V - If — i

iV~e*î'~ =*’

I,- -- il' = - GI' •+• - G i — - GI' + i GI'.

Par conséquent,

GI — Gi + Ii ~ /i -h - H- 1=) GI' = GI'.

On peut voir, par tics considérations mécaniques très-simples, que le centre de gravité du tétraèdre est au milieu de la ligne qui joint les milieux de deux arêtes opposées.

Soit le tétraèdre ABCD {J! g- 59, PL XII). Coupons-le par des plans parallèles aux arêtes opposées CD et AB. Ces plans détermineront, sur les faces du tétraèdre, des parallélogrammes tels que abcd , n, ô, Ci d t dont les côtés sont parallèles à CD et AB. Les centres de ces parallélogrammes sont évidemment sur la ligne II' qui joint les milieux des arêtes CD et AB. Donc (§ 100) lecentrede gravité du volume du tétraèdre se trouve sur cette ligne.

De plus, ces parallélogrammes ayant tous même angle, leurs aires sont entre elles comme les produits de leurs côtés, en sorte que

ai ro abcd nb X dh

aire a, b, c, tl, a , é, X d, b,

ab C b

bd B b

donc

aire abcd ab X <lb C h X B h

aire a, — a,b,X.d,b t ~~ Ci, X B b,'

c’est-à-dirc que les aires des parallélogrammes sontentre elles comme les produits des deux segments que leurs plans déterminent sur une arête CB. Donc, si l’on prend deux parallélogrammes tels que abcd clatb'cfd ', également distants des sommets C et B, ils sont équivalents, parce que C b = BA'et, par suite, Bù = C b'.

D’où

CiXBi

Il résulte de là que si l’on considère deux plaques infiniment minces, d’égale épaisseur, ayant ces parallélogrammes pour bases, ces plaques auront même volume et même poids, et le centre de gravité de l’ensemble des deux sera dans un plan équidistant de l’une et de l’autre, c’est-à-dire équidistant des sommets C et B. Comme il est sur la ligne II', il sera donc au milieu de cette ligne. Il en est de même de toutes les plaques que l’on considérera ainsi deux par deux, et par suite aussi du volume formé par l’ensemble de toutes ces plaques: et comme ce volume peut être rendu aussi voisin que l’on veut du volume du tétraèdre si les plaques sont prises suffisamment minces , le centre de gravité du tétraèdre se trouvera lui-même au milieu de la ligne II'.

De là, on déduirait comme corollaire ce théorème de Géométrie, démontré directement plus haut :

Les quatre lignes qui joignent les milieux des arêtes opposées d'un tétraèdre se croisent en un meme point, qui est le milieu de chacune d’elles.

Pyramide et cône. — Le centre de gravité du volume d une py ranude ou d un cône à base quelconque coïncide avec le centre de gravité de l aire d’ une section parallèle à la base faite au quart de la hauteur de la py ramide ou du cône, à partir de celte base.

En effet, menons les diagonales issues de l’un des sommets du polygone de base d’une pyramide, et décomposons celle-ci en tétraèdres au moyen de plans passant par ces diagonales et par le sommet de la pyramide. Le centre de gravité de chacun de ces tétraèdres coïn-

eide (§ 101, Coroll. II) avec le centre de gravité du triangle que détermine, dans ce tétraèdre, une section parallèle à la base de la pyramide placée au quart de sa hauteur, à partir de cette base. De plus, le volume du tétraèdre est proportionnel à l’aire de ce même triangle. Donc, pour avoir le centre de gravité de la pyramide, il suffit, au centre de gravité de chacun de ces triangles, d’appliquer une force proportionnelle à son aire et de chercher le centre de toutes ces forces parallèles ; ce qui revient à dire qu’il faut chercher le centre de gravité de l’aire du polygone que le plan sécant détermine dans la pyramide.

Ceci étant vrai, quelque nombreuses que soient les faces d’une pyramide inscrite dans un cène, l’est aussi pour un cène.

S lot-

Tronc de pyramide et tronc de cône à bases parallèles. — Soit ijig. 60, PL XII) un tronc de pyramide à bases parallèles A OCDE o/icrfe. Prolongeons le tronc de façon à compléter la pyramide. Soit S son sommet; soient G s et G, les centres de gravité des pyramides SABCDE et Sabcde ; Q, et Q, leurs volumes. Les points G, et G, sont sur la ligue qui joint le sommet S aux centres de gravité g t et g, des bases et au quart des hauteurs Sÿ, et S g t , à partir de ces bases.

Le centre de gravité du tronc cherché se trouvera donc aussi sur cette ligne. Si Q est le volume du tronc, on aura

Donc (§ 80), pour obtenir le eentre de gravité G, il suffit, aux centres de gravité G, et G,, d’appliquer des forces proportionnelles à Q, et Q,, parallèles et de sens contraires, et de chercher le centre de ces forces parallèles. Le point G sera donc tel {§ 73), que

GG, Q, Sa

gg.-q;-^-

D’après cela, menons du point S une ligne quelconque SX, et décrivons les arcs de cercle AA' et ad ayant le point S pour centre. Menons les lignes antiparallèlcs Ad et A 'a; prenons sur SX une

longueur quelconque Si *, menons i i' parallèle à Art'*, i'a parallèle à «A', et 22' parallèle à A a. On aura

Si S u 1 S a

Si' Sa Srt

• S 2 S a' Srt

d’où, en multipliant membre à membre et supprimant les facteurs communs,

St s7/ GO,

*' î> SA*

Donc, si, au point G, on mène une ligne de direction arbitraire GjUj =S2 ; , et au point G* une parallèle à la précédente, G a u t = Si, et qu’on joigne les points u x et i/ s , la ligne u, u % ira rencontrer la ligne Gj G, au point cherché G.

Rien absolument n’est changé si, au lieu d’un tronc de pyramide, c’est un tronc de cône qui est donné. On prolongera deux arêtes quelconques du tronc jusqu’à leur rencontre en S, et l’on opérera sur l’une d’elles la construction faite sur SA et S«.

Polyèdre quelconque. — Tout polyèdre pouvant être décomposé en pyramides ou en tétraèdres, on peut trouver maintenant le centre de gravité du volume d’un polyèdre quelconque.

Secteur sphérique. — Le centre de gravité du volume d’un secteur sphérique est le centre de gravité de la surface d’une calotte sphérique ayant meme centre que le secteur donné et pour rayon les trois quarts du rayon de ce secteur.

La démonstration est tout à fait semblable à celle relative au secteur de cercle (§ 92 ).

Portion d'enveloppe sphérique. — Considérons [Jig . 61 , PI. X II) une portion d’enveloppe sphérique, engendrée parla demi-révolution de l’anneau A, A, B, B, compris entre deux arcs de cercle concentriques et les normales A, A, et B, B, à ces arcs, autour de l’axe OC, passant par leurs milieux. La ligne OC, est une ligne de symétrie sur laquelle se trouvera le centre de gravité cherché. Soit G ce point. Soient G, et G, les centres de gravité des secteurs OA, B, et OA, B, que nous savons trouver; Q, et Q, leurs volumes. Le volume Q de l’enveloppe est

Pour trouver son centre de gravité G, nous devons (§80) appliquer aux points G, et G, des forces parallèles, proportionnelles à Q, et Q,, de sens contraires, et chercher le centre de ces forces parallèles. Ce point sera sur le prolongement de G, G, et divisera cette ligue (§ 73) de façon que