H- rfM = ^0 X G'^' ; d'où

rfM = yoX^Y et ^=yoxy ou = yoX^ ou, au signe près,

Ainsi il suffit, pour avoir V effort tranchant, de construire une quatrième proportionnelle aux trois longueurs Çq, gG et GS. Cette ligne représentant un effort tranchant ou une force devra naturellement être mesurée à Véchelle des forces.

On voit d'ailleurs sur la figure si ^— ^ est positif ou négatif, c'està-dire si le point S tombe à gauche ou à droite de G^; l'effort tranchant est de signe contraire à ce rapport.

Remarque. — Supposons que la ligne Go G» , au lieu d'être la libre moyenne elle-même, soit une ligne déduite de la fibre moyenne

par amplification dans un rapport quelconque — des ordonnées

verticales comptées depuis la corde GoG|, et que le polygone 0.1.2.3.4. . . , au lieu d'être le polygone des pressions, c'est-à-dire un polygone funiculaire dont la distance polaire est la poussée horizontale q^y soit le polygone funiculaire de distance polaire d dont il est parlé au théorème XI. Alors, l'effort tranchant sera une quatrième proportionnelle aux trois longueurs rf, g' G, GS.

EXnarSIOH de la GOHSIDÉBATIOH des moments de FLESOH. — Supposons [fig- 100, PL XAII) qu'on fasse dans la pièce AqBqAiBi,

3o6 3' SECTION. — CHAP. XVII.

quelle qu'elle soit, une section xy verticale ou non; soient 3 et 4 les forces dont les points d'application sont limitrophes de cette section, en sorte (§ 69) que le côté 3.4 du polygone des pressions représente la ligne d'action de la résultante r de toutes les forces agissante gauche de cette section. Si l'on veut construire la somme des moments de toutes ces forces (ou, ce qui revient au même, le moment de leur résultante r) non plus par rapport à un point G de la fibre moyenne, mais par rapport à un point quelconque H du plan, il suffît de mener une verticale HH' jusqu'à sa rencontre en H' avec le côté 3.4 prolongé du polygone des pressions, et le moment cherché est le produit HH' x 5^0-

Pour le démontrer, il suffit de transporter le point d'application de r en H' et de remplacer ensuite la force r' ainsi obtenue par ses composantes verticale et horizontale. Le moment de la première est nul; la seconde estgr^ et son moment est bien le produit //o X HH'. Cette extension de la notion des moments fléchissants va nous être utile dans leur application aux systèmes réticulaires.