GA AC IC

gG 1

ce qu'il fallait démontrer.

Corollaire I. — Le centre de gravité d’un tétraèdre est le centre des moyennes distances de ses quatre sommets, c’est-à-dire que sa distance à un plan quelconque est la moyenne arithmétique entre les distances de ses sommets au même plan. En cflet, le poids du tétraèdre appliqué en G peut être décomposé en deux forces parallèles et de même sens, l’une appliquée en A et l’autre en et comme G g = 7 AG, si la composante passant en A est Q, celle passant en g sera ( § 73) 3 Q ; mais celle-ci peut à son tour être décomposée en deux forces appliquées l’une en C, l’autre en I, et, comme 1 ^ = 7 ,gC, la force appliquée en I sera double de celle appliquée en C, c’est-à-dire que celle-ci sera Q et celle appliquée en I sera aQ et pourra être remplacée par deux forces égales chacune à Q, appliquées en B et D. Donc le poids du tétraèdre se trouvera décomposé en quatre poids Q égaux entre eux, appliqués en ses sommets .

Soient a, &, c, d les distances de ces sommets à un plan quelconque, et £ la distance au même plan du point G; le théorème des moments appliqué aux poids 4 Q du tétraèdre donne

4Qï^=Qn-t-Qè-t-Qc-(-Q<f

ou

Ç — t ( fl -4- è -f- c + rf'.

13i DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES CENTRES DE GRAVITÉ.

Corollaire II . — De la démonstration qui précède, il résulte aussi que le centre de gravité d’un triangle est le centre des moyennes distances de ses trois sommets.

Corollaire III. — Le centre de gravité d’un tétraèdre coïncide avec le centre de gravité de l’aire du triangle que détermine, dans le tétraèdre, une section distante d’une de scs faces du quart de la hauteur correspondante.

Corollaire IK. — Le centre de gravité d’un tétraèdre jouit encore de la propriété d'ètre au milieu de la ligne qui joint les milieux de deux arêtes opposées quelconques du tétraèdre. Eu effet, joignons le point I, milieu de l’arète BD, au centre de gravité G. La ligne IG, étant dans le plan AIC, ira rencontrer l’arête AC opposée à BD, ainsi que sa parallèle gg*. Soient I et i les points de rencontre avec ces deux lignes : il est clair que i sera le milieu de g g' et 1' le milieu de AC ; car les triangles semblables G ig et AGI' donnent

AI' ~ GÏ' 5

de même, les triangles g'iG etGI'C donnent

d’où

f!i G i CI' ~ GÏ’