GE HE GF ~ KF
ce qui montre que la ligne KH passe bien par le centre de gravité cherché G.
Secteur formé par une portion de polygone régulier et secteur de cercle. — Soit ABCDE (f>g- 53, PI. XI) une portion de polygone régulier ayant son centre en O; cherchons le centre de gravité du secteur OABCDE. Pour cela, déeomposons-lc en triangles ayant leur sommet en O. Le centre de gravité du triangle OBC, par exemple, est en 1 , aux deux tiers de la médiane 01. Si on construit la portion de polygone régulier abede dont les sommets sont aux deux tiers des rayons aboutissant aux sommets A, B, C,.. ., le centre de gravité de chaque triangle OBC sera au milieu du côté correspondant bc du contour abede; comme d’ailleurs l’aire de ce triangle est proportionnelle à la longueur bc , on voit qu’on obtiendra le centre de gravité cherché en appliquant au milieu i de chacun des côtés du contour abede une force proportionnelle à ce côté, toutes ces forces ayant même direction et même sens. Cela revient à dire que le centre de gravité du secteur OABCDE coïncide avec le centre de gravité du périmètre abede.
Ce dernier, nous savons le trouver (§ 8i).
Le résultat auquel nous venons d’arriver subsistant, quelque nombreux que soient les côtés du polygone ABCDE inscrit dans l’arc de cercle AE, subsistera pour cet arc lui-môme. Donc : le centre de gravité de l'aire d’ un secteur de cercle coïncide avec le centre de gravité de l’arc, ayant pour rayon les deux tiers du rayon de ce secteur.
Segment de cercle. — Soit {fi g- 51, PL XI) le segment «le cercle ABC; son centre de gravité est sur la ligue de symétrie OC.
Soient G, et Q, le centre de gravité et la surface du secteur OACB ; Gj et Q, le centre de gravité et la surface du triangle OAB. Nous savons trouver les points G, et G,. Soient G le centre de gravité du segment et Q sa surface. On a
Donc (§ 80) le centre de gravité G est le centre de deux forces parallèles, proportionnelles à Q, et Q, et de sens contraires; par suite, le point G sera sur le prolongement de G,G t et dans une situation telle que
GG, Q, DH GG, Q, arc CB’
DH étant la pi'rpendiculairc abaissée du milieu D de la corde AB sur le rayon OB.
Donc si, sur une ligne (jueleoncjue issue de G,, on porte G, u, rrj arc CB,
et, sur une parallèle à G, u, issue de G,, une longueur
G,tt, = DH,
la ligne u, u, rencontrera OC au centre de gravité cherché G.
Anneau compris entre deux arcs de cercles concentriques. — Soit ( fig . 52, PI. XI) à chercher le centre de gravité de l’anneau ABCD compris entre les arcs de cercle concentriipics AB et CD. Il se trouve évidemment (§ 85) sur le rayon OI passant parle milieu des arcs AB et CD, puis«jue ce rayon est une ligne de symétrie. Soient G, et G, les centres de gravité des secteurs OAB et OCD,
DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES CENTRES DE GRAVITÉ. 127 ct G le centre de gravité cherché de l’anneau ABCD. Nous savons trouver les points Gj et G,.
On a ABCD = scct. OAB — sect. OCD. Donc on peut regarder le centre de gravité cherché comme étant sur la ligne d’action de la résultante de deux forces parallèles et de sens contraires, l’une proportionnelle à l’aire du secteur OAB appliquée en son centre de gravité G, , l’autre proportionnelle à l’aire du secteur OCD appliquée en son centre de gravité G». Donc
GG, scct. OCD OC
GG~, ~ scct. OAB ~ Q-*
Joignons le point A au point J et menons Ci parallèle à AJ; on aura
OA OJ OC
ÔC — Oï ~ 07 ’
d’où
OC = OA X Oi
et par suite
GG, OA X 0/ Ot
GG ’ eu 0A
Du point G, sur une ligne quelconque, portons G, u, = Oï, et du point G,, sur une parallèle à G, u,, portons G ,u, = OA. Joignons les points u t et u, ; la droite ainsi obtenue passera évidemment par le point cherché G.
Segment de parabole. — Soit (Jig . 57, PL XI) un segment de parabole AIB. Son centre de gravité se trouve sur le diamètre IX, conjugué à la corde AB (§ 86). Soit G ce point.
Rapportons la parabole au diamètre IX cl à la tangente conjuguée 1Y, et soit
son équation.
Prenons une zone ajBa'/S' ayant une épaisseur dx comptée parallèlement à IX. Soit x l’abscisse de la ligne arj3. On aura
«P =2 \jipx.
L’aire AI B sera proportionnelle à
• 2 Jdx \] 2 .px,
son moment relatif à IY proportionnel à
GI X 2 J dx \j-zpx.
Le moment de la zone a fia' fi' sera proportionnel à j: x d.r X 2 y 2 px — 2 x dx \j 2 .px.
Donc le théorème des moments donnera
GI X 2 fdx\j 2 px — J ix dx y ! 2 px ; ou, en supprimant le facteur commun 2 ^ 2 ^,
ci = li±,
fx~ dx
les intégrales étant à prendre de I à C, ce qui donne
