CHAPITRE XIX

COMPOSITION DES FORCES DANS ^ESPACE

LES FORCES DE L’ESPACE N’ADMETTEHT PAS EH GÉNÉRAL DE POLYGONES FUNICULAIRES. — La notion (lu polygone funiculaire, si utile dans la composition des forces situées dans un plan, n’a pas son analogue dans l’espace.

Filant donné un système de forces distribuées d'une manière quelconque dans un plan, on peutloujours trouver (§ 61 bis) une infinité de polygones tels, que les forces données, si on les suppose appliquées aux divers sommets de l’un de ces polygones, le maintiennent en équilibre, si on en rend les deux extrémités fixes.

De tels polygones n’existent pas, en général, à l’égard de forces distribuées d’une manière quelconque dans l’espace. F.n effet, s’il en existe un, chacun de scs sommets doit être en équilibre sous l’action de la force qui y est appliquée et des tensions des deux côtés adjacents. 11 faut pour cela, d'après la règle du triangle des forces, que la ligne d'action de chaque force et les deux côtés du polygone qui concourent sur cette ligne soient dans un même plan. Si cette condition est remplie, on pourra décomposer chaque force en deux

COMPOSITION UES FORCES DANS L’ESPACE

suivant les deux côtés qui y concourent, ce qui remplacera le système des forces données par un système de forces équivalentes, toutes dirigées suivant les côtés du polygone funiculaire. Suivant chacun des côtés intermédiaires du polygone, seront dirigées deux forces qui devront être égales et opposées pour que le polygone demeure en équilibre lorsqu’on en lixe les deux extrémités.

Ainsi il faut : t° que chaque force soit située dans le plan des deux côtés du polygone qui lui sont adjacents; a 0 que les deux composantes des forces données, dirigées suivant chacun des côtés intermédiaires du polygone, soient égales et opposées.

Quand toutes les forces données sont situées dans un même plan, la première de ces conditions se trouve remplie d'elle-mème et l’on peut alors d’une infinité de manières satisfaire à la seconde; mais, dans l’espacç, la nécessité de satisfaire à la première sullit pour déterminer un polygone dès qu'un seul de ses côtés est donné, et alors la seconde ne peut en général pas être remplie. Ainsi soient [Ji g. 111 , Pl- XXI II) les forces données

Proposons-nous de déterminer, s’il se peut, un polygone funiculaire dont soit un des côtés. Si, par les deux lignes <7 0 <i, et P,, on fait passer un plan qui coupe P f en <i,, la ligne «, «, sera nécessairement le deuxième côté du polygone cherché; si, par cette ligne et par P,, on fait passer un plan qui coupe P, en <i s , la ligne a,a, sera le troisième côté du polygone cherché, et ainsi de suite. Si maintenant on décompose chacune des forces données en deux, suivant les deux côtés qui y concourent, il n’y aura aucune raison pour que la composante de P, suivant le côté <i, a, soit égale et opposée à celle de P, suivant ce même côté; pour que la composante de P, suivant le côté «,«, soit égale et opposée à celle de P, suivant le même côté, et ainsi de suite.

On voit donc qu’en général un système de forces, dans l'espace, n’admet pas de polygones funiculaires.

POLYÈDRE FUNICULAIRE DE RANCKINE, SA COMPLICATION. — Ranckinc a considéré, à l’égard des forces de l’espace, ce qu’il a appelé des

COMPOSITION DES FORCES DANS L’ESPACE

polyèdres funiculaires . Le polvcdre funiculaire de Ranckine est fondé sur ce théorème facile à établir: Des forces concourantes , normales aux faces d un polyèdre fermé et proportionnelles aux aires de ces faces, forment un système en équilibre (*). Mais la conception de Ranckine, qui conduit à représenter les forces par des aires et à considérer dans l’espace des figures formées d’une suite de cellules polyédrales accolées comme les cellules d’une ruche, n’a pas eu jusqu’ici d’applications : nous ne nous y arrêterons donc pas (**).

PYRAMIDE FUNICULAIRE. — Voici une autre extension du polygone funiculaire qui nous semble plus conforme h la nature des choses. Sans v attacher plus d’importance qu’il ne convient, tant du moins qu’on n’en aura pas déduit des conséquences graphiques faciles, nous l’exposerons en quelques mots, d’autant qu’elle nous fournira une démonstration simple du théorème fondamental de la composition des forces dans l’espace.

INous ferons d’abord ces deux remarques évidentes.

Remarque 1 . — Une force peut toujours être décomposée en diux autres, dont l’une passe par un point donné O, et dont l’autre rencontre une droite donnée D.

Car, si C est la trace de la droite donnée sur le plan passant par O et par la ligne d’action F de la force donnée, et qu’on prenne sur cette dernière ligne un point quelconque a, on pourra toujours décomposer la force donnée suivant les lignes «O et a€, puisque ces lignes et la ligne F sont dans un même plan.

