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droite de chaque section, baisser les horizontales (2), (3), (4), respectivement des longueurs 2, 3, 4 relevées sur le polygone des forces.

C^est à partir de la plus basse des lignes ainsi obtenues qu'on doit compter les ordonnées de PD pour avoir, en valeur absolue, le maximum de l'effort tranchant négatif dans chaque section.

Ici cette ligne la plus basse est celle (1').

En résumé, pour avoir, dans chaque section, les maxima positif et négatif de l'effort tranchant dû à la fois à la charge permanente et au passage d'un convoi, il suflit de faire les opérations suivantes :

a. Tracer la demi-longueur de la poutre AC.

b. Sur la verticale de l'appui A portez de bas en haut la demicharge permanente - = AP.

c. Sur la même verticale, de haut en bas, porteries charges des essieux 4» 3, a, i et au bout, encore une fois, la demi-charge permanente.

rf. Par le milieu de la longueur PQ' déterminé par les deux opérations précédentes, menez une horizontale qui rencontre la verticale C du milieu de la poutre en un point D de manière à former le triangle isoscèle PDQ'.

e. Déterminer, comme il a été expliqué au § 232, les altitudes (4), (3), (2), (i) des horizontales à partir desquelles doivent se compter les efforts tranchants au passage des essieux correspondants n~ 4, 3, 2, 1.

Ne conserver que la plus élevée de ces lignes [ici, celle (4)]-

y. Baisser les horizontales (4), (3), (2), (i) respectivement de hauteurs égales aux forces 4, 3, 2, i relevées sur le polygone des forces AQ'.

Ne conserver que la plus basse des lignes ainsi obtenues. [Ici celle (i') résultant de rabaissement donné à (i).]

g. Le maximum positif dans chaque section de la demi-poutre AC (et dans la section équidistante du milieu, appartenant à la

seconde moitié de la poutre) est représenté par l'ordonnée deDQ' comptée depuis Thorizontale la plus élevée.

Le maximum négatif est de même donné par l'ordonnée de DP comptée depuis l'horizontale la plus basse.

BEMABaUS Aïï 8ÏÏJET DU CAS Oïï LE GOHTOI RE 8EBAIT EVaUÉ aUE PABnELLEMENT. — Tout ceci suppose que, dans les positions trouvées pour les maxima, le convoi est engagé tout entier. C'est ce qui a lieu dans l'exemple traité ici-, car le maximum négatif est donné dans chaque section de AC quand l'essieu n** 1 (essieu de queue) passe dans cette section, le convoi cheminant de gauche à droite, et dans la demi-poutre sj^métrique par le passage du même essieu quand le convoi chemine en sens inverse.

Le maximum positif est donné de même dans chaque section quand l'autre essieu extrême, celui n° 4, y passe, mais le convoi cheminant de façon que cet essieu soit à la queue.

Si l'on avait trouvé, pour l'une des deux horizontales d'altitude maxima ou minima, d'autres lignes que celles répondant aux essieux extrêmes, la règle serait nécessairement en défaut pour certaines sections voisines des extrémités de la poutre. Gela se présentera rarement. Si toutefois cette circonstance se présentait, on aurait à faire, en partie, le tracé complémentaire que nous allons indiquer.

TRACÉ EXACT BELATIF A UH COHTOI EHdAdÉ EH PABTŒ SEULEKER. — Si

l'on place le convoi dans les deux positions extrêmes où il est engagé tout entier, à savoir celle 1 , 2, 3, 4 et celle 1', 2', 3', 4' {fig. B), on voit que les lignes (i), (2), (3), (4) relatives aux passages des essieux correspondants ne sont valables respectivement qu'entre les verticales 1 et 1', 2 et 2', 3 et 3', 4 et 4\ On les a tracées en lignes pleines dans ces parties.

Considérons, par exemple, le convoi dans la position 1', 2', 3', 4' et supposons qu'il continue à avancer vers la droite.

Voyons d'abord comme se modifie la ligne PQ. Le point P reste

EFFORTS TBANCHANTS. 879

fixe, puisque son ordonnée ~ ne dépend que de la charge permanente.

L^ordonnée de Q est

c'est-à-dire la demi-charge permanente plus la charge totale engagée.

Portons bout à bout à partir de Q dans le sens ascendant, les charges 4i) 3|, :2|, des essieux n°* 4, 3, 2. On obtient ainsi des points £3, £2, e|.

C'est en 63 qu'aboutira la nouvelle ligne PQ quand l'essieu n** 4 aura quitté le pont; en 63 quand Tessieu n°3 l'aura quitté; en Si quand l'essieu n** 2 l'aura quitté. Ainsi la ligne PQ est remplacée successivement par

Pê„ Pe,, Pei.

Ceci étant, considérons ce qui concerne l'essieu n° 1. Le diagramme P(i)i Pi P représente l'effort tranchant au passage de cet essieu dans les sections placées à gauche de Pi i prolongement de la verticale 1', et c'est pour les sections comprises entre 1' et 4' qu'il reste à les déterminer.

Pour cela, j'observe que l'effort tranchant dans une section placée à distance finie de l'appui B n'est modifié qu'infiniment peu suivant qu'un essieu est un peu à gauche ou à droite de l'appui B.

Or, quand l'essieu 4' est à gauche, l'effort tranchant dans la section i , produit par le passage de l'essieu n"^ 1 , est égal à ^i i . Soit ^\ le point où cette verticale (que, pour plus de clarté, on a légèrement déplacée) coupe la ligne Pt^, Prenons ^'^ 1 -= p, 1 , de sorte que ^\ i est l'effort tranchant dans la section i' quand l'essieu n® 4' est infiniment peu à droite de l'appui B.

