PROPRIÉTÉ MÉCANIQUE FONDAMENTALE DES FIGURES RÉCIPROQUES

Avant d’aborder, dans sa généralité, le problème qui fait l’objet de ce Chapitre, nous résoudrons une question préliminaire à laquelle nous ramènerons ensuite ce problème.

Soit donnée une figure de la nature de celles que nous considérons. Supposons qu’aux deux extrémités de chacune des lignes ou barres composant la figure et suivant la direction de cette ligne on applique deux forces égales et opposées.

Ces forces deux à deux égales et opposées formeront évidemment un système en équilibre et cela quelles que soient les grandeurs communes aux deux forces dirigées suivant chaque barre.

Proposons-nous de déterminer, s’il se peut, ces grandeurs de façon que chaque sommet de la figure soit séparément en équilibre sous l’action des forces qui en sont issues.

Il faut et il suffit pour cela que le polygone des forces issues d’un quelconque des sommets soit fermé. Donc, si le problème posé est possible, il existera un système de lignes correspondant aux lignes de la figure donnée et tel, que les lignes correspondant à l’un quelconque des nœuds de cette figure forment un polygone fermé.

Mais nous avons montré au § 34 que, toutes les fois qu’il est pos-

sible de trouver un tel système de lignes, on peut construire un diagramme réciproque de la figure donnée.

Ainsi toutes les fois que le problème posé est possible, la figure donnée admet une figure réciproque. Il est d’ailleurs évident qu’inversement, si la figure donnée admet un diagramme réciproque, le problème posé admet une solution, puisqu'il suffit de prendre les lorces appliquées suivant les lignes de la figure donnée proportionnelles aux côtés correspondants du diagramme réciproque, pour que de chacun des sommets de cette figure émanent des forces eu équilibre.

Le problème posé est donc identique à celui de la construction du diagramme réciproque d’une figure donnée. Il est possible et déterminé, impossible ou indélermiué dans les cas spécifiés aux §§31 et 33.

SOLUTION GRAPHIQUE DU PROBLÈME GÉNÉRAL DE LA RECHERCHE DES TENSIONS D’UN SYSTÈME DE BARRES. — Considérons maintenant ( Jig. 61, PI. XIII) une figure quelconque.

En ses divers sommets, appliquons un système de forces : I, 2, 3, - 1 , . . . maintenant la figure en équilibre, et proposons-nous de trouver les tensions que ces forces déterminent sur les divers côtés de la figure.

Que la figure donnée soit déformable ou non, les forces qui y sont appliquées satisfont (§ 39) aux conditions d’équilibre d’un système de forces appliquées à un solide invariable. Donc i° leur polygone des forces est fermé (cc polygone est indiqué par des lignes doubles sur la figure 64) $ a 0 leurs polygones funiculaires sont également fermés.

Traçons un de ces polygones funiculaires, par exemple celui qui est indiqué sur la Jig. 64 par des lignes poinlillécs et qui est relatif au pôle O {Jig- 64).

Appelons (F) la ligure donnée et (F,) la figure complète composée de (F), du polygone funiculaire dont nous venons de parler et des lignes d’action des forces données, lesquelles réunissent les sommets du polygone funiculaire aux so mm ets de (F).

Je dis que si, comme nous le supposons, la figure primitive (F) est en équilibre sous l’action des forces données, la nouvelle figure (F,) admet au moins une figure réciproque, c’est-à-dire (§ 62) que l’on peut au moins d’une manière appliquer suivant ses divers côtés des forces égales et contraires maintenant ses divers sommets séparément en équilibre.

En effet, puisque les forces données maintiennent par hypothèse la figure primitive (F) en équilibre, chacun de ses sommets est séparément en équilibre sous l’action de ces forces et de deux forces égales et contraires dirigées suivant chacune de scs barres, à savoir : les tensions que les forces données déterminent dans ces barres.

Maintenant, en cbacun des sommets du polygone funiculaire, appliquons une force égale et opposée à la force extérieure passant en ce point-, chacun des sommets du polygone funiculaire sera (§ 61 ) séparément en équilibre sous l’action de la force qui s’y trouve ainsi appliquée et des tensions que cette force détermine dans les deux côtés adjacents du polygone. Donc chacun des sommets de la figure complète (F,) est séparément en équilibre, et cette figure admet au moins un diagramme réciproque.