Remarque II. — On peut toujours décomposer une force F en trois autres : l’une donnée arbitrairement en grandeur, direction et sens; la deuxième passant par un point donné, la troisième rencontrant une droite donnée.

(*) M. Chasles a démontré ce théorème dès 1829 dans le Bulletin de M. le baron de Férus5ac.

(**) La plus simple de ces figures serait composée des cinq tétraèdres ayant pour arêtes les dix lignes joignant cinq points de l'espace. Ce serait l’analogue de la figure plane, formée par les six lignes joignant quatre points d’un plan.

COMPOSITION DES FORCES DANS L’ESPACE. S21

Car, prcnanl un point a sur la ligne d’action de la force F, on peut d’abord décomposer cette force en deux autres, dont l’une passe par a et soit égale en grandeur, direction et sens à une force donnée; la seconde composante sera alors entièrement déterminée, d'après la règle du parallélogramme des forces. Celte seconde composante pourra, à son tour, d’après la Remarque ci-dessus, être décomposée en deux, l’une passant par un point donné, l’autre rencontrant une droite donnée. La force F sera ainsi décomposée en trois, suivant les conditions indiquées.

Cela étant, soit un système de forces

Pi» P*, P» Pô--* i Pi*

Ces forces sont représentées sur la Jig. 111 (PL XXI II) où i = 6.

Prenons sur la ligne d’action de la force P, un point quelconque n,, et décomposons cette force en trois autres : l'une suivant une ligne fl, fl 0 , arbitraire en grandeur, direction et sens, la deuxième n, O passant par un point quelconque O de l’espace, la troisième n, rencontrant la ligne d’action de la force P,. Soit a , ce point de rencontre; décomposons P, en trois : l'une suivaut a,a, égale et opposée à la composante de P, dirigée suivant cette ligne, la deuxième passant par O, la troisième rencontrant la ligne d’action de la force P,. Soit a, ce point de rencontre; décomposons P, en trois : l’une suivant fl, fl, égale et opposée à la composante de P, dirigée suivant cette ligne, la deuxième passant par U, la troisième rencontrant la ligne d’action de la force P,.

Un continuera ainsi jusqu’à la dernière force P,- qu’on décomposera en trois : l’une suivant fl/ fl,, égale et opposée à la composante de P,, , dirigée suivant cette ligne, la seconde passant par le point O, la troisième rencontrant la ligne arbitrairement donnée «, fl 0 .

/Nous avons donc substitué, au système des forces données, un système de forces équivalentes, les unes passant par le point O, les autres dirigées suivant les côtés du polygone fl 0 a,A t fl, . . Les premières étant concourantes se composent en une seule (§42); celles qui sont dirigées suivant les côtés intermédiaires du polygone se détruisent comme étant deux à deux égales et opposées ; celles qui sont dirigées suivant les deux côtés extrêmes du polygone se composent en une seule, puisque ces côtés se rencontrent. Le sys-

COMPOSITION DES FORCES DANS L'ESPACE

terne des forces données se trouve donc réduit à deux forces, dont l'une passe par le point arbitraire O. Ainsi, nous arrivons à ce théorème fondamental de la Statique :

Théorème. — Des forces distribuées d une manière quelconque dans l'espace peuvent être réduites à deux, dont l'une passe par un point arbitraire.

Si nous considérons la pyramide ayant son sommet en O, et pour base le polygone < 7 0 a, a, a,,..., a, et qu’on fixe : t° un point de chacun des côtés extrêmes de ce polygone; 2“ le sommet O, la pyramide sera évidemment en équilibre sous l’action des forces données, puisque les forces passant par O et celles dirigées suivant les deux côtés extrêmes du polygone sont détruites par la fixité des trois points O, a 0, a, et que les autres forces dirigées suivant les côtés intermédiaires du polygone se détruisent deux à deux. Cette pyramide a donc la plus grande analogie avec le polygone funiculaire, et on pourrait l’appeler la pyramide funiculaire relative au point O.

Si le système des forces données est en équilibre, alors les deux forces auxquelles on le réduit doivent être égales et opposées, ce qui exige que la résultante des forces passant par le point O et des deux forces dirigées suivan tics côtés extrèmesdu polygone funiculaire soient dans un même plan ; en d’autres termes, la pyramide funiculaire sera, dans ce cas, fermée.

Si le point O passe à l'infini suivant une direction quelconque, la pyramide devient un prisme et la section du prisme par un plan quelconque (P) est un polygone funiculaire, à savoir, un des polygones funiculaires du système des forces données, projetées sur le plan (P), suivant une direction parallèle à l’arête du prisme.

Nous 11e nous arrêterons pas davantage à ces considérations et à ces analogies de la pyramide funiculaire avec le polygone funiculaire, et nous passons de suite à l’étude des conséquences que l’on peut déduire de la réduction d’un système de forces à deux.

