CHAPITRE II

THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DES POLYGONES FUNICULAIRES d’un SYSTÈME DE LIGNES.

Lf.m me I. — Etant donnée une figure formée de six /ignés joignant quatre points d’un plan, il est toujours possible de construire une seconde figure , également composée de six lignes joignant quatre points, et telle : i ° qu’à chaque côté de l'une des figures corresponde un côté parallèle ou perpendiculaire de l'autre; a 0 qu'à tout système de trois lignes concourantes de l'une correspondent dans l’autre les trois côtés d’un triangle.

Les deux figures satisfaisant à ces conditions sont dites réciproques.

Soit [fig. 13, PL III) ABCD la figure donnée. Elle comprend quatre triangles BCD, CDA, DAB, ABC. La figure formée par les six lignes joignant les centres a , &, c, d des cercles circonscrits à ecs quatre triangles jouira évidemment des propriétés énoncées. Cela résulte immédiatement de ce que les perpendiculaires élevées sur les milieux de trois côtés d’un triangle concourent en un même point.

A toute ligne AB ou 1 de la figure donnée correspond, dans la figure nouvelle, une ligne perpendiculaire cd ou (î); à tout système de trois lignes 1 , 4, 5, formant dans la figure donnée un triangle, correspondent, dans la seconde figure, trois lignes concourantes (i), (4), (î>); et inversement, à trois lignes formant un triangle dans la figure réciproque, répondent dans la figure donnée trois lignes concourantes.

Remarque I. — Si l'on déplace la figure abcd en la faisant tourner d’un angle droit, elle n’en demeurera pas moins réciproque de la proposée; seulement deux lignes correspondantes, au lieu d’être perpendiculaires, seront parallèles.

Remarque II. — Toute figure semblable à abcd peut être placée de façon à être réciproque de la proposée ABCD.

Inversement toute figure réciproque de ABCD est semblable à abcd comme étant nécessairement composée d'un même nombre de triangles semblables et semblablement placés. Ainsi la figure a'b'd d' Jig. 1 3 ) , semblable à abcd , est réciproque de ABCD et les côtés correspondants des deux figures, marquées par des chiffres similaires, sont parallèles.

Lemme II. — Observons maintenant qu’une figure formée de six lignes joignant quatre points d’un plan est entièrement déterminée par cinq de ces lignes. Ces cinq lignes forment nécessairement deux triangles ayant un côté commun et la sixième ligne, qui joint les deux sommets non communs de ces triangles, est déterminée dès que l’on connait les cinq autres. Donc, quand cinq lignes de la figure réciproque sont tracées de façon à correspondre à cinq lignes de la figure donnée, on est certain que les sixièmes lignes des deux figures seront également correspondantes, ce qu’on peut énoncer ainsi :

Si cinq des six lignes joignant quatre points d'un plan sont parallèles ou perpendiculaires à cinq des six lignes joignant quatre autres points, et si ces lignes sont tracées de façon qu'à un système de trois lignes concourantes de l’une des figures correspondent dans l’autre les trois côtés d'un triangle, les sixièmes lignes des deux figures sont également parallèles ou perpendiculaires, et les deux figures sont réciproques.

DÉTINITIOH GÉOMÉTRIQUE DO POLYGONE FUNICULAIRE D'UN SYSTÈME DE LIGNES. POLE D’ON POLYGONE FUNICULAIRE. — Soient donnés {Jig. 1”, PI. If) : i° un système de lignes

distribuées d’une manière quelconque dans un plan (cc sont les lignes munies de flèches); 2 ° le polygone de ces lignes (Jig . ty) ayant pour côtés

D’un point O choisi arbitrairement menons des lignes ou rayons aux divers sommets du polygone. (Le rayon aboutissant au sommet

rr ■+■ i sera généralement désigné par Or r i ou plus simplement par rr -+- 1 .)

Puis construisons un nouveau polygone ayant ses sommets sur les lignes i 1', 22', 33',... et ses côtés parallèles aux rayons issus du point O, de telle façon que le côté de ce nouveau polygone, compris entre deux lignes consécutives telles que 22' et 33', soit parallèle au rayon aboutissant au sommet a 3 du polygone des lignes, et que les côtés extrêmes du nouveau polygone soient parallèles aux rayons extrêmes O a et O b du polygone des lignes.

