M LA

Ufl

rJ

Fio. 271.

LIGNES DE TRANSMISSION. SYSTÈMES DE DISTRIBUTION 57:j

résistances et Li la somme de toutes les inductances. L'impédance totale de la ligne, transformateurs compris, est exprimée en valeur symbolique par

Z/ = — Kt — J'jjL/

et Ztl représente la chute de tension qui en résulte (/îjr. 271).

La valeur de la tension à

Tarrivée étant donnée,

cette chute de tension

doit en être retranchée

géométriquement pour

obtenir la valeur de la

tension au départ ; ou

bien la tension au départ

doit être donnée par la

somme géométrique de la

tension à l'arrivée et de la force électromotrice qui compense

exactement la chute de tension et qui est

Zrf=:(H,+;o>L;)/.

On a donc, dans le cas du courant en concordance de phase avec la tension à l'arrivée [fifj. 271),

Vp = l/a + (ZO r.

Dans le cas général, lorsque / est décalé par rapport à f/ad'un angle ^ , on a

( U,/) = \]a + (Z,) (I cos ? — jl sin ç)

ou bien, en développant,

(f/p) = \]a + / COS » [Kt + i^Lt) —jl sin e (Rt -\- j^oLt). (69)

Cette formule ne tient pas compte de Tangle 5 dont il faut faire tourner le vecteur correspondant à la force électromotrice réactive due à l'inductance de la ligne ; mais Terreur ainsi commise est négligeable, car elle est très petite et les résultats que donne la formule sont pleinement suffisants. L'angle 5,

même dans le cas d'une disposition irrationnelle des conducteurs, ne dépasse pas en effet 6** à 7*.

Après avoir examiné les divers cas qui se présentent dans la pratique et les méthodes qu'il convient d'employer pour résoudre les problèmes qu'ils soulèvent, il ne reste plus qu'à développer quelques applications pratiques.

250. Applications pratiqdes. — V Une ligne de 15 kilomètres de longueur, constituée par deux fils de 6 mm de diamètre, distants l'un de l'autre de 50 cm, est utilisée pour la transmission électrique de l'énergie à une installation d'éclairage par lampes à incandescence. La tension efficace à l'arrivée est de 5000 volts et la fréquence de 50 périodes par seconde. Il s'agit de déterminer les variations de tension au départ pour des charges variant de zéro à 150 kilowatts, en admettant, pour simplifier, que le courant à l'arrivée est constamment en concordance de phase avec la tension.

La résistance d'un fil de cuivre de 6 mm de diamètre à la température de 0° est de 0,565 ohm par kilomètre. La résistance totale de la ligne h 0° est de 0,565 . 30 = 16,95 ohms. Par suite de l'impureté du cuivre et de la température supérieure à 0% on peut admettre que la résistance est augmentée de 10^/q, ce qui porte la résistance totale à 18,64 ohms. A pleine charge, l'intensité du courant dans la ligne est

et, par conséquent, la perle en ligne par suite de l'effet Joule est, dans ces conditions,

18,64.(30)2 = 16 740 watts,

soit 11,2% de la puissance transmise.

L'inductance de la ligne se calcule d'après la formule (65) :

L, = 2/ j ^ + 2 log«- I unités C. G. S.

Dans le cas actuel, on a

2/ = 3 000000 cm.

Par conséquent

Ls = 3 000000 II -h 2 . 5,11 I =: 32 160 000 unités C. G, S,,

soit, en unités pratiques,

L,r= 0,032 16 henry.

A pleine charge, c'est-à-dire lorsque Tintensité du courant est de 30 ampères, la chute de tension produite par la résistance ohmique est

18,64.30 = 559,2 volts,

soit 560 volts en nombre rond. La chute de tension due à Finduclance de la ligne est

ioLsl = 2t[ . 50 . 0,03216 . 30 = 300 volts.

Il s'ensuit que, dans ces conditions, la tension au départ devra être

v'(5 000 + 560)2 + (300)2 ~ 5558 volts,

c'est-à-dire que la chute totale de tension est de

ffû Kilowaib

jA ^^B

^^J^ÛQQ.-^ âéû J

Fio. 272.

Donc, si à partir de A [fig. 272), extrémité du vecteur OA (le point 0 tombe en dehors de la feuille) qui donne la valeur

de la tension à Tarrivée et qui doit rester constante, on porte sur son prolongement un segment AB correspondant, à réchelle choisie, à 560 volts; que, d'autre part, on élève par le point B une perpendiculaire BC correspondant à 300 volts, OC donne la valeur de la tension au départ dans les conditions de la pleine charge et AC donne le lieu de Textrémité des vecteurs correspondant aux différentes charges comprises entre zéro et 150 kilowatts.

