CHAPITRE VI

ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES PLANS LIBRES OU NON FORMÉS DE BARRES INFLEXIBLES, ARTICULÉES. RECHERCHE GRAPHIQUE DES TENSIONS DES BARRES.

TENSION D'UN FIL. — TENSION OU PRESSION D’UNE BARRE. — Considérons d’abord {fi g- 36, PI. IX) un fil ab tendu eu scs deux extrémités par deux forces f et f\ dirigées suivant ab , égales et opposées, maintenant par conséquent le fil en équilibre.

Chacune de ses parties, telle que ma, est également en équilibre; or cette partie est soumise à deux forces : i° la force f agissant en a; a° l’action que la partie mb du fil exerce sur la partie ma. Cette action se nomme la tension exercée par la première portion du iil sur la seconde.

La tension du fil équivaut nécessairement à une force y 7 ', égale et contraire à f, puisqu’elle maintient ma en équilibre.

Inversement la partie ma exerce sur mb une tension y 7 ", égale et •xmtraire kf, puisque mb est en équilibre sous l’action des forces f et f".

Ainsi, en tout point m d’un fil tendu par deux forces égales et contraires agissant en ses extrémités, on peut con-idérer deux tensions : celle que la portion du fil placée à gauche de m exerce sur celle de droite et inversement. Ces deux forces sont égales et opposées, elles sont les mêmes dans toute l'étendue du Jil et égales en valeur absolue aux forces agissant en ses deux extrémités.

La même chose aurait lieu évidemment si ab , au lieu d’ùtre un fil, était une barre rigide. Dans le cas d’une barre ab (Jig. 37, PI. IX), rien n’empèchcrait de considérer aussi deux forces f et f , égales et opposées, et agissant de façon à comprimer la barre au lieu de la tendre. En faisant alors une section en m, on voit que la partie mb exerce sur ma un effort y 7 ' égal et contraire kfe t qui tendrait à comprimer cette portion de la barre; de même la portion ma exercerait sur mb une force J w égale et contraire à y 7 ou à f, et qui tendrait à comprimer la partie mb. Ces actions se nomment non plus des tensions, mais des pressions. La pression, comme la tension, est la même en valeur absolue dans toute l'étendue d’une barre en équilibre.

ÉNONCÉ DU PROBLÈME k RÉSOUDRE. — Le problème général qui fait l’objet de ce Chapitre est celui-ci :

On donne une figure plane de la nature de celles que nons avons étudiées au Chapitre III. On en regarde les divers côtés comme des barres rigides (* ) ; en ses sommets on applique un système de forces

(*) Rien n’empêche que celles des barres qui sont tendues soient remplacées par des fils flexibles.

situées dans le plan de la figure et la maintenant en équilibre; ces forces comprennent les poids des barres supposées décomposés chacun en deux composantes appliquées aux deux extrémités de la barre.

La figure étant en équilibre, chacune de ses parties est en équilibre et notamment chacune des barres qui la composent.

Concevons (fi g. 20, PI. F) que l’on coupc toutes les barres, telles que D, D,, D,,. . . qui aboutissent en un sommet q , excepté l’une d’elles pq ou A. L’équilibre ne sera pas troublé par ces sections, pourvu qu’on applique au point q des forces fictives égales aux tensions ou pressions exercées sur ce point par chacune des barres coupées.

On peut de même concevoir coupées toutes les barres, telles que B, B, , . . . , autres que pq aboutissant en /?, pourvu qu’à chacune d’elles on substitue une force fictive représentant sa tension ou pression.

Si l’on compose entre elles toutes les tensions appliquées en p, ainsi que les forces qui pourraient être directement appliquées en ce point, on aura une force unique que tious appellerons f. De même la résultante de toutes les forces (tensions ou autres) appliquées en q sera une certaine fore c f.

Nous ne connaissons a priori ni la force J, ni la force y 1 ; niais comme la barre pq est maintenue en équilibre par l’action de ces deux forces, nous sommes certains qu’elles sont égales entre elles, dirigées toutes deux suivant la ligne pq et de sens opposés. Leur grandeur commune représente la tension de la barre pq et leur sens indique si celte barre est tendue ou comprimée : c’est la grandeur et le sens de ces forces f et J 1 qu’on se propose de chercher pour chacune des barres A composant la figure.

Remarque. — Tant que le problème de la détermination des tensions ou pressions d’un système de barres n’est pas résolu, on ne sait pas si une barre donnée sera tendue ou pressée.

Nous parlerons habituellement de toutes les barres comme si elles étaient tendues, sauf à rectifier ce langage, une fois obtenue la solution du problème, qui nous apprendra quelles sont les barres elTectivemcnt tendues et quelles sont celles comprimées.