Ce nouveau polygone sera appelé le polygone funiculaire relatif au point O, du système des lignes données i 1', 2 2', 3 3',....

Le point O sera appelé le pôle du polygone funiculaire.

Ainsi le polygone A 1 2 3 4o 6 7 B est le polygone funiculaire des lignes données relatif au pôle O. Pour le tracer, d’un point quelconque A on mène Al parallèle au rayon O a jusqu’à la rencontre de la première des lignes données, celle 1 1' ; puis on mène successivement 12 parallèle au rayon Oi a ou i a, puis 2 3 parallèle au rayon a 3, et ainsi de suite jusqu’à 67, qui est parallèle au rayon 6 y ; enfin 7 6 est parallèle au rayon extrême O b.

Le point de départ A est arbitraire, en sorte qu’il existe une infinité de polygones funiculaires relatifs à un pôle donné O; tous ces polygones ont, par définition, leurs côtés parallèles.

Maintenant on peut faire varier la position du pôle O; on obtient ainsi une nouvelle infinité de polygones funiculaires dont les côtés ne sont plus parallèles ; mais on comprend qu’ils doivent at oir entre eux de certaines dépendances. Ce sont ces dépendances que nous nous proposons d’étudier.

Théorème. — Lorsque le pôle d’un polj gone funiculaire parcourt. une ligne droite quelconque, les divers côtés de ce polygone ne j ont que pivoter chacun autour d'un point fixe ; et ces points fixes sont tous situés sur une même ligne droite, parallèle à celle que parcourt le pôle.

Soit [fg . 17, PL IV} A 1 23 436 7 B un polygone funiculaire des lignes données, ayant O [fg . ty) pour pôle.

Construisons un second polygone funiculaire, relatif à un pôle O' di lièrent de O. Soit A' 1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' B' ce nouveau polygone.

Prolongeons les côtés correspondants 1 A et l'A' des deux polygones jusqu’à leur rencontre en I, et les côtés 12 et 1' 2' jusqu’à leur rencontre en J et considérons :

i° La figure formée par les six lignes qui joignent les quatre points 1 , 1', I et J.

Ces lignes sont

(i) II', il, IJ, l'I, l'J, IJ.

a 0 La figure formée par les six lignes qui joignent les quatre points O, O', « et l 2 du polygone des lignes.

Ces lignes sont

(i') i, O o, O i 2 , O 'a, O' il et 00'.

Un voit immédiatement que les cinq premières lignes (i) sont, par construction, correspondantes aux cinq premières lignes (t'). Donc, en vertu du lciniue II (§ 18), il en est de même des sixièmes lignes IJ et OO', qui se trouvent ainsi parallèles.

En prolongeant les côtés 23 et 2'3' jusqu’à leur rencontre en K, on montrerait de même que JK est parallèle à OO', en sorte que tous les points d’intersection I, J, K, . . . des côtés correspondants des deux polygones funiculaires sont sur une même ligne droite parallèle à celle qui joint les deux pôles.

Remarque /. — Si le point O' se rapproche indéfiniment de O en parcourant la droite O' O, les sommets I et I' des deux polygones funiculaires demeurant fixes, on voit que les points I, J, K s’éloignent de plus en plus, en restant toujours en ligne droite; et à la limite, quand le point O' coïncide avec O, ces points se trouvent toujours sur une droite, mais sur une droite placée à l’infini , (sur Ut droite de l’infini). Les côtés correspondants de deux polygones funiculaires relatifs à un même pôle sont donc parallèles. C’est ce que nous savions déjà; mais on voit que cette propriété de deux polygones funiculaires relatifs à un même pôle O peut être regardée comme un cas particulier de celle qui vient d’ètre établie pour des polygones funiculaires relatifs à deux pôles différents.

C’est le cas où les points I, J, K,. . autour desquels pivotent les côtés du polygone funiculaire, sont tous placés sur la droite de l’infini.

