CHAPITRE PREMIER

THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DU POLYGONE DES LIGNES ET NOTIONS DE CALCUL GRAPHIQUE.

SOIS D'UN POLYGONE. SENS CYCLIQUE D'UN CONTOUR FERMÉ. — Nous appellerons sens cyclique d’un contour polygonal fermé un sens arbitraire, mais convenu une fois pour toutes, dans lequel le contour serait parcouru par un mobile idéal. Le sens d’une portion quelconque du contour est le sens dans lequel elle est parcourue par le mobile ; l’origine de cette portion du contour est le point où le mobile l’atteint; son extrémité, le point où le mobile la quitte.

D’après cela, quand on s’est donné le sens d’un contour polygonal fermé ou non, le sens de chacun de ses côtés se trouve par là même défini.

Par la ligne qui ferme un contour polygonal, nous entendrons toujours la ligne dirigée dans le sens du contour, c’est-à-dire que l’origine de cette ligne coïncide avec l’extrémité du contour et vice versd.

POLYGONE DES LIGNES

ROTATIONS. — Nous désignerons habituellement les côtés des contours polygonaux par les chiffres successifs i , a, 3, 4vi et nous conviendrons, une fois pour toutes, de disposer ces chiffres de façon que l'on obtienne le sens du contour en les suivant dans leur ordre croissant ; l’origine d’un côté quelconque sera donc son intersection avec le côté désigné par le chiffre immédiatement inférieur; son extrémité sera son intersection avec le côté désigné par le chiffre immédiatement supérieur.

Le sommet formé par deux côtés consécutifs, désignés par les chiffres r etr+i, sera habituellement désigné par /•/• - f- 1 .

La fig. I ( PI. J) comprend un contour formé par les cinq côtés i , 2 , 3, 4, 5. L’origine du contour est en n, son extrémité en b ; la ligne qui ferme le contour est la ligne ba et non la ligne ah.

ADDITION DE LIGNES. — Soient donnés les grandeurs, directions et sens d’un certain nombre de lignes distribuées d’une manière quelconque dans un plan ou dans l’espace. A partir d’un point quelconque, portons ces lignes bout à bout de manière à former un contour polygonal. La droite qui va de Y origine de ce contour à son extrémité, sera ce que nous appellerons la somme des lignes données.

Le contour polygonal, obtenu en portant les lignes bout à bout, sera appelé le polygone de ces lignes.

La somme d’un certain nombre de lignes est, d’après cela, égale en grandeur et direction, mais (§1) opposée en sens à la ligne qui ferme le polygone de ces lignes.

Nous désignerons habituellement les lignes données par les chiffres gras

et les côtés correspondants du polygone de ces lignes par les chiffres ordinaires similaires

Ainsi la fig. 2 contient sept lignes; le polygone de ces lignes est

indiqué par les lignes pleines de la fig. 2 . La ligne ab est la somme de ces lignes; la ligne ba est celle qui ferme leur polygone.

Remarque. — Un voit que le polygone des lignes fournit nonseulement la somme de toutes les lignes données, mais aussi les sommes partielles.de deux ou plusieurs deces lignes, pourvu qu elles soient consécutives. Ainsi cA est la somme des ligues 2 , 3, 4 i ce la somme des lignes 2 , 3, 4, 5, et ainsi de suite.

Théorème. — La somme d’un nombre quelconque de lignes est indépendante de l’ordre dans lequel on les additionne.

Il est évident d’abord que l’on ne change pas la somme des lignes données si, dans l'addition, on intervertit l’ordre de deux ligues consécutives. Ainsi intervertissons ( fig. 2 , PI. I) l'ordre de succession des lignes 4 et 5; cela reviendra à porter à la suite de 3 une ligue 3, égale et parallèle à 5, et au bout de celle-ci une ligne 4t égale et parallèle à 4- Le contour 5, 4i aboutira au point e aussi bien que le contour 4 5 , en sorte que les lignes subséquentes 6 et y ne changeront pas de place, et la ligne qui va de l’origine à l’extrémité du contour 1 2 3 5, 4i 6 7 est la même que celle qui va de l’origine à l’extrémité du contour 1 2 3 4 J 6 7 , ce qui siguiüe que les deux sommes 1 -t-2-+-3-t-5-t-4-t-6-f-7 et 1 -+- 2-+-3H— 4 •+■ J -i-6 +7 sont les mêmes.

Du moment où l’on peut, sans altérer la somme de lignes données, permuter une ligne avec celle qui la précède ou qui la suit, on pourra, par une nouvelle permutation, la faire avancer ou reculer de deux rangs ; par une autre permutation, de trois rangs cl ainsi de suite; de sorte que l'on pourra sans changer la somme amener une ligne quelconque à occuper un rang quelconque.