CAS PARTICULIER DES P0LY60HES ARTICULÉS. — 1° Polygones articulés

libres. — Considérons d'abord le cas simple d’un polygone fermé composé de barres articulées entre elles aux divers sommets du polygone. En chacun de ces sominets est appliquée une force. On demande de déterminer : i 0 les conditions pour que ces forces puissent maintenir le polygone en équilibre ; a" les tensions des côtés du polygone lorsque l’équilibre existe.

Si le polygone formait un système indéformable ou invariable, les conditions d’équilibre des forces qui le sollicitent seraient celles indiquées au § 48; il faudrait et il suffirait que le polygone de ces forces et leurs divers polygones funiculaires fussent fermés; mais, comme les forces agissent ici sur un polygone qui est déformable dès qu’il contient plus de trois côtés, ces conditions cessent en général d'ètrc suffisantes.

Pour découvrir toutes les conditions qui sont ici nécessaires et suffisantes, nous observerons que, si le polygone est en équilibre, chacun de scs sommets est séparément en équilibre sous l'action de la force qui y est appliquée et des tensions des deux barres qui y aboutissent, et qu’inversement, si chacun des sommets est en équilibre sous l’action de la force extérieure et des tensions qui le sollicitent, le polygone tout entier est en équilibre.

Ainsi tout le problème consiste à chercher les conditions pour que chaque sommet soit séparément en équilibre.

Soit {Jtg- 21, PL V II) le polygone donné :

Soient

ir, 22', 33', 44', 55', 66'

les lignes d’action des forces qui le sollicitent, les grandeurs de ces forces étant représentées par les côtés

du polygone des forces {fig- 24 ).

Pour que le somme! 1 du polygone donné soit en équilibre, il faut que la résultante des tensions des deux côtés 1 2 et 1 6, supposés coupés près de leur extrémité commune 1, soit une force égale et opposée à la force appliquée suivant la ligne d’action 11'. Donc, si par les extrémités de la ligne i du polygone des forces on mène des parallèles aux côtés 1 2 et 1 6 du polygone donné, les lignes O i 2 et O i 6 ainsi obtenues donneront les grandeurs des tensions des côtés 1 2 et 1 6 de ce polygone. La première sera dirigée de i 2 vers O, la seconde de O vers 1 6 . Ces forces sont donc de sens opposés aux sens que marquent les flèches placées suivant les lignes issues de O. Ces flèches indiquent le sens des composantes de la force 11' suivant les côtés 16 et 12, c’est-à-dire le sens des pressions que la force 1 1' exerce sur ces côtés, tandis que ce que nous cherchons ici, ce sont les réactions que ces côtés opposent à l’action de la force 1 l'pour la tenir en équilibre, réactions égales et opposées aux composantes de 11'.

Passons maintenant au sommet 2. Pour qu’il soit en équilibre, il faut que la résultante des tensions des côtés 21 et 23 soit une force égale et opposée à celle qui est dirigée suivant la ligne 22' et représentée par le côté 2 du polygone des forces ; mais la tension suivant 21 est déjà représentée sur le polygone : elle est égale au rayon Oi 2 et dirigée de O vers i a, c’est-à-dire qu’elle est (§ 59) égale et opposée à la tension du côté 12 agissant au sommet I. Donc la tension, suivant le côté 23, sera représentée par le rayon O a3 et dirigée de 2 3 vers O. Cela exige que le côté 23 soit parallèle à ce rayon. On verrait de môme que tous les côtés suivants du polygone donné doivent être parallèles aux rayons issus deO, c’està-dire que ce polygone doit être un des polygones funiculaires des forces qui agissent sur scs sommets. Moyennant cette condition, les sommets successifs 1, 2, 3, -i, 5 sont en équilibre, et les rayons is.-us du pôle O mesurent les tensions des côtés successifs du polygone donné; mais quand on arrivera au dernier sommet 6, comme les tensions des deux côtés 61 et 65 qui y aboutissent sont connues l’une et l’autre et figurées au polygone des forces par les rayons 6 lO ou a O et 063 ou Oô, il faut que la force agissant suivant la ligne 66' soit égale à celle qui ferme le polygone des sept autres forces données.

Ainsi, pour qu'un système de forces puisse maintenir en équi-

libre un polygone fermé formé de barres articulées , il faut et il suffit : i° que le polygone de ces forces soit fermé; a° que le polygone fermé sur lequel elles agissent soit un quelconque de leurs polygones funiculaires.

