OL„OL

Cela fait, posons

Prenons 02 = y,. Au point 2 élevons une perpendiculaire à OX jusqu'à sa rencontre avec OL» en 2'. Soit jr, la longueur 22'; portons-] a sur OX à partir de O, et par son extrémité 3 élevons une perpendiculaire à OX jusqu’à sa rencontre avec OL, en 3'.

Soit J, la longueur 33'. Opérons sur elle comme sur 22 , c’està-dire portons-Ia sur OX à partir de O, et par son extrémité 4 élevons une perpendiculaire à OX jusqu’à sa rencontre avec OL, en 4'.

Soit r, la longueur 44'. En opérant sur elle de la même manière que sur les lignes y, et r,, nous aurons la longueur ou' que nous appellerons i ,, et, en poursuivant ainsi, on formera la série des n lignes

Xt, r>. s,- Xk Xi ■>..

dont la première est égale à /,. Je dis que la dernière est le produit cherché et qu’on a généralement

Xi = A .

Xt=h X A.

Xi — A X A X Ai x, = A X A X A X A .

En effet les triangles semblables O 1 /, et 0 22' donnent

T/T - ôï’

On verrait de même que

y i yi x /j “ /i X /, x /, ,

— Jï x /| — /| x /, x /j x /*,

et ainsi de suite.

ÉLÉVATION AUX PUISSANCES D UNE LIGNE. — Soit à trouver la puissance n‘ ,m ' d’une ligne donnée /. Pour cela d'un point O (Jîg. G, PI. II) menons deux lignes indélinics perpendiculaires entre elles XX' et IV. Sur l'une d’elles XX', portons O.r 0 = i ; sur l’autre, Or, = /. En .r, élevons une perpendiculaire à r 0 r, jusqu'à sa rencontre avec XX' en x, : par ce point, une perpendiculaire à x t T, jusqu’à sa rencontre avec YY' en x t ; par ce point, une perpendiculaire à x, x, jusqu’à sa rencontre en a", avec XX', et ainsi de suite. On aura, d’après une propriété connue du triangle rectangle,

Oj, X O.r, = /’ ou 0 —

l X Or, = Ox, == /* ou Oxj=/’.

On aura de même

Ox, = /•,

et ainsi de suite.

Remarque. — Ici on voit que la longueur donnée / = Or, est supposée plus petite que l'unité Or,; il en résulte que les puissances successives de /, représentées par les longueurs Ox„ Or, , Or,,..., sont de plus en plus petites. Le contraire se produirait si l était supérieur à l’unité. Dans ce cas, la figure pourrait prendre des dimensions trop grandes et peu commodes. Pour éviter cet iucon-

POLYGONE DES LIGNES

vénient, il faudrait alors construire, par le procédé qui sera indiqué au § 12, la ligne a représentant l’inverse ÿ de la ligne donnée, et chercher la n‘ im " puissance de la ligne a, laquelle est plus petite que l'unité; et, comme a" = = —■> il suffira ensuite de construire

une ligne c égale à l’inverse de celle représentant a" pour avoir /”.

DIVISION DE DEUX LIGUES. — Soit (fig. 7, PL 11 ) à trouver le quotient j de deux lignes a et b. Sur une ligne OX, on portera

01 = 1 et O b = b. Sur la perpendiculaire à OX, élevée en b, on portera ba — a et l’on joindra le point O au point n, de façon à former la ligne indéfinie OL. Si ensuite du point 1 on élève 1 y =y perpendiculaire à OX jusqu’à la rencontre de la ligne OL, on aura évidemment

Remarque. — Si l’on prenait 01 = d, la relation précédente serait remplacée par celle-ci :

c’est-à-dire que la fraction proposée se trouverait réduite à une autre fraction ayant un dénominateur donné d .

OPÉRATIONS SUR LES FRACTIONS. — Toute fraction pouvant , d’après le procédé que nous venons d’indiquer, être représentée par une ligne, tout ce que nous avons dit sur les opérations relatives aux lignes est immédiatement applicable aux fractions.

Addition et sonstraction. — On ramène toutes les fractions à avoir

un dénominateur donné d (§ 12 ). La somme ou la différence des lignes représentant les numérateurs sera égale à la somme ou à la différence des fractions données, si le dénominateur commun a été pris égal à l’unité. Parfois il est commode de prendre pour d un nombre déterminé et entier d’unités. Dans ce cas, on devra diviser la ligne représentant la somme ou la différence des numérateurs des fractions réduites en autant de parties égales que d contient d’unités, pour avoir la somme ou la différence des fractions données.

D’autres fois, il peut être plus commode, au point de vue graphique, de prendre d égal à une partie ÿ de l’unité, » étant un nombre entier. Dans ce cas, la ligne représentant la somme ou la différence des fractions données sera égale à i fois celle qui représente la somme ou la différence des numérateurs des fractions réduites.

Multiplication et division. — On peut faire la multiplication graphique des fractions aussi facilement que celle des ligues.

Soient — » 7", les fractions données. Sur une ligne OX

(Jif;. 5 , PL II) on porte, à partir du point O, des longueurs égales à leurs dénominateurs b t , />,; à l’extrémité de chacune de ces longueurs, on élèvera une perpendiculaire à OX égale au numérateur de la fraction correspondante. On joindra les extrémités de ees perpendiculaires au point O, de façon à déterminer les lignes OL,, OL,, OL„. . .. On portera ensuite sur OX une longueur Ol = 1 ; on élèvera la perpendiculaire 1 /, =jy, jusqu’à la rencontre de la ligne OL, ; on portera celte longueur y, sur OX, à partir de O, de façon à obtenir la ligne 02; on élèvera en 2 une perpendiculaire à OX jusqu’à sa rencontre avec OL, , ce qui donnera 22 ' on

continuera de la sorte et l’on formera, comme au § 10, des lignes

et l’on aura

X%> Jjt Jlv Jm • • *1 /«t

POLYGONE DES LIGNES

et ainsi de suite. En multipliant membre à membre les deux premières équations, ou les trois premières, etc., on trouvera

et ainsi de suite.

Le quotient de deux fractions étant le produit de la fraction dividende par la fraction diviseur renversée, la division des fractions se ramène immédiatement à leur multiplication.

Élévation aux puissances d’une fraction. — On a très -souvent à élever des fractions aux puissances ou à construire des équations de la forme

où «, b, il sont des lignes données et y une ligne à déterminer; pour

cela, on devra commencer par construire la fraction — • A cet effet,

on tracera ( ftg. G bis, PL II) deux lignes OX, OY se coupant sous un angle quelconque. I)u point O, on décrira un arc de cercle aa' de rayon a et un arc de cercle h U de rayon b. On mènera les antiparallèles alf et bd y puis on prendra sur l’une des deux lignes tracées, sur OY par exemple, une longueur arbitraire O 1 ; on mènera les lignes 1 1', t'a, a a', a'3,. . . alternativement parallèles à bd et nb'. On aura

Oi' O d a

~o7 “ ' ~ÔT ~ b‘

Ou On n