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MOMENT D’UNE FORCE RELATIVEMENT A UN FLAN. — Dans l’élude des forces parallèles, on appelle moment d’une force par rapport à un plan le produit de cette force par la distance de son point d’application au plan.

On remarquera que le moment d’une force, relativement à un plan, a un tout autre caractère que le moment d’une force autour d’un point, que nous avons considéré dans l’étude des forces situées dans un plan. Celui-ci dépend essentiellement de la positiou de la ligne d’action de la force et nullement de celle de son point d’application ; celui-là, au contraire, ne dépend que de la position du point d’application et non de la direction de la ligne d’action de la force.

D’après cela, étant donné un système de forces parallèles, faisonsles tourner d'un même angle autour de leurs points d’application, de façon à les rendre parallèles à une droite O y arbitrairement tracée dans le plan (P) par rapport auquel on prend les moments; puis projetons-les sur un plan perpendiculaire à (P), mené par la droite O y ; enfin prenons les moments des forces projetées et de leur résultante autour d’un point quelconque O de Oy.

Le moment de l’une quelconque des forces données par rapport au plan (P) est évidemment, en valeur absolue, égal au moment de sa projection autour du point O; car les forces se projettent en

112 PROJECTIONS ET MOMENTS DES FORCES PARALLÈLES

vraie grandeur et leurs distances au plan (P) sont égales aux distances de leurs projections au point O: convenons de prendre les signes des moments de nos forces relativement au plan (P), de façon que ces signes soient les mêmes que ceux des moments de leurs projections autour du point O, en sorte que ces deux moments seront, pour chaque force, égaux à la fois en grandeur et en signe.

Le moment autour du point O de la résultante des forces projetées est égal à la somme des moments de ces forces (§ 70). Cette dernière somme est, d’après ce qui précède, égale à la somme des moments des forces données relativement au plan ( P ) ; de plus, la résultante des forces projetées étant, d’après le lemme du paragraphe précédent, la projection de la résultante des forces de l’espace, son moment relatif au point O est égal au moment relatif au plan (P) de cette dernière résultante. Donc :

Théorème. — Le moment de la résultante d' un système de forces parallèles par rapport à un plan quelconque est égal à la somme des moments de ces forces par rapport à ce plan.

DÉTER1OSATI0H AHA1YTIÛ0E DD CENTRE DES FORCES PARALLÈLES. -

D’après cela, soient

un système de forces parallèles.

Considérons trois plans se coupant deux à deux à angle droit, suivant des lignes Oi, Oy, O z.

Soient

J*» Xi Xnt

2 Ji • • * »

les distances respectives des points d’application des forces données aux trois plans yOz, zOx, xO y\ et soient J, », £ les distances à ces mêmes plans du centre des forces parallèles. Si R est la résultante’des forces données, le théorème des moments appliqué successivement aux trois plans, donnera les équations

I R' = P,*. -+- PjX, -i- Pjjr, P.jr„ — ïP ^

R» = P>X< -+- Pi/i + Pc i P»r. = ZP ifi,

R? = Piî> ■+■ Pj«j -I- PjZ, -4 - . . . -f- P„ z„ 1 - Pj

PROJECTIONS ET MOMENTS DES FORCES PARALLÈLES. 113 en désignant par E les sommes algébriques qui forment les seconds membres de ces équations. Ces sommes sont connues ; R l’est également, puisque

(a) R = P, -f-P,~...-f-P„=ïP„

où E est la somme algébrique des forces données. Donc les équations (i) font connaître les distances Ç, >î, f du centre des forces parallèles aux trois plans donnés, c’est-à-dire la position de ce point dans l’espace. Ce procédé, au point de vue analytique, est très-simple; au point de vue graphique, celui que nous avonsdonné au Chapitre précédent est en général infiniment meilleur.

Si toutes les forces sont situées dans un même plan, par exemple dans le plan xO y, alors s, = o, z, = o, . . . , z n = o. La dernière équation (t) donne alors £ = o, c’est-à-dire que le centre des forces parallèles est aussi situé dans ce plan, ce que nous savions (§ 74), et sa position est définie par ses distances £ et rj aux deux droites O y et Or, de même que les points d’application des forces données sont définis par leurs distances x t et y t à ces droites. Il résulte de là que les plans zOj et zOx perpendiculaires au plan xO y qui contient les forces données ne jouent plus aucun rôle, mais seulement leurs traces Ojy et Ox sur ce plan. Voilà pourquoi le produit P,-x,-, moment de la force P ; relativement au plan zOy, peut, dans ce cas, prendre le nom de moment de la force P,relativement à la droite Oy intersection du plan züy avec le plan qui contient toutes les forces. De même le produit 1\ 77 , moment de la force P,- relativement au plan sOx, prendra le nom de moment de celte force, relativement à la droite Ox.

Eu général, quand des forces parallèles sont toutes situées dans un plan, on appellera moment de l’une de ces forces par rapport à une droite du plan son moment par rapport à un plan mené par cette droite perpendiculairement à celui qui contient les forces. On peut donc énoncer le théorème suivant comme cas particulier de celui qui fait l’objet du paragraphe précédent : Le moment de lu résultante d’un système de forcés parallèles, contenues dans un plan, par rapport à une droite du plan, est égal ù la somme des moments de ces forces par rapport à cette droite.

1 1 t DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES CENTRES DE GRAVITÉ.

ÉQUIVALENCE ENTRE LE ROLE ANALYTIQUE DES PROJECTIONS ET DES MOMENTS ET LE ROLE GRAPHIQUE DU POLYGONE DES TORCES ET DU POLY- GONE FUNICULAIRE. — On voit que le théorème des moments permet de déterminer analytiquement la position du centre des forces parallèles, comme le polygone funiculaire permet de le déterminer graphiquement.

13e même le théorème des projections tient analytiquement lieu du polygone des forces, lequel se réduit toujours à une ligne droite dans le cas des forces parallèles.

Pour qu’un système de forces parallèles soit en équilibre, il faut analytiquement: i° que les sommes de scs projections, sur deux plans parallèles à ces forces et se coupant, soient nulles; a° que les sommes de leurs moments relativement à ces plans soient nulles ; et graphiquement : t°quc le polygone de ces forces soit fermé; a° qu’un des polygones funiculaires de ces forces ramenées dans un plan (§75) soit également fermé.