2*" Avec les mômes constantes et données de l'exemple qui précède, tracer le diagrammQ permettant de trouver les valeurs à donner à la tension au départ pour obtenir à larrivée une tension constante de 5 000 volts pour des charges variant de 25 en 25 kilowatts, lo facteur de charge du réseau de distribution pouvant pour certaines charges prendre les valeurs suivantes :

cos 9 := — 0,7 — 0,8 — 0,9 i + 0,9 + 0,8 + 0,7.

La construction de ce graphique s'obtient immédiatement, si Ton remarque que l'impédance de la ligne

est constante et que, pour un facteur de charge cos^ du réseau

de distribution, l'intensité du courant dans la ligne est

cos^

si, pour cos o, / est Imlensite du courant qui correspond à la charge moyenne.

La chute de tension duo h Tinductance est alors {fig, 273)

' COSf

si la droite AC fait un angle ç avec AC et que CC soit perpendiculaire à AC. En effet, comme on l'a vu [formule (69)],

les composantes de la chute de tension sont maintenant

l^ cosç(ft +j(^Ls) jli sinç (R + jfiiLs)'

11 suffit donc de construire le triangle fondamental ACB et de faire partir de A {fiff. 274) des lignes faisant avec AC des angles dont les cosinus correspondent à ceux qui ont été donnés ; puis on divise la ligne AG en cinq parties égales et on trace, par les points de division qui correspondent aux différentes charges, des lignes parallèles à CC. Les points d'intersection des droites ainsi tracées donnent, pour chaque valeur de cos 9 et pour les différentes charges déterminées, les extrémités des vecteurs de la tension à appliquer au départ. On trace ces vecteurs en reliant les points d'intersection avec 0.

FiG. 274.

Ce procédé est général et peut être toujours appliqué quelle que soit la nature du circuit, toutes les fois que Timpédance du circuit de ligne peut être considérée comme constante aux différentes charges.

3** On veut pouvoir disposer d'une puissance de 500 kilowatts à l'extrémité d'une ligne triphasée de 20 kilomètres de lon-

gueur, la tension composée à l'arrivée devantélre de 5000 volts et la perte en ligne de 10 ^/q. L'inductance des réceptrices correspond à cos 9 = 0,8 et la fréquence est de 50 périodes par seconde. Calculer la valeur de la tensiou nécessaire au départ et déterminer également le nombre convenable de conducteurs. Oq suppose en premier lieu que la ligne triphasée est double (6 conducteurs). Chaque ligne devra alors transporter 250 kilowatts et rintensité du courant dans chaque conducteur sera alors donnée par la formule I

P = V3L7 cos ? = 250 W)0 watts, I

d'où, si f/ = 5 000, on déduit 1

I = 36 ampères.

La perte d'énergie dans chaque conducteur étant fixée à

250 000.0,1 ^__ „ — = 8330 watts,

la résistance h donner à chacun d'eux doit être

Dans ces conditions, un fil de cuivre électrolytique de 20 kilomètres de longueur, pour ,jo? présenter une résistance de

^."'" 6,4 ohms, doit avoir une sec-

.^ tion de

/41: ^- ^ s = 0,018 ^YT = ^^ """"'

^\^^^^^,^ ce qui correspond à un dia-

"^^^ mètre de 8,5 mm, soit un

'^ """x)5 rayon r = 0,425 cm.

^ Cette section de conducteur

convenant parfaitement, on voit qu'il n'y a aucun inconvénient à employer une ligne double en plaçant les 6 conducteurs aux sommets d'un hexagone dont les côtés ont 60 cm de longueur {fig, 275).

LIGNES DsE TAA.NSMISSIOX, SYSrÈ?tfES DE DISTRIBUTION %1^

Il faut maintenant calcolBr le coefiident 4e se¥-ÎDdii€tioii d'un conducteur (le n*" 1 par -exemple) et séparéfaent ensuite le coefficient d'iuductîon mutuelle dm conducteur 1 parrapj^ort aux 5 autres.

On utilise à cet effet les formules (66) et (67) ;

L, = - — 2 log, r L,n = — t loge t

En remplaçant les symboles par leur valeur, <m a

Ls = 0,5—2 log,0,42ri =1 0,5 — 2 (2,30 log^^ 0,425) = 0,5 —4,6 (— 0,3716)

= 0,5 + 1,70 = +2,20 L,«i., = L,„i.« =: — 2 . 2,30 logjo 60 = — 2 . 4,09 = — 8,18 L,„i.3 = L;„i,, = — 2 . 2,-40 logjo10't=: — 2 . 4,63 = — 9,26 L,n,., — -2, 2,30 log,ol20= - 2 . 4,78 = -~ 9,o6.