Or, tant que les charges 1', 2', 3' restent engagées, les efforts tranchants sont les ordonnées de Psa comptées depuis une certaine horizontale. Donc, cette horizontale est celle définie par le point que nous venons de déterminer. Elle sera valable jusqu'à ce que l'essieu n° 3' arrive sur la culée B.

Traçons donc la verticale yti à une distance de P\ i égale à l'écartement des essieux 3' et 4' et le diagramme ^'i 1 1 fi ?', donne

38o 3* SECTION. — GHÀP. XIX.

les efibrts tranchants au passage de Tessieu n® 1 dans Pintervallc correspondant.

Soit y'i le point où la verticale Yi (légèrement déplacée pour la clarté de la figure) coupe la ligne Pej. Prenons y'|I = Y«'' p™s menons la verticale distante de celle-ci d'une longueur égale à l'écarlement des essieux 2' et 3'; on formera le diagramme y', 1 1 S, Yiî qni représente Feffort tranchant dans les sections correspondantes au passage de Fessieu n° 1 dans cette partie de la poutre; de même entre Si et l'extrémité de la poutre, il est représenté par le diagramme S'^iBêiS', , tel que 8', i = 8| i, et confime vérification, le point i doit tomber sur la ligne AB; car on voit a priori que l'eflFort tranchant en B est l'ordonnée de Si comptée depuis B.

De même pour l'essieu n^ 2, la ligne 2 cesse d'être valable à partir de la verticale 2^ en 2.

Soit p2 le point où cette verticale coupe PQ. Dans le surplus de la poutre, le passage de l'essieu n" 2 détermine des efforts tranchants représentés par les ordonnées des deux diagrammes

Pi 22 Y, p; et Y'.îBejYi

dont le dernier est compté depuis l'horizontale AB; leurs longueurs sont respectivement égales aux distances des essieux 4' et 3' et 3', 2'.

Enfin, la ligne (3) est valable jusqu'à la verticale 3' et à droite de celle-ci le passage de l'essieu n® 3 détermine des efforts tranchants représentés par le diagramme

P'sSBeapi.

Remarque L — Tous ces diagrammes représentent l'effort tranchant quand l'essieu est à gauche de la section. S'il est à droite, il faut en retrancher la charge de l'essieu.

On compléterait de même l'épure vers la gauche pour les essieux n^^ 2, 3, 4 en faisant rétrograder le train depuis la position

Remarque IL — Les problèmes relatifs aux efforts tranchants, analogues aux problèmes II, III, IV résolus au Chapitre précédent pour les moments fléchissants, se déduiraient naturellement aussi de notre tracé.

EFFORTS TRANCHANTS. 38l

BBUJLQtDES BSLATIVES AUX 8T8TÈIIE8 BÉTIGULAIBE8. — La connaissance des moments de flexion et eflbrts tranchants maxima dans chaque section des poutres comme celles envisagées en Résistance des matériaux suffit à calculer les forces élastiques qui s'y développent (§ 208, 2H).

S'il s'agit d'une poutre réticulaire, supposons d'abord qu'on veuille calculer la tension ou pression maxima que le passage d'un convoi détermine dans une barre principale, ce qui est la question essentielle. Soient h sa distance au nœud ou sommet opposé {h pouvant être constant ou variable d'une barre à l'autre) et pi le moment de flexion relatif à ce nœud. On sait (§204) que la force

élastique cherchée est -• Et, comme la hauteur h est une constante pour une barre considérée, quelle que soit là position du train, cette force varie proportionnellement au moment fléchissant. La tension ou pression maxima s'obtient donc en divisant le maximum trouvé pour [jl par la hauteur A.

Supposons qu'il s'agisse d'un étrésillon. Si la hauteur de la poutre est constante, la tension ou pression qui s'y développe

est , T étant l'eflbrt tranchant dans une section voisine d'un

cos a'

des nœuds auxquels il appartient et a son inclinaison sur la verticale.

Cet angle étant déterminé pour chaque barre et t variant seul

pendant le passage du convoi, on voit que le maximum de la force

élastique cherchée répond au maximum de t.

Si la hauteur de la poutre varie, mais très lentement, on applique la même règle pour les étrésillons ou pièces de remplissage qui supportent généralement des tensions inférieures à celles que comportent les dimensions qu'on est amené à leur donner, par suite des nécessités de la construction.

Si l'on voulait être exact il faudrait procéder ainsi : soit h' la distance de l'étrésillon considéré au sommet s qui lui est opposé (§ 203), lequel n'est pas un nœud,- mais le point d'intersection des directions géométriques de deux barres principales opposées, point plus ou moins éloigné de la poutre. Si |Ji' est la somme des moments par rapport à ce point de toutes les forces agissant d'un côté d'une section X faite près de l'un des nœuds qui terminent la barre con-

38a 3' SECTION. — CHAP. XIX. — EFFORTS TRANCHANTS.

sidérée, on a pour la force élastique cherchée j-r Donc le maximum de cette force répond au maximum de jjl'. Or, si P/ est Tune des forces verticales agissant sur la poutre, a^ son abscisse comptée de l'extrémité gauche de celle-ci; x Tabscisse de la section Xet h' la distance de ^ au plan vertical de cette section, le moment de Pi- par rapport à ^ est

Donc

ou, si (Ji et T désignent le moment fléchissant, et refibrt tranchant relatif à la section X, il vient

Appliquons cette formule, qui est générale, à une poutre à deux appuis simples en remplaçant (jl et t par leurs valeurs relatives à ce cas

^=-^Pii-.)^L^^P.. ou x=2p-ii;p«:

X 0 jr 0

d'où