Inversement, si la figure complète (F,) admet un diagramme réciproque, le système des forces données sera en état de maintenir la figure donnée (F) en équilibre et de déterminer, dans ses diverses barres, des tensions représentées par les lignes correspondantes du diagramme réciproque. Enetlèt, la figure (F,) admettant une figure réciproque, si l’on applique, suivant chacune de ses lignes, deux forces égales et contraires et égales aux lignes correspondantes du diagramme réciproque, chacun de ses sommets sera (§ 62) séparément en équilibre. Donc, si l’on conçoit que l’on coupe toutes les lignes 1, 2, 3,... et qu’on détache la partie inférieure de la figure, la partie restante (F) sera en équilibre sous l’action des forces dirigées suivant les lignes dont il s’agit. Ces forces sont d’ailleurs égales aux lignes correspondantes i, a, 3 du diagramme réciproque, c’est-à-dire aux forces données. Donc les forces données maintiennent la figure (F) en équilibre, et les lignes du diagramme réciproque de (F,) pourront représenter les tensions que ces forces déterminent dans les barres de la figure (F). S’il n’existe qu'un seul diagramme réciproque, on sera certain

ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES PLANS ARTICULÉS, que les lignes de ce diagramme représentent effectivement les tensions des barres données. S’il existe une infinité de diagrammes réciproques du diagramme (F,), cela indique qu’on peut, d’une infinité de manières, décomposer les forces données suivant les lignes de la figure (F) ; chaque diagramme réciproque indique un mode de décomposition possible, c’est-à-dire que les lignes de chacun de ces diagrammes indiquent un système de tension que les forces données peuvent produire sur les barres de la figure (F). Parmi tous ces systèmes de tensions, quel est celui qui se produira effectivement? C’est ce que la Statique seule ne saurait préciser. Elle laisse subsister ici une indétermination tout à fait analogue à celle que nous avons rencontrée au § ;>8 dans la recherche des réactions des appuis, et cette indétermination s’explique de la même manière. Toutes les fois que les tensions d’un système de barres ne dépendent que de la forme de la figure géométrique formée par ces barres, et non de leurs sections et de la nature des matières dont elles sont composées, la Statique suffit à les trouver; mais si les tensions dépendent de la section des barres et de leur matière, la Statique ne fournit entre elles que les seules relations qu’elle peut fournir, à savoir : celles qui ne dépendent que de la forme géométrique de la figure formée par les axes des barres; les autres sont du ressort de la Physique mathématique.

Un exemple très-simple le fera bien comprendre.

Supposons (fi g- 40, PI. IX) qu’on veuille soutenir un point P par deux barres O a et O A, scellées dans un mur. On demande de déterminer les tensions que ce poids exerce sur les barres.

Il suffira évidemment, pour cela, de décomposer le poids P en deux forces f, et J' t , suivant les directions des barres; ces deux composantes fourniront la solution du problème; la barre Oa subit une tension la barre O A une pression f t . La solution est ici indépendante de la nature des matières dont les barres sont composées et de leurs sections. C’est pourquoi la Statique fournit la solution du problème.

Supposons maintenant (fig. 41 , PI. IX) que le poids P soit soutenu par trois barres, O a, OA, Oc. Comment se répartiront les tensions entre ces barres? La Statique laisse le problème indéterminé; car on peut, d’une infinité de manières, décomposer la force P, suivant les trois directions Oa, OA, Oc. Parmi tous les modes de ré-

partition des forces, il est impossible de dire celle qui se produira tant qu’on ne donnera pas les sections des barres et leurs coefficients d’élasticité. Une fois ces éléments donnés, il appartient à la Théorie mathématique de l’élasticité de les mettre en œuvre pour compléter les renseignements fournis par la Statique.

Maintenant quelles sont, d’une manière générale, les figures planes dont les tensions peuvent être déterminées à l’aide des seules ressources de la Statique graphique? La solution précédente nous permet de répondre très-nettement à cette question.

DISCUSSION DE LA SOLUTION PBÉCÉDENTE. — Supposons d’abord ( jig . 64, PL XIII) la figure donnée (F), libre dans son plan.

De ce que (§63) la figure complète (F* ) admet au moins un diagramme réciproque toutes les fois que la figure donnée (F) est en équilibre, et vice versa, on déduit que les conditions d’équilibre des forces agissant sur la figure (F) sont identiques aux conditions géométriques que doit remplir la figure (F,) pour admettre un diagramme réciproque. Or ces dernières conditions ont été indiquées au § 37.

