OG CG OI ~ IB

a AB

rX AB

Centre de gravité des aires planes.

On appelle diamètre d’une ligne plane le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée.

Quand un diamètre est rectiligne, sa direction et celle des cordes qu’il divise en parties égales sont dites conjuguées.

Théorème. — Lorsqu une courbe plane fermée admet un diamètre rectiligne, le centre de gravité de l’aire de cette courbe se trouve sur ce diamètre.

Soit ( ftg . 49, PL X ) xj une droite, lieu des milieux des cordes ac parallèles à une direction fixe.

Traçons une série de cordes telles que ne, parallèles à cette direction et très-voisines les unes des autres. Par les extrémités a et c de chacune d’elles, abaissons des perpendiculaires ab et cd sur la corde voisine a'c'\ nous formerons ainsi une série de rectangles tels que abed.

La figure formée par l'ensemble de ces rectangles est d’autant moins différente de la figure donnée que les cordes ac, a' c', . . . sont plus voisines, et, si elles se rapprochent indéfiniment, la somme des aires des rectangles se rapprochera indéfiniment de l’aire de la figure donnée. Or chacun de ces rectangles (§ 81 ) a son centre de gravité sur le diamètre xj. Donc (§ 74, Remarque 1 ), le centre de gravité de la figure formée par l’ensemble des rectangles est sur la même ligne. Comme il en est ainsi quelque voisines que soient les cordes ac, a' c', cette propriété appartiendra aussi à l’aire donnée, vers laquelle tend indéfiniment celle formée par l’ensemble des bandes rectangulaires.

Centre de gravité de l’aire d'un parallélogramme. — Il résulte de là immédiatement que le centre de gravité de l’aire d’un parallélogramme EFGH {Jig. 47, PL X) est son centre de figure; car les deux diamètres AB et CD parallèles aux côtés du parallé-

logranime et passant par son centre devant tous deux contenir le centre de gravité cherché, il est leur point d’intersection.

Centre de gravité de l’aire du triangle. — Le centre de gravité de l’aire d’un triangle est au point d’intersection de ses trois médianes, c’est-à-dire au tiers de chacune d’elles. Chaque médiane, en effet, est un diamètre , puisqu’elle divise en parties égales les cordes parallèles au cèlé du triangle au milieu duquel elle aboutit.

APPLICATION DE LA MÉTHODE GÉNÉRALE A LA RECHERCHE DD CENTRE DE GRAVITÉ DE L'AIRE D'UN F0LT60NE OU D'UNE COURBE GUELCONGUE. — Pour appliquer au centre de gravité des aires planes la méthode du § 80, s’il s’agit de l’aire d'un polygone, on le décomposera en triangles. Au centre de gravité de chaque triangle, on supposera appliquée une force proportionnelle à son aire , toutes ces forces étant parallèles ; ellts devront d’ailleurs toutes avoir même sens ou des sens différents, suivant que l’aire du polygone sera composée de la somme arithmétique ou de la somme algébrique des aires des triangles. Si tous les triangles sont à additionner, toutes les forces appliquées en leurs centres de gravité devront avoir même sens; si quelques-uns sont» additionner et d’autres à retrancher, ce qui peut arriver notamment dans les polygones présentant des angles rentrants, les forces appliquées aux centres de gravité de ces derniers devront avoir un sens contraire à celui des autres.

Quadrilatère. — Appliquons cette règle à un quadrilatère quelconque ABCD (Jig. 51, Pl. XI). On mènera la diagonale CD. On joiudra les sommets opposés A et B au milieu I de cette diagonale.

Les points g et g' placés au tiers des lignes IA et IB, à partir de I, sont les centres de gravité des triangles ACD et BCD. On devra y appliquer des forces proportionnelles aux aires de ces triangles, c'est-à-dire à leurs hauteurs An et 11 /> , puisqu’ils ontmème base CD.

12t DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES CENTRES DE GRAVITÉ.

Ces hauteurs sont d’ailleurs proportionnelles aux segments AO et OB de la diagonale AB, ou, si l’on veut, aux segments gi et ig' qui sont les tiers des précédents. Donc, pour avoir le centre de gravité cherché, on devra (§73) diviser la ligne gg' en parties inversement proportionnelles à gi et ig'. Pour cela, il suffira de prendre, à partir du point g , une longueur g& = g'i\ le point G est le centre de gravité cherché.

Trapèze. — Dans le cas du trapèze, la construction précédente peut être uu peu simplifiée. Soit ( fig . 5o, PI. XI) un trapèze ABCD. Divisons-le eu deux triangles ACD et ABD par la diagonale AD. Menons la médiane DE du triangle ADB; le centre de gravité G, de ce triangle sera au tiers de DE à partir de E. De même le centre de gravité G, du triangle ACD sera au tiers de la médiane FA à partir de F. Le centre de gravité du trapèze sera donc sur la ligne G, G, ; mais la ligne EF est une ligne diamétrale du trapèze : donc (§ 80) le centre de gravité cherché sera sur cette ligne; il se trouvera donc au point d’intersection G des lignes G, G, et EF.

De là on peut déduire une autre manière de trouver ce point : prolongez CD d’une longueur DK égale à AB, et BA d’une longueur AH égale à CD; puis menez la ligne HK; cette ligne passera par le point G. En effet, menons les lignes G|T, et G,I, parallèles aux bases du trapèze. Puisque G, est au tiers de ED, le point 1, sera au tiers de EF ; de même le point I s sera au tiers de FF-, en sorte que

I,E = I,F = j EF,

cl par suite

D’un autre côté, les triangles semblables GG|I,, GG,I, donnent