Remarque II. — Quand on connaît un polygone funiculaire particulier d’un système de lignes données, on connaît par cela même tous les polygones funiculaires possibles du système.

En ell’et, connaissant le polygone funiculaire relatif à un pôle O, pour avoir le polygone funiculaire le plus général, il suffit de tracer dans le plan une ligne arbitraire ZZ, ; de prolonger les côtés du polygone donné jusqu’à leur rencontre avec cette ligne aux points I, J, K, ... ; puis, pour avoir le point 1', de mener par le point J une nouvelle ligne de direction arbitraire II' jusqu’à sa rencontre avec la ligne 1 1'. Une fois tracées ces deux lignes ZZ, et 1 1' (dont la première est arbitraire à la fois en direction et en position, et la seconde en direction seulement), tous les autres côtés du polygone funiculaire s’ensuivent; on mènera la ligne l'J qu’on prolongera jusqu’à sa rencontre avec la ligne 22' en 2'; puis la ligne K 2 jusqu’à sa rencontre avec la ligne 33' en 3', et ainsi de suite.

Il est facile de voir directement que le polygone ainsi constitué est un polygone funiculaire. Pour cela menons par l’origine a du polygone des lignes une droite ad parallèle à la ligne 1 1' dont la direction a été prise arbitrairement, et par le point O une parallèle à la ligne ZZ,, qui a été également prise arbitrairement.

En considérant les deux figures formées par les lignes qui joignent, d’une part les quatre poiuts 1, 1', I et J, et d’autre part les quatre points O, O', a et la, on voit que tous leurs côtés, sauf ceux ty i a et l'2', sont parallèles et correspondants; donc, en vertu du lemme II (§ 18), ces deux derniers le sont aussi. En considérant ensuite les figures formées par les lignes qui joignent O, O', t a, a 3 d’une part et 2, 2', J, K d’autre part, on verra que tous leurs côtés sont correspondants, sauf ceux CF a 3 et 2'3'; donc ceux-ci sont parallèles. On verrait de même que C/34 est parallèle à 3' V et ainsi de suite, en sorte que les côtés successifs du polygone A'l'2'3'. . . sont parallèles aux rayons issus de O'. Ce polygone est donc un polygone funiculaire dont O' est le pôle.

Théorème. — Quel que soit le chemin parcouru par le pôle d'un polygone funiculaire, le point d' intersection des deux côtés

extrêmes de ce polygone décrit une ligne droite. Cette ligne est parallèle à celle qui ferme le polygone des lignes données, en sorte q u elle est indépendante du chemin décrit par le pôle.

Soit [fig- 17 et 17 , PI. JP'), 8 le point d’intersection des côtés extrêmes 1 8 et 7 8 du polygone funiculaire relatif au pôle C).

Soit 8 ' le point d’intersection des côtés analogues l' 8 ' et 7' 8 ' du polygone funiculaire relatif à (Y ; enfin soient I le point d’intersection de 1 8 et l' 8 ', et M le point d’intersection de 7 8 et 7'8'. Nous savons que la ligne 1 M est parallèle à O O'.

Considérons d’une part les six lignes qui joignent les quatre points I, M, 8 et 8 ', et d’autre part les six lignes qui joignent O, O' et les deux extrémités a, b du polygone des lignes. On vérifie immédiatement que les cinq lignes de la première figure autres que 88 ' sont parallèles et correspondantes aux cinq lignes de la seconde figure autres que ab. Donc les deux lignes 88 ' et ab sont parallèles.

Remarque I. — Ce théorème, s’appliquant à un système quelconque de ligues, s'appliquera à une portion quelconque des lignes données aussi bien qu’à toutes ces lignes, c’est-à-dire à une portion quelconque du polygone funiculaire et à la portion correspondante du polygone des lignes.

Ainsi le point d' intersection de deux côtés quelconques du polygone funiculaire décrit une ligne droite parallèle à la ligne qui ferme la portion correspondante du polygone des lignes.

Par exemple, le point d’intersection X des côtés 23 et 67 du polygone funiculaire décrit une droite XX' parallèle à celle xx' qui ferme le polygone 3 4 5 6 .