En calculant maintenant les valeurs A, B et C, on a

A = L, + L^^.^ = + 5,20 — 9,K6 = — 7^B6 B = L,„,.^ + L,nx.', — — 8,18 — 9,26 = - 17,44 C = I,„,.3 + L,„,.,, = — 9,26 — 8,18 = — 17,44.

Par conséquent

1 ,,« ^ --(17,44+ 17,44)^ (^^ ( V^(0)r. doù

7,36-^-"'^^-^\+^^'^^''j+jf (0)}

En ce qui concerne le retard 5, la formule

Y (B - C) taug 8 = • "

donne dans le cas actuel

langS = 0,

puisque fi = C et, par conséqueol, S = 0.

Le coefficient d'induction apparente, exprimé en unité absolue et par centimètre de longueur du conducteur, est 10,08. Pour toute la longueur du conducteur, ce coefficient exprimé en unité pratique est

10,08 ^^^^ = 0,020 16 henry.

La force électro motrice due à Tinduclance dans le conducteur considéré a pour valeur efficace wL,/.

Si le circuit d'utilisation ne présentait pas de self-induction, c'est-à-dire si cos ç = 1, l'intensité du courant dans la ligne serait

I =: -7^ = 29 ampères.

Dans ces conditions, la chute de tension produite par la résistance ohmique et par l'inductance dans chaque circuit particulier constitué par un fil de ligne et par un fil neutre hypothétique pour lequel /? =0 et /., =0, serait

RI = 6,4 . 29 = 186 volts vyLsJ = 314 . 0,020 16 . 29 := 184 volts.

Fio. 216.

Donc, si OA {fig. 276) représente la tension étoilée à l'arrivée de 5^ ^ 2 890 volts et si, à la même échelle, on représente

par AB = 186 volts et par BC = 18i volts les composantes de la chute de tension lorsque cos ç = 1, le vecteur OC donne la valeur de la tension au départ lorsque la charge est de 500 ki-

lowatls et que le facteur de puissance du circuit d'utilisation est cos f = 0,8.

Ce graphique conduit au même résultat que celui qui a été indiqué au paragraphe 248 ; toutefois, comme on le voit par l'exemple qui vient d'être donné, il permet de calculer plus rapidement les valeurs de la tension au départ, lorsque, faisant varier la charge ainsi que cos ç, la tension à l'arrivée doit rester constante.

On peut contrôler, tant par la méthode graphique que par la méthode analytique, que, dans les conditions de charge données, la tension au départ doit être de 3 216 volts et que le décalage supplémentaire produit par l'inductance de la ligne se réduit à 0^ 49', puisque au départ l'intensité est décalée de 3V 39' par rapport à la tension appliquée.

La chute de tension totale est donc de

4** Une ligne double triphasée a ses 6 conducteurs placés, comme l'indique la figure 268 (A), de manière que les conducteurs de la môme phase présentent la même inductance ; sa longueur est de 60 kilomètres et elle doit transmettre une puissance maximum de 3 000 kilowatts. La différence de potentiel entre deux conducteurs est de 20000 volts et la fréquence est de 40 périodes par seconde. Le coin ant est produit h la station génératrice sous une tension de 2 000 volts et la même tension doit être utilisée à l'arrivée. Un groupe de 6 transformateurs, montés par trois en étoile, aussi bien en ce qui concerne les circuits primaires que les circuits secondaires, sert à élever la tension dans la station génératrice ; un groupe identique est utilisé à l'arrivée pour ramener la tension à 2000 volts.

Les conducteurs de la ligne sont en cuivre et ont un diamètre de 8 mm. La distance séparant deux conducteurs voisins est de 60 cm.

Les transformateurs, ayant chacun une puissance de 500 ki-

oȈ 1^ Tiaaiiwao: dbs cocuAifTS alternatifs

lawatls* ont un priihaîre de 4 obms àe résistance et un secondaire de 0,3 ohm. Le rapport de transformation m = 10; ils présentest une distpersioik de S^/q. La tension aux bornes de rearookment du e^té de la haute tension (montage en étoile)

est de — -=~ = 11 COO et varie de (quelques centièmes suivant

la charge.