Théorème. — On peut toujours réduire un système de forces à deux, dont l'une ait pour ligne d 'action une droite arbitraire -

COMPOSITION DES FORCES DANS L’ESPACE. 223

ment donnée dans l'espace ; la ligne d action de la seconde est alors entièrement déterminée.

En effet, soit I) une droite arbitrairement donnée. Prenons sur D un point quelconque O [Jig. 109, PL XXJ1I). On peut toujours (§ 168) réduire au système de forces à deux : R et A dont l’une R passe par le point O. Par R et D faisons passer un plan qui rencontre Si en a. On peut décomposer R en deux, l’une suivant I), l’autre suivant Oa. On peut composer cette dernière force avec A: soit A la ligne d’action de la résultante 5 les forces R et Si sont ainsi remplacées par deux autres, dont l’une passe par la droite arbitrairement donnée D ; et l’on voit que la ligne d’action A de la seconde est entièrement déterminée.

Remarque. — A toute droite D de l’espace correspond ainsi, relativement à un système de forces données, une autre droite A et une seule, et il est clair que, réciproquement, à la droite A correspond celle D. Ces deux droites réciproques sont dites conjuguées ou correspondantes relativement au système des forces données.

Théorème. — A deux droites concourantes correspondent deux autres droites concourantes dont le plan passe par le point de concours des premières.

En effet, aux droites A et A (Jig. 109) qui concourent en n, correspondent les droites R et D qui concourent en O ; et le plan de R et D passe bien par le point a.

Inversement, aux droites R et D concourant en O, correspondent les droites concourantes A et A, dont le plan passe par O.

Corollaire I. — A un polygone gauche correspond un autre polygone gauche ; si le premier polygone est fermé, le second l’est également.

Corollaire II. — A toutes les droites concourant en un point de l’espace, correspondent les droites d’un plan passant par ce point. Réciproquement, à toutes les droites d’un plan correspondent toutes les droites concourant en un point de ce plan.

COMPOSITION DES FORCES DANS L’ESPACE

DÉFUnTIOHS. — Le point où concourent toutes les droites conjuguées à celles qu’on peut tracer dans un plan est ce que nous appellerons le foyer de ce plan.

Inversement, le plan qui contient toutes les droites conjuguées à celles qui sc croisent en un point de l’espace est ce que nous nommerons le plan focal de ce point.

Ainsi, relativement à un système de forces données, tout plan traversant l’espace renferme un foyer, et, inversement, parmi tous les plans se croisant en un point de l’espace, il en existe un, et un seul, qui est le plan focal de ce point.

Théorème. — Le lieu des foyers d'un faisceau de plans passant par une droite est une autre droite, à savoir : la conjuguée de la première.

En effet, le foyer d’un plan est (§ 171 ) la trace sur ce plan de la droite conjuguée à une droite quelconque D située dans ce plan : donc le lieu des foyers de tous les plans passant par D est la droite A conjuguée de D.

Corollaire. — En particulier, le lieu des foyers d’un faisceau de plans parallèles est une droite.

DÉmiITIOHS. — Soit un système de forces distribuées d’une manière quelconque dans l'espace. Concevons qu’on les transporte toutes en un même point. Les forces ainsi transportées auront une résultante unique qu’on appelle la résultante de translation des forces données.

Lemme. — Quelle que soit la manière dont on réduit un système de forces à deux, la résultante de translation de ces deux forces est la même que celle des forces données.

COMPOSITION DES FORCES DANS L’ESPACE

En effet, pour réduire un système de forces à deux, on ne fait nue composer des forces entre elles et les décomposer suiv ant la règle du parallélogramme des forces. Si l’on fait sur les forces transportées exactement les mêmes compositions et décompositions que sur les forces prises dans les positions qu’elles occupent réellement, on réduira ces dernières à deux et les premières à deux autres qui leur sont égales et parallèles, et dont la résultante représentera indifféremment la résultante de translation des forces données ou celle dos forces auxquelles on les a réduites.

Théorème. — Deux droites conjuguées, relativement à uns j .vteme de forces, se projettent sur un plan perpendiculaire à larésultante de translation de ces forces, suivant deux lignes parallèles.

En effet, on peut (§ 109) concevoir les forees données réduites à deux, dirigées suivant les deux lignes conjuguées 1) et A que l’on considère. Si l'on transporte ces deux forces parallèlement à ellesmêmes en un point de l’espace et qu’on les compose suivant la règle du parallélogramme des forces, on obtiendra la résultante de translation des forces données. Or, si 1 on projette les forces ainsi transportées sur un plan perpendiculaire à leur résultante, leurs projections seront évidemment deux forces égales et directement opposées. Donc, avant leur transport, ces forces se projetaient suivant deux forces égales, parallèles et de sens opposés formant un couple.

Les lignes d’action des deux forces du couple, c’est-à-dire les projections des droites conjuguées 1) et A, sont donc parallèles.

POLYÈDRES RÉCIPROQUES