Figures libres et indéformables. — i° Quand la figure donnée est indéformable, trois conditions sont nécessaires et suffisantes pour que la figure (F t ) admette une figure réciproque dans laquelle le polygone réciproque des lignes 1, 2, 3,... est donné : d’où l’on peut déduire que, pour qu’un système de forces maintienne en équilibre une figure indéformable, il faut et il suffit que ces forces satisfassent à trois conditions : c’est ce que nous savons déjà, d’après la théorie du § 48 j et, de plus, en rapprochant les conditions d’équilibre des forces agissant sur des systèmes invariables trouvées au § 49 des conditions purement géométriques pour que la figure (F,) admette une figure réciproque trouvées au § 37, on voit qu elles sont identiques. Mais il résulte de plus de la théorie géométrique du § 37 que, ces conditions remplies, la figure (Fj) admet un seul diagramme réciproque ou une infinité, suivant que la figure donnée est strictement indéformable ou à lignes surabondantes } d’où nous pouvons déduire que, si une figure plane indéformable est libre dans son pian, pour que la Statique permette de déterminer les

tensions de ses barres, il faut et il suffit qu’elle ne contienne pas de lignes surabondantes; eu d’autres ternies, il faut et il suffit qu'elle soit strictement indéformable.

Figures libres et déformables. — a° Quand la figure donnée est déformable de A manières (A étant zéro pour la figure strictement indéformable), alors il faut (§ 37) A -r 3 conditions géométriques pour que la ligure (F,) admette une figure réciproque. Donc , pour qu'un système de forces maintienne en équilibre une figure déformable de k manières différentes, il faut et il suffit que ces forces satisfassent à k ■+■ 3 conditions.

Ces conditions remplies, le théorème géométrique du § 37 nous apprend que la figure (F,) n’admet qu’un seul diagramme réciproque, ce qui signifie que les tensions de toutes les barres sont déterminées.

C’est ce qu’il est aisé de vérifier directement. En ell'ct, une figure déformable de k manières devient strictement indéformable si l’on y ajoute A nouvelles barres, et alors, pour qu’elle soit en équilibre, il faut et il suffit que les forces qui la sollicitent satisfassent à trois conditions. Ces conditions remplies, les tensions de toutes ccs barres sont, d'après ce que nous venons de voir, entièrement déterminées.

Mais, pour que la figure ne cesse pas d’ètre en équilibre, si l’on supprime les A barres qu’on vient de lui adjoindre, il faut que les tensions de ces barres soient nullcs, ce qui donne lieu à A nouvelles conditions entre les forces extérieures, soit en tout A 3 ; et ces A" -t- 3 conditions remplies, les tensions de toutes les barres sont déterminées.

Donc, en résumé, pour que la Statique suffise à déterminer les tensions d'un système de barres formant une figure plane libre dans son plan, il faut et il suffit que cette figure soit déformable, ou strictement indéformable, mais qu elle ne contienne aucune ligne surabondante.

FIGURES HOH LIBRES. — Supposons maintenant une figure déformable de A manière-, soumise, dans ses déplacements, à i conditions pouvant consister eu ce que des points sont fixes ou assujettis

ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES PLANS ARTICULÉS, à se mouvoir sur des lignes données, ou à conserver entre eux des distances fixes.

11 résultera de ces sujétions i réactions d'appuis ou forces inconnues qu’il faudra adjoindre aux forces données pour pouvoir regarder la figure comme libre.

Si i est égal à k 4 - 3, on pourra disposer des A 4- 3 forces indéterminées que fournissent les réactions des appuis pour satisfaire aux A -j- 3 conditions nécessaires (§37) pour que la figure (F,) admette une figure réciproque et une seule.

Si i est inférieur à A 4- 3, on pourra disposer des i réactions indéterminées pour satisfaire à i des conditions dont il s’agit; les forces données devront être telles que les A 4 - 3 — i autres conditions soient remplies d’elles-mèmes, puisque, par hypothèse, ces forces maintiennent le système en équilibre.

Si i est supérieur à A 4 - 3 , après avoir disposé de A 4- 3 des i réactions pour remplir les conditions voulues, il restera encore i — (A 4 - 3) réactions indéterminées et que la Statique ne permettra pas de déterminer.

L'indétermination augmenterait encore si la figure donnée contenait des lignes surabondantes, puisque alors elle existerait même si toutes les réactions des appuis étaient définies.

Donc, en résumé :

Pour que la Statique graphique puisse déterminer les tension s d'un système de barres situées dans un plan et en équilibre sous l'action de forces situées dans ce plan, ainsi que les réactions des appuis si le système n'est pas libre, il faut et il suffit: i° que ces barres forment une figure déformable ou strictement indéformable; a 0 que si elle est déformable de h manières (Ar étant nul dans le cas des figures strictement indéformables), elle soit soumise, dans ses déplacements, à au plus A 4- 3 conditions.

PROJECTIONS ET MOMENTS DES FORCES