EXTRACTION DES RACINES. EMPLOI DES COURBES LOGARITHMIQUES

L’extraction de la racine carrée d’une ligne l est une opération connue. L’un des moyens usités consiste à porter (Jig . 8, PL II) sur une ligne XX', d’une part O.r 0 = i , d’autre part O/, = /; à construire un demi-cercle sur x 0 x, comme diamètre : la perpendiculaire élevée en O sur x 0 x, , jusqu’à la rencontre de la demicirconférence, est la racine carrée cherchée.

Mais, dès qu’il s’agit d’extraire une racine d’ordre plus élevé, on sait que la règle et le compas ne suflisent plus; on peut alors employer graphiquement les logarithmes.

11 faut pour cela construire une courbe qui tienne lieu des Tables de logarithmes.

Supposons que sur une ligne OX (Jig- 9, PL II) on porte des longueurs Oæ„ Oj„ O a - , , . . ., que nous appellerons des abscisses, ces longueurs représentant à une échelle quelconque des nombres très-rapprocliés ; qu’aux points x„, x,, x,,... on élève des perpendiculaires que nous appellerons des ordonnées, représentant à la même échelle les logarithmes de ces nombres; qu’on joigne les

12 POLYGONE DES LIGNES

extrémités JYn Jn Jn — de ces perpendiculaires par une ligne continue. Cette ligne tiendra lieu d’une Table de logarithmes.

Pour faire le produit de n lignes J",, x,, x»,. . il suffira de les porter sur OX à partir de O, de faire la somme des ordonnées correspondantes ... et de chercher quelle est la longueur

d’abscisse OX qui correspond à l’ordonnée u —J t -Hj'i »■+- —

Cette opération sera infiniment plus rapide que la recherche correspondante dans une Table de logarithmes, surtout si 1 on a eu soin de tracer la courbe CE sur du papier t/uadrillé (*).

Si l’on a à élever X, à une puissance n 1 ' 1 ", il suffira de porter surOX une longueur égale à X,, de prendre l’ordonnée correspondante Yi et de chercher l’abscisse OX répondant à une ordonnée égale à n fois y t .

Veut-on, au contraire, extraire la racine n iim ’ de x, , ce sera l’abscisse répondant à une ordonnée égale à — qu’il faudra chercher.

OPÉRATIONS SUR LES SURFACES. — Pour effectuer sur les surfaces les opérations qui précèdent, il faut pouvoir aussi les représenter par des lignes. Xous indiquerons sommairement les procédés trèsélémentaires qui donnent ce résultat.

1° Triangle. — Soit (Jig . 10, Pl. II) ABC un triangle. On peut toujours construire un triangle équivalent et ayant une base donnée BR. il suffit pour cela, par le point C, de mener une parallèle à KA. Si A! est le point où cette ligne rencontre AB, il est facile de voir cjue les deux triangles ABC et B.VR sont équivalents; car, si de l’un et de l’autre on retranche l’aire commune BCA', il reste les deux triangles A'CR et A' CA équivalents comme ayant même base A'C et leurs sommets placés sur une parallèle à cette base.

Le triangle BA'R ayant une base BR choisie arbitrairement, si

(*) On se sert plus habituellement, non de la courbe exponentielle CE, niais de ce qu’on appelle la spirale logarithmique. 11 nous semble que la spirale doit être d’un usage infiniment moins commode en ce qu’elle oblige à des additions, multiplications et divisions, d’une part, d’angles et, d’autre part, de lignes divergentes, pour lesquelles on ne peut pas mettre à profit le papier quadrillé qui les donne en quelque sorte toutes faites.

l’on a pris cette base égale à deux unités , la hauteur h de ce triangle représentera son aire, et par suite l’aire du triangle donné ABC.

2° Parallélogramme. — Se déduit immédiatement du triangle.

3» Quadrilatère quelconque. — Soit [fig- H, PL II) ABCD un quadrilatère. Menons la diagonale BD et par le point C une parallèle CC| à cette diagonale jusqu’à sa rencontre en C, avec le coté AB ou son prolongement.

Le triaugle AC, D est équivalent au quadrilatère donné; car, si de chacune de ces deux surfaces on retranche l’aire ADB qui leur est commune, il reste les deux triangles CDB et C, DB, qui sont équivalents comme ayant même base DB et leurs sommets placés sur une parallèle à cette base; et comme nous savons représenter un triangle par une ligue, nous saurons résoudre la même question pour un quadrilatère.

4° Polygone quelconque. — Le même procédé permet de ramener un polygone quelconque à un triangle équivalent, et par suite de le représenter par une ligne.

Soit le polygone ABDEFG (fig .12, PL II).

î) On éliminera le sommet G en menant FF, parallèle à la diagonale F.G et substituant le sommet F, à F.

a) On éliminera le sommet F, en menant EE, parallèle à DF, et substituant le sommet E, à E.

3) On éliminera le sommet E, en menant DD, parallèle à BE, et substituant le sommet D, à D.

Le triangle ABD, sera équivalent au polygone de six côtés donné; et comme on peut ensuite représenter l’aire de ce triangle par une droite, le problème se trouve résolu pour un polygone quelconque.

Si l’on avait à trouver l’aire d’une courbe fermée plus ou moins irrégulière, on substituerait à la courbe un polygone inscrit d’un grand nombre de côtés et l’aire de ce polygone pourrait être approximativement prise pour l’aire cherchée.

THSTRUMEHTS DE CALCUL. — Au calcul graphique se rattachent aussi les instruments à l'aide desquels on fait les calculs.

Les principaux de ces instruments qui commencent à se répandre dans l'industrie sont, outre la règle à calcul :

1° L'arithmométre de M. Thomas (de Colmar).

C'est uue série d’engrenages permettant de faire mécaniquement, rapidement et sans aucune fatigue d’esprit, les opérations arithmétiques et de les faire exactement.

2 ° Lo planimètre d’Amsler. qui donne mécaniquement, et avec une approximation très-suffisante pour les avant-projets qu’ont à dresser les ingénieurs, l’aire «l’un contour fermé quelconque, polygonal, curviligne ou mixtiligne.

Il est très-commode pour le calcul des profils en travers des avant-projets de routes ou de chemins de fer.

3° L' inté grom être de M. Dnpré, qui donne non-seulement les aires, mais les centres de gravité et les moments d’inertie des surfaces planes limitées par des contours fermés quelconques.

Nous ne donuerons pas la description et la théorie de ces instruments; ils se vendent toujours accompagnés d’instructions suffisantes pour l’usage que l’on a à en faire.

Le planimètre d'Amslerest très-usité dans l'industrie; il se vend chez MAI. Lercbours et Secretan, opticiens, place du Pont-Neuf à Paris. On en trouve la théorie dans une Note de M. Rcsal, insérée aux Comptes rendus de 1‘ Académie des Sciences (séance du r>.j août 18 ^ 3 ).

L’intégromètre de M. Dupré est un instrument d’invention récente, qui n’est sans doute pas encore consacré par l’usage. Quant à l’arithmométre, il est d’un prix très-élevé cl la règle à calcul en peut tenir lieu dans une certaine mesure.