Ces conditions remplies, les rayons issus du pôle de ce polygone funiculaire représentent les tensions de ses divers côtés.

Remarque I. — On voit que les forces données doivent avoir leur polygone des forces fermé, ainsi qu’un de leurs polygones funiculaires, à savoir : le polygone sur les sommets duquel elles agissent ; par suite (§ 48) tous leurs polygones funiculaires sont fermés et elles satisfont aux conditions d’équilibre de tout système de forces agissant sur un solide invariable. C’est ce qui doit être, car on sait (§ 38) que les conditions nécessaires et suffisantes à l’équilibre des solides invariables ne cessent pas d'ètre nécessaires pour des forces agissant sur des systèmes déformables. Seulement alors elles ne sont plus suffisantes, et l’on voit, en effet, qu'ici elles ne sont pas suffisantes ; car, si elles sont remplies par un système de forces, ces forces ne peuvent pas maintenir en équilibre des polygones fermés quelconques, mais seulement leurs divers polygones funiculaires.

§ 61 bis.

2° Polygones articulés suspendus. — Considérons maintenant (fig. 2-4) un polygone non fermé

et suspendu par scs deux extrémités à deux points fixes A et B. F.n scs sommets appliquons des forces quelconques :

et cherchons : i° les conditions pour que ces forces le maintiennent en équilibre ; a 0 les tensions qu’elles déterminent sur ses divers côtés ; 3° les pressions exercées sur les points fixes A et B.

Nous pouvons rendre le polygone libre à la condition d’appliquer suivant le côté A4 une force égale à la tension que la fixité du point A produit sur ce côté et, suivant le côté BS, une force

ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES PLANS ARTICULÉS, égale à la tension produite par la fixité du point B. Les forces agissant ainsi suivant les côtés Al et B5 peuvent être considérées comme appliquées au point de concours 6 de ccs côtés et composées entre elles : soit 66' leur résultante.

Le problème consiste maintenant à trouver les conditions d’équilibre du polygone fermé et libre 1 2 3 4 S 6 1 soumis aux forces

11', 22', 33', U', 53', 66', dont la dernière est inconnue.

Or il résulte du paragraphe précédent que ces forces doivent remplir les conditions d’équilibre des forces agissant sur un système invariable, et que le polygone fermé sur lequel elles agissent doit être un de leurs polygones funiculaires. S’il en est ainsi, une portion quelconque de ce polygone fermé sera évidemment un des polygones funiculaires des forces appliquées en ses sommets. Ainsi la portion Al 2 3 4 5 B sera un des polygones funiculaires des cinq forces données ; les rayons issus du pôle de ce polygone funiculaire et aboutissant aux divers sommets du polygone des forces données indiqueront les tensions des divers côtés du polygone funiculaire ; en particulier, les rayons extrêmes O a et Ob indiquent les tensions des côtés extrêmes Al et Bîî du polygone funiculaire, et, par suite, les pressions exercées sur les points fixes A et B. Ainsi, étant donné un système de forces quelconques, se faisant ou non équilibre, tout polygone funiculaire de ce système de forces étant considéré comme formé de barres articulées est en équilibre sous l'action de ces forces, si ion en fixe les deux extrémités. Aucun autre polygone ne jouit de celte propriété.

Remarque /. — C’est cette propriété qui a fait désigner les polygones dont il s’agit sous le nom de polygones funiculaires. Ce sont de tels polygones qui forment les câbles des ponts suspendus, et le nom générique de polygone funiculaire (en allemand seil-polygon, polygone formé de fils ou de cordes) appartient plus spécialement aux polygones dont les côtés, au lieu d’être formés de barres rigides, seraient formés de fils flexibles et inextensibles. Pour qu’on puisse substituer des fils aux barres, il faut que les divers côtés du polygone soient tous tendus, qu’aucun ne soit comprimé. C’est ce qui n’a pas lieu pour la fig. 24, par exemple.

Là, au contraire, tous les côtés sont comprimés.

On substitue parfois, dans ce cas, le nom de polygone des pressions à celui de polygone funiculaire, parce que ce polygone est employé pour le calcul des pressions des voûtes en maçonnerie; mais nous emploierons toujours le terme générique de polygone funiculaire, que tous les côtés soient tendus ou tous comprimés, ou quelques-uns tendus et d’autres comprimés.

Remarque II. — Plus le nombre des forces est considérable, plus le nombre des côtés des polygones funiculaires est grand; si les forces se rapprochent indéfiniment les unes des autres, les côtés des polygones deviennent de plus en plus petits et à la limite les polygones se transforment en courbes qu’on nomme, suivant le cas, courbes funiculaires ou courbes des pressions.