La droite ainsi décrite par le point d’intersection de deux côtés d’un polygone funiculaire est ce que nous appellerons la résultante de celles des lignes données qui sont comprises entre ces deux côtés. La droite XX' est doue la résultante des lignes 33', 1 1', 33', 66 ', de même que xx J est (§ 3) la somme des lignes correspondantes 3,4, 5,6 du polygone des lignes. La droite 88 ' est la résultante de toutes les lignes données.

Deux systèmes de lignes ayant même résultante seront dits équivalents.

Remarque II. — Le point d’intersection des deux côtés extrêmes de tout polygone funiculaire d’un système de lignes appartenant à

la résultante de ces lignes, prenons en particulier un polygone funiculaire relatif au pôle a, c’est-à-dire à l’origine du polygone des forces pris comme pôle.

Le rayon allant du pôle à l’origine sera donc de grandeur nulle et de direction indéterminée ; la direction du premier côté du polygone funiculaire sera, par suite, elle-même indéterminée, ainsi que le point d’intersection de ce côté avec le dernier côté du même polygone; cela revient à dire qu’un point quelconque de ce dernier côté appartient à la résultante.

Ainsi le dernier côté du polygone funiculaire d' un système de lignes, relatif à i origine du polygone des lignes pris comme pôle est la résultante de ces lignes, et généralement, comme ce qui est vrai pour l’ensemble des lignes données l’est pour une partie de ces lignes, un côté quelconque du polygone funiculaire dont il s’agit coïncide avec la résultante de la partie correspondante des lignes données.

Ainsi la fig. 22 (PI. FJ) comprend sept lignes :

ayant pour polygone les lignes

de la fig. 22 . Le polygone funiculaire A12345G781, relatif au pôle quelconque O, fait connaître par l’intersection de ses côtés extrêmes 1 8 et 78 un point 8 de la résultante 88' des sept lignes données; mais le polygone funiculaire relatif au pôle a donne cette résultante tout entière.

Le côté ( 1 2) de ce polygone est la résultante des lignes 1 et 2; le côté (1 23) la résultante des lignes 1 23, et ainsi de suite; le dernier côté (1 23 4567) représente la résultante de toutes les lignes données.

On voit par là que le polygone relatif au pôle fl est très-remarquable; malheureusement il ne peut pas toujours être utilisé. Pour le tracer, partons d’un point quelconque A; le premier côté Al peut être pris arbitraire; c’est celui qui correspond au rayon nul, allant au point a ; puis du point 1 on devra mener une parallèle à 1 . Cette parallèle est toute tracée : c’est la ligne donnée 1 1'. On devra la prolonger jusqu’à sa rencontre en E avec la ligne 22'. Par le

point d’intersection de ces deux lignes, on devra mener une parallèle à la diagonale (i 2 ) jusqu’à la rencontre de la ligne donnée 33', et ainsi de suite; mais on voit qu’on est arrêté dès le tracé de la ligne ( 12 ), si les lignes données 1 1 ' et 22 ' ne se rencontrent pas, si elles sont parallèles. On est arrêté pour le tracé du côté (123), si le côté 1 2 est parallèle à la ligne donnée 3 3', et ainsi de suite. Si, sans être parallèles, ces diverses lignes sont très-près de l’être, le polygone particulier dont il s’agit, sans être impossible, devient difficile à tracer; aussi, malgré ses qualités particulières, s’en sert-on rarement dans les applications.

Remarque III. — La résultante de deux lignes consécutives passe par leur point d’intersection. On voit sur les fig. 22 et 22 que la résultante 1 2 des lignes 1 1 ' et 22 ' passe par leur point d’intersection E. Si l’on voulait établir que la résultante de deux autres lignes 33' et 44' passe par leur point d’intersection, il suffirait de même de considérer le polygone funiculaire relatif à l’origine c de la partie correspondante du polygone de ces lignes. Cela est d’ailleurs évident par la considération des deux ligures xyzn et aede. Toutes les lignes de la' première, moins celle xu , sont parallèles et correspondantes à celles de la seconde, moins celle ce. Donc les lignes xu et ce sont elles-mêmes parallèles, en vertu du lcmtne II du § 18.