Remarque. — Ou jveut encore énoncer ainsi la proposition qui précède :

Si un polygone dont les côtés sont donnés en grandeur, direction et sens se ferme, lorsque ses côtés se succèdent dans un certain ordre, il se fermera également quel que soit l’ordre de leur succession.

Cette remarque nous sera très-utile plus loin.

POLYGONE DES LIGNES

Théorème. — La somme d’un nombre quelconque de lignes n’est pas altérée si, dans l’ addition, on remplace certains groupes de ces lignes par leurs sommes partielles.

Cela est évident si les lignes que l’on remplace par leurs sommes partielles sont consécutives. Ainsi l’on a (Jig.z , PL J)

l -t-2-+-3-+4-f-5-f-G-f-7 = i -h «/ - 4 - 5 -i- 6 -f- 7 = n- ce -+- 6+7

et ainsi de suite, et, comme on peut {§ A) amener des'lignes quelconques à être consécutives, le théorème se trouve vrai pour des lignes quelconques.

Théorème. — La projection sur un plan ou sur une droite de la somme d’un certain nombre de lignes est égale à la somme de leurs projections sur ce plan ou sur cette droite.

On appelle projection sur un plan ou sur une droite d’une ligne donnée en grandeur, direction et sens, une autre ligne dont l’origine est la projection de l’origine de la ligne donnée, et l’extrémité la projection de l’extrémité de la ligne donnée. Il résulte de là que le sens de la ligne projetée découle immédiatement du sens de la ligne que l’on projette.

D’api ■ès cela le théorème énoncé est évident. Si l’on projette le polygone plan ou gauche (Jig.o., PLI) sur. un plan ou sur une droite, la ligne ab égale et opposée à celle qui ferme le polygone de l’espace se projette suivant une ligue égale et opposée à celle qui ferme le polygone projeté.

Corollaire. — La somme des projections d’ un polygone fermé sur un plan ou sur une droite est nulle.

Tout ce qui précède est vrai, que les lignes données soient ou non toutes situées dans un plan; mais ce n’est que quand elles sont dans un plan que leur addition pourra s'effectuer graphique-

ment. S’il s’agit de lignes qui ne sont pas situées dans un même plan, on devra sc les donner, romme c’est l'usage en Géométrie descriptive, en projection sur deux plans; et, d’après le dentier théorème, il suflira d’additionner les lignes sur chacun des deux plans de projection pour avoir les deux projections de leur somme, et par suite le moyen de déterminer graphiquement cette somme elle-même.

SOUSTRACTION DE LIGNES. — Soustraire une ligne b d’une ligne fl, c'est additionner cette dernière à la première changée de sens.

Soient, par exemple, les deux lignes données 1 et 2 (Jig- 3, PI. /), ayant leurs grandeurs représentées par i et 2 ( fi g . 3).

Leur difl’ércnce est CD = i -f- (— a ) , tandis que leur somme serait OA, OCDA étant un parallélogramme; car OA = a H- r = i-f- a.

Cas particulier des lignes parallèles. — Lorsque les lignes à additionner ou à soustraire sont parallèles, leur polygone sc réduit à une droite, et leur somme ou leur dillërcncc se confond avec ce que l’on appelle ordinairement somme ou différence de grandeurs données. Les ftg. 4 et 4i PI- P donnent la somme de cinq lignes i , a, 3, 4, 5, dont le polygone se réduit à une droite ayant son origine en a et son extrémité eu b, de sorte que ab est la somme des lignes données. Pour plus de clarté, on a mis une double ligne, ce qui permet de mieux distinguer dans les lignes qui se superposent celles qui sont dirigées dans un sens et celles qui sont en sens opposé. 11 n’y a aucune ambiguïté sur le sens à attribuer à chaque ligne, si l’on se rappelle {§ 1) que le sens du polygone des lignes (polygone réduit ici à une droite) sc trouve en suivant les lignes dans l’ordre croissant des chiffres qui les représentent. Ainsi, partant de l’origine fl, on voit que la ligne i va de droite à gauche; puis vient a, qui va de gauche à droite; puis 3, qui va de droite à gauche; puis 4 î qui va dans le même sens; et enün 3, qui vient de gauche à droite aboutir à l’extrémité b du polygone, en sorte que ab est la somme des lignes données et ba la droite qui ferme leur polygone.

6 FOLYGONE DES LIGNES

§ io.

MULTIPLICATION DE LICITES. — Soit à déterminer le produit de n lignes

Pour le trouver graphiquement, sur une ligue OX [fig- S, PI. II), portons une longueur O I égale à l’unité; puis, sur une perpendiculaire à OX élevée en 1, portons les longueurs 1 /, = /, , 1 /, = /,, I /, — /,, 1 /, = et ainsi de suite. Joignons les points /, , /, , /,, au point O, de façon à former les lignes indéfinies OL,, OL»,