Il faut calculer la tension à appliquer au départ, pour la pleine ch2»ge, ayant à Tarrivée cos ç =0,8.

Afin de résondre ce problème, on substituera aux transformateurs les impédances équivalentes (Vofr§ 2i7), en négligeant les pertes a vid^e ; on cfFectuera les calculs en prenant la valear de la tension étoiléc sur l'a ligne, sauf ensuite à diviser par m la tension el à mnltipJier par m les înlcnsftés, afin de pouvoir établir les valeurs de ces grandeurs à Tarrivée (réseau de dislribulion) et au départ (allernalours). Les décalages de phase sont ceux qui résultent de la totalité du circuit avec les impédances correspondant aux transformateurs intercalés et sott^ la teifôioii en ligne.

La résistance d^un fil de ligne, à la température maximum de 30% tstie*ii ohms.

L'indaetanee apparente des trois conducteurs x\ y', z' {fig, 269, 6), calculée comme dans l'exemple précédent, a les valeurs respectives 9>,.&; 10,18 et 11, 08, en unités absolnes par centimètre de longueur. Poor les trois anlres eoii<fucfeifrs x\ y\ z\ les inductances sont respectivement idsentiqnes.

En praftant 10,4 comme valear moyenne, la réactance apparente d*wa cofidncteor de la ligne est

ojL,j = 2;: . 40 . — ^ — = 16 oiims

en nombre rond.

L'augle 3 dans le cas actuel n'est pas nul, mats on peot le négliger, car il est très petit.

Quant à Timpédance dont la valeur doit être suthslitoée à un

LIGNES DE TRANSMISSIOfC, SYSTÈMES DE DISTRIBUTION 583

transformateur, on a comme résistance ohmiqae (Voir § 142)

4 4- m* 0,03 = 4 + (100 . 0,03) = 7 ohms, ei la valeur approximative de la réactancCt à pleine charge, est

On a donc, en résumé :

nésistance correspondant au transformateur j

au départ 7 ohms f

— d'un fil de ligne 21 — > il«=:35 ohms.

— correspondant au transformateur l

à Tarrivée * 7 — /

néacLance correspondant au transformateur 1

au départ 8 ohms I

— apparente moyenne d un fil de [ ^^^ ^ 3^ ^^^^^

ligue 16 —

— correspondant au transformateur

à l'arrivée 8 —

Dans ces conditions, à pleine charge, chaque conducteur transportant 500 kilowatts mesurés à l'arrivée, l'intensité en ligne sera donnée par

et, puisque cos ^ = 0,8, on a

I z=: 5i ampères.

Il s'ensuit que la tension au départ devra avoir pour valeur, facteur de réduction laissé de côté [formule (69)],

(Uf,) = H 600 + j 54 . 0,8 (35 + j32) } — y54 . 0,6 (35 + :/32) (U„) = 11 600 4- 43,2 (35 + j32) -"i32,4 (3j +;32) (r^)= 14288 +i250

et, en valeur absolue,

V,, = y/ j (14288)2 + (250)2 j = 14 300 volts. Le décalage de phase entre le vecteur de Up et celui de Ua est

En réalité, il faudra obtenir aux barres du tableau de dis-

14 300 r tributîon une tension de .' v3 = 2 470 volts.

Pour calculer rapidement les valeurs respectives à donner à la tension pour différentes charges et pour d'autres décalages de phase, il suffit d*avoir recours à la construction graphique indiquée précédemment pour l'exemple 2*.

5° Dans un réseau de distribution à courant alternatif simple sous 120 volts de tension efficace sont installées des lampes à incandescence, des lampes à arc, ainsi que deux moteurs asynchrones et un moteur synchrone. Le réseau est alimenté par un transformateur de 100 kilowatts de puissance, ayant un rapport de transformation m = 30 ; ce dernier est alimenté à son tour par une ligne ayant une résistance de 12 ohms et une réactance de 15 ohms, à la fréquence normale de 42 périodes par seconde.

On veut calculer la valeur de la tension efficace qu'il faudra appliquer à la station génératrice, lorsque la charge sur le réseau de distribution exige 865 ampères de courant énergétique et 80 ampères de courant magnétisant décalé en retard, charge distribuée de la manière suivante :

Lampes à incandescence 350 0 ampère.

Lampes à arc 75 +25 —

Un moteur synchrone surexcité 200 — 60 —

Moteur asynchrone n° 4 HO +85 —

Moteur asynchrone n® 2 50 +30 —

Totaux 815 + 80 ampères.

La puissance que doit fournir le transformateur dans ces conditions est, par conséquent,