On voit par là que la résultante de deux lignes consécutives 33' et 44' se trouve immédiatement, puisqu’elle passe par l’intersection de ces lignes et qu’elle est parallèle à la droite qui sous-teml l’angle formé par les côtés 3 et 4 du polygone des lignes. Comme vérification, cette résultante doit passer par le point d’intersection des côtés (1 2) et (12 3 4) du polygone funiculaire relatif au pôle <?, et aussi par le point d’intersection des côtés 23 et 45 du polygone funiculaire relatif au pôle quelconque O.

De ce que la résultante de deux lignes passe par leur point d intersection, on conclut immédiatement que la résultante d’un système de lignes concourantes passe par leur point de concours.

Remarque If r . — La résultante d’un système de lignes n'est pas modifiée si l’on remplace deux ou plusieurs lignes consécutives par leur résultante partielle.

Ainsi substituons ( fig . 17 et 17 , PL If ) aux quatre lignes con-

sécutives 33', \ 4', 55' et 66' leur résultante XX', en sorte qu’au lieu des sept lignes données nous n’en ayons plus que quatre, à savoir : H', 22', XX' et 77'; au polygone des lignes à sept côtés sera substitué un polygone à quatre côtés, savoir i, a, xx 'et y. Le polygone funieulaire des quatre nouvelles lignes, relatif au pôle O, sera A 1 2 X 7 8. Les côtés extrêmes Al et 7 8 n’ayant pas changé, il en est de même du point 8; donc le lieu de ces points 8 sera aussi bien la résultante des quatre nouvelles lignes que celle des sept lignes primitives.

Théorème. — La résultante d'un sj sterne de lignes n'est pas modifiée si i on intervertit d’une manière i/uclcom/ue leur ordre de succession.

11 suffit de démontrer que l’on peut, sans altérer la résultante, changer l’ordre de succession de deux lignes consécutives; car si I on peut permuter une ligne avec celle qui la précède ou avec celle qui la suit, on pourra, par une nouvelle permutation, la faire avancer ou reculer de deux rangs; puis, par une nouvelle permutation, de trois rangs et ainsi de suite, en sorte qu’on pourra, par des permutations successives de deux lignes seulement, amener une ligne quelconque à occuper un rang quelconque.

Or soit (A) un système de lignes; appelons (A') ce qu’il devient lorsqu’on le considère après avoir changé l’ordre de succession de deux lignes consécutives, et (B) le système obtenu après avoir substitué à ces deux lignes leur résultante. Cette résultante est la meme, quel que soit l’ordre de succession de ces deux lignes; car sa direction est celle de la somme des deux ligues, et ne change pas (§ i) par l’interversion de leur ordre, et sa position non plus, puisqu’elle passe toujours par le point d’intersection des deux lignes, quelle que soit celle des deux qu’on considère la première; donc les systèmes (A) et (A') sont tous deux équivalents à (B) : ils sont donc équivalents entre eux.

Pour que l’on saisisse bien l’utilité et l’esprit du théorème que nous venons de démontrer, nous allons, non pas en donner une dé-

21 POLYGONES FUNICULAIRES D’UN SYSTÈME DE LIGNES, monstration nouvelle, mais présenter la démonstration qui précède avec un peu plus de développements.

Permuter deux lignes consécutives 44' et 55', cela revient à placer dans le polygone des lignes ( Jig . 17) le côté 5 avant le côté 4, c’est-à-dire à substituer aux côtés 4 et 5 les lignes 5, et 4 1 1 dont la première est parallèle à 5 et la seconde à 4, en sorte que le polygone des lignes sera maintenant formé par les côtés 1, 2, 3,

4,, 6, 7. La portion A123 du polygone funiculaire (fig. 17) ne sera pas modifiée ; du point 3 011 devra mener, d’après la définition ilu polygone funiculaire, une ligne 35, parallèle au rayon 0 3 5,; mais, comme ce rayon coïncide avec celui 034 du contour primitif, il s’ensuit que la ligue 3 5, coïncidera avec celle 3 4 de l’ancien polygone funiculaire; seulement elle devra maintenant être arrêtée en 5, à sa rencontre avec la ligne 55' qui a, dans l’ordre de succession des lignes données, la priorité sur 44'. Du point S, on devra ensuite mener le côté 5,4, parallèle au rayon 05,4,, et prolonger ce côté jusqu’à sa rencontre en 4, avec la ligne donnée 44'; puis par le point 4, on aura à conduire une parallèle au rayon 04,6; mais, comme ce rayon coïncide avec celui 056, il s’ensuit que le côté du nouveau polygone funiculaire partant de 4, sera nécessairement parallèle au côté 56 de l’ancien polygone funiculaire.

