BD

FD

on aura, à cause des formules (17) et (17 bis)

jd'y>dd',

d’où résulterait, a fortiori,

id' > dd\

c’est-à-dire qu’un des côtés de l’angle droit du triangle rectangle idd' serait plus grand que l’hypoténuse, ce qui est absurde. On verra de même que, quelque hypothèse qu’on fasse sur les signes des allongements des barres, il est impossible de faire en sorte que la figure se déforme de manière que toutes les barres travaillent de la même manière. Il y a donc ici, comme dans l’exemple précédent, intérêt à supprimer la barre surabondante.

SUR LA RECHERCHE DES TENSIONS

Nous venons de donner des exemples de systèmes à lignes surabondantes qu'il n’est pas possible de constituer en solides d’égale résistance, parce qu’ils ne satisfont pas à toutes les conditions d’égalité ou d’inégalité spécifiées au théorème V. Nous allons donner maintenant quelques exemples de systèmes satisfaisant à ces conditions, et pouvant, par suite, subir l’égale résistance de la part d'un système de forces données, d’une infinité de manières, c’est-à-dire pour une infinité de valeurs différentes données aux sections des barres.

Voici d’abord un procédé général permettant de constituer de tels systèmes : considérons un système de barres ne contenant pas de lignes surabondantes, en équilibre sous l’action de forces données; on pourra toujours (théorème IV), d’une manière et d'une seule, le constituer en système d’égale résistance. Supposons qu’il soit tel, et soient &>, les sections de scs barres; désignons par (F) et (4>) les formes géométriques qu’il affecte avant et après sa déformation élastique.

Admettons que la figure (F) soit telle, qu’en y traçant des lignes surabondantes de longueurs a n les longueurs des lignes correspondantes, sur la figure (4>), soient 0,(1 - 1 - c') ou «,( 1 — t*\ l’une ou l’autre de ces expressions pouvant se rapporter à tout ou partie des k ligues surabondantes. Cela revient à supposer qu’on satisfait aux k conditions d’égalité du théorème V, en prenant, parmi les a" 1 "' figures déformées que l’on peut admettre pour (F), celle (4>); mais je dis qu’en admettant cette figure (4>) on satisfait aussi aux conditions à' inégalité du théorème V, de sorte que la figure (F), avec les k lignes surabondantes qu’on y a tracées, peut, d’une infinité de manières, être constituée en système d’égale résistance à l’égard des forces données.

Pour le démontrer, il suffit d’établir qu’on peut d'une infinité de manières satisfaire aux m — k équations que la Statique fournil entre les m tensions des barres, en donnant à chaque tension le signe qu’elle doit avoir pour que la figure (F) devienne (<t>), après la déformation élastique. Or on le peut par hypothèse, d’une manière, en supposant aux k barres surabondantes des tensions nullcs, et aux m — k autres, des tensions fournies par les équations de la

DANS LES SYSTÈMES DE BARRES

Statique; donc on le pourra d’une inimité d'autres manières en supposant aux k premières des valeurs positives ou négatives [suivant qu’il s’agit de barres allongées ou raccourcies lors du passage de (F) à (•!>)], suffisamment petites en valeur absolue pour que les signes des m — k dernières ne soient pas modifiés.

Soit un système de barres formé (Jig- 119, PI. XXI P) des trois triangles isoscèles AFB, FBD, BI)C, ce système comportant un point fixe B, et les deux points A et C étant assujettis à se mouvoir sur des lignes horizontales. Ce système contient une ligne surabondante; car, si l'on se donne les trois côtés de chacun des deux triangles BAF et B1)C, ces triangles sont déterminés de forme; ils le sont, d’ailleurs, de position par la nécessité, pour chacun d’eux, d’avoir un de scs sommets en B, et l'autre sur l'horizontale AC; donc les points F et D, et, par suite, la longueur FD sont connus.

Supposons qu'aux deux sommets F et D on applique des forces scrtiealcset égales entre elles ^>; tout sera symétrique par rapport à la verticale du point B. Parmi les figures que l’on peut obtenir en donnant aux six lignes