Ce qu’il faut démontrer, c’est que ccs deux côtés sont non-seulement parallèles, mais coïncidants. Si ce fait est établi, nous retomberons sur l’ancien polygone funiculaire à partir du point 6. Nous retrouverons donc le point 8, et, comme le lieu des points 8 est la résultante des lignes données, il s’ensuivra que la résultante de ces lignes, considérées dans leur nouvel ordre de succession, est la même que dans leur ordre primitif.

Ainsi tout se réduit à montrer que, si par le point 4, on mène une parallèle à 56, ces deux lignes coïncideront; en d’autres termes, qu’elles ont un point commun. Or, je dis qu’elles ont en commun le point C où elles croisent 34. En cllct, pour avoir la résultante C'C des deux lignes 44' et 55', il suffit, parleur intersection C', de mener une parallèle à c'c, c’est-à-dire à la droite qui sous-tend l’angle formé par les côtés 4 et 5 du polygone des lignes, et nous sommes certain [Rem. 1 et //, § 21) que cette parallèle passera par l’intersection des côtés 34 et 65 du premier polygone funiculaire, c’est-à-dire par le point C.

Maintenant, la résultante des deux lignes 55' et 4 4', interverties d’ordre, passera aussi par leur point d’intersection C' et sera parallèle à la ligne qui sous-tend l’angle formé par les lignes 5, et 4i > or cette ligne est la même que celle qui sous-tend l’angle formé par les lignes 4 5 donc C'C représente indifféremment la résul-

tante des lignes 55' et AA' ou celle des lignes AA' et 55'. Si on l’envisage sous ce dernier point de vue, elle passe, par définition, par le point C, où se coupent les deux côtés 65 et 34 de l’ancien polygone funiculaire-, si on l’envisage sous le premier point de vue, elle passe (aussi par définition) par le point d’intersection du côté 5,3 du nouveau polygone avec le côté de ce polygone à conduire du point 4, jusqu’à la ligne 66'; et comme 5,3 coïncide avec 43, le point d’intersection de ces deux côtés sera encore le point C. Donc ce point est commun à 56 et au côté du nouveau polygone parallèle à 56 à mener à partir du point 4, ; ce qu il fallait démontrer.

Théorème. — La résultante d’un système de lignes n’est pas modifiée si l'on remplace un certain nombre de ces lignes par leur résultante partielle .

Cette proposition a été établie (Rem. IV, § 21) pour des lignes consécutives; et comme, en vertu du théorème qui vient d’être établi, on peut, sans altérer la résultante, amener deux lignes quelconques à être consécutives, il s’ensuit que la proposition est vraie pour un groupe de lignes quelconques.

De là résulte immédiatement la proposition suivante :

La résultante d’ un système de lignes n est pas modifiée si l’on remplace certaines de ces lignes par d’autres ayant meme résultante.

Théorème. — Si le polygone des lignes d ’un s) sterne de lignes est fermé, ainsi que l’un de ses polygones funiculaires, tous les polygones funiculaires du système sont fermés.

En effet, soit un système de cinq lignes : ce sont les lignes pleines munies de flèches et représentées ( fg . 14, PL III) par les chiffres

• 1, 2, 3, k et 5;

20 POLYGONES FUNICULAIRES D’UN SYSTÈME DE LIGNES, et soient {Jig- i4)

les côtés du polygone de ces lignes.

Nous admettons :

i° Que ce dernier polygone est fermé ;

■à° Que le polygone funiculaire 5123 45, relatif au pôle particulier O, est également fermé;

et nous disons que tous les polygones funiculaires du système de lignes donné seront fermés.

Voyons d’abord comment on doit choisir les cinq lignes données et les grandeurs des côtés du polygone de ces lignes pour que ce polygone et le polygone funiculaire relatif au pôle O se ferment tous deux.

Nous prendrons les quatre premières lignes données, savoir 1,2, 3, 4, absolument au hasard. Nous tracerons les côtés correspondants i , 2,3,4 du polygone de ces lignes , avec des grandeurs arbitraires; mais, une fois ces quatre lignes de chacune des deux fig. 14 et i4 prises à volonté, je dis que les lignes 5 et 5 seront déterminées. Cela est évident pour la ligne 5, qui doit fermer le polygone des lignes données; par suite, la direction de la ligne 5 se trouve également déterminée, puisque cette ligne est parallèle à 5.

Ainsi, de ce que le polygone de n lignes est fermé, il résulte déjà que, n — i de ces lignes étant prises au hasard, la n' im ' ligne est déterni i née en direction.

Mais, si l’on s'impose, en outre, que le polygone funiculaire de ces n lignes relatif à un pôle particulier O soit fermé, cette nouvelle condition fera que non-seulement la direction, mais aussi la position de la n‘ im ‘ ligne sera déterminée.

Si, en eflet, dans la fig. 14 nous prenions au hasard la cinquième ligne donnée dans une position telle que 5,.r, on voit que le polygone funiculaire relatif au pôle O ne se fermerait pas ; car, pour tracer ce polygone, on devra mener, d’un point quelconque A du plan, successivement les lignes

Al, 12, 23, 34, 45,, 5,1„

respectivement parallèles aux rayons

On voit que les côtés extrêmes Al, o, 1 , île ce polygone sont parallèles, mais non coïncidants; ils sont forcément parallèles du moment où le polygone des lignes est fermé, puisque, par délinition, (§ 19) les côtés extrêmes de tout polygone funiculaire sont parallèles aux rayons extrêmes du contour formé par le polygone des lignes. Or, si ce contour est fermé, ses rayons extrêmes coïncident, et, par suite, les côtés extrêmes du polygone funiculaire sont parallèles ou coïncidants. Pour qu’ils soient coïncidants, il faut que la cinquième des lignes données passe par le point 5 où se rencontrent les côtés extrêmes du polygone funiculaire relatif aux quatre premières lignes données. 11 faut, en d’autres termes, que la cinquième ligne soit ce que nous avons appelé la résultante des quatre premières. Elle est donc déterminée de direction et de position, et, en général, pour que n lignes soient telles, que le polygone de ces lignes et leur polygone funiculaire relatif à un pôle particulier O se ferment, il faut et il suffit que, n — i de ces lignes étant prises arbitrairement , la n ‘ im * coïncide avec leur résultante, ce qui, en vertu de la définition (§ 21 ) de la résultante d’un système de lignes, établit le théorème énoncé.

Remarque I. — Lorsque les n lignes données sont concourantes, il sullit que le polygone de ces lignes soit fermé pour que tous les polygones funiculaires le soient : c’est une conséquence immédiate de ce qui précède et de ce que la résultante d’un système de lignes concourantes [Rem. IJ J, § 21 ) passe par leur point de concours.

Ceci équivaut au théorème de Géométrie suivant : Si d'un point O {fi g . 15, PI. III) on mène des lignes parallèles aux côtés d’un polygone fermé (fig. i5), qu’on joigne les sommets de ce polygone à un point quelconque C, puis qu on construise un second polygone ayant ses sommets sur les lignes issues de O et ses côtés parallèles aux lignes issues de C, ce polygone se fermera également.

Cette propriété se déduirait d’ailleurs immédiatement du lenimc II, établi au § 18, en remarquant que ce lemme démontre la proposition, dans le cas particulier où le polygone fermé donné se réduit à un triangle; et l’on montre facilement que, si elle est vraie pour un polygone de n côtés, elle est par cela même vraie pour un polygone de n+i côtés ; donc, étant établie pour le triangle, elle est vraie pour un polygone fermé quelconque.