II

teurs et le flux total compris dans le circuit formé par ces conducteurs est proportionnel à la surface que montre la figure 267. Ce flux a évidemment une valeur double de celle qu'indique la formule précédente, lorsque la seconde intégrale est comprise dans les limites r et /'. On a, par conséquent,

c'est-à-dire ou bien

4> = 4/f j|+log,/'j

Mais il n'est pas exact que le courant soit uniformément distribué, ni qu'il soit localisé dans une couche iniinimcat petite à la surface des conducteurs ; dans ce dernier cas, le flux compris dans le circuit serait seulement

^-^=1 m. 2 loge y

Pratiquement, on prend, comme valeur du flux embrassé par le circuit, la valeur moyenne qui est

|-; + 2 1og,';j.

Pour avoir le coefficient de self-induction, il suffit de prendre /= 1 dans la formule qui donne la valeur du flux; par suite, dans le cas d'une ligne à courant alternatif simple, on a

L, = 2/ 1 ^ + 2 Iogc|: I «" "*i»^^s C. G. S.

(6ÎJ

Pour exprimer cette grandeur en unités pratiques, c'est-àdire en lienrys, il suffit de multiplier L, par le facteur 10""^, à la condition que / (longueur d'un conducteur), /' et r soient exprimés en centimètres.

242, B) Ligne comportant plusieubs circuits a courant ALTERNATIF SIMPLE. — Si les mêmcs appuis portent les conducteurs de plusieurs circuits à courant alternatif simple, chacun d'eux, considéré séparément, présente un coefficient de self-induction dont la valeur se calcule à l'aide de la formule précédente; mais les courants qui parcourent les autres conducteurs exercent des actions d'induction mutuelle et développent des forces électromolrices d'induction dans le circuit considéré, précisément parce que ce circuit coupe une partie plus ou moins grande du flux produit par les autres. Ce cas n'a pas une grande importance au point de vue pratique, parce que ces phénomènes d'induction mutuelle n'ont une action quelque peu sensible que sur de longues lignes, cas dans lequel on utilise toujours le système triphasé.

Dans le cas où l'on, aurait à efl^ectuer un calcul de ce genre, on pourrait employer la méthode générale décrite dans V Appendice II placé à la fin de ce volume.

243. C) Ligne triphasée a un seul circuit. — Un circuit triphasé n'est pas un circuit fermé de la même manière qu'un circuit a courant alternatif simple, parce que chaque conducteur a comme retour les deux autres conducteurs du système, disposés généralement à des distances différentes et ne se trouvant pas ordinairement dans un même plan. Pour déterminer la valeur de l'inductance, il convient alors d'examiner sépa.

504 LA TECIINTQUK DES COl'IUNTS ALTERNATIFS

rénient chacun des conducteurs, de calculer la valeur moyenne de la force olectromotrice induite, dans le conducteur considéré, par les variations de flux dues au courant qui le parcourt et à celles produites par les courants circulant dans les autres conducteurs du système; de la valeur moyenne de la force électromotrice ainsi déterminée, on déduit ensuite les coefficients de self-induction et d'induction mutuelle. Le calcul algébrique est développé dans V Appendice II. On arrive ainsi à établir qu'en général, dans un système à courants variables dont la somme, k tout instant, est constamment nulle, le coefficient de self-induction d'un conducteur est donné, en unités C. G. 5., par la formule

I,= /(i-2loger).

en supposant que tous les conducteurs aient le même rayon r. Quant au coefficient d'induction mutuelle de Tun des autres n — 1 conducteurs par rapport au premier, il a pour valeur

L;„ = — 2/ log, /', (r»7y

r étant la distance, exprimée en centimètres, qui sépare le centre des deux conducteurs considérés.

En particulier, si on se trouve dans le cas de trois courants variables ayant une allure sinusoïdale, on démontre (Voir X Appendice II) que les etfets combinés de la self-induction et de l'induction mutuelle peuvent se réduire à un seul effet do self-induction, pourvu que Ton prenne un coefficient de selfinduction apparente donné par l'expression

i^sx ^^ \ ^'^ — 0 ( '"1-2 ' ^ff'i-i)} ( ' ) ~9~ (^'«l'ï — ■ï'/wi-a)

dans laquelle L, et L,n sont les valeurs indiquées précédemment, les chiffres placés au bas de L„, indiquant entre lesquels des trois conducteurs du système s'exercent les effets d'induction mutuelle.

La force électromolrice d'induction due à l'inductance est

LIGNES DE TRANSMISSION, SYSTKMKS DE DISTRIBUTION o65

généralement décalée en retard, par rapport au courant qui passe dans le conducteur considéré, non pas seulement de ^y

mais bien d'un angle ^ + S, la valeur de Tangle o étant donnée par

tangB = j

^jf — 4j [i^m]'i ~f" ^

«Il -s;

On voit que, si les trois conducteurs du système occupent les sommets d'un triangle équilatéral, L,»^,^ et A^j.g ont des valeurs égales, langle o est nul et le décalage en retard de la

force électromotrice due à l'inductance de la ligne est égal à 7^-

244, D) Ligne triphasé*: comportant plusiecîrs circcits. — Lorsque, pour chacun des trois conducteurs d'un système triphasé, on utilise deux ou plusieurs iils, le problème devient alors assez complexe ; mais la solution générale, déjà citée plusieurs fois, permet de calculer rapidement le coefficient de selfinduction apparente de lun quelconque des conducteurs ainsi que le retard correspondant cj. Les formules générales à appliquer dans ce cas sont les suivantes :

L;i ^ j A-i(B + C) j'+ jyiB-C) H

UingÔ, -

formules dans lesquelles, en désignant par j:'!/'z\ x"j/'z'\ x"ij"'z'\ etc., les conducteurs de chaque circuit triphasé, la lettre A représente le coefficient de self-induction du conducteur x' auquel on ajoute la somme des coefficients d'induction mutuelle qu'exercent sur lui les autres conducteurs x'\ x"\ etc. ; la lettre B est la somme des coefficients d'induction mutuelle qu'exercent sur le conducteur ./• les conducteurs y', y y"\ etc.,

et enfin la lettre C est la somme des coefficients d'induction mutuelle qu'exercent toujours sur le conducteur x les conducteurs z\ z\ z*\ etc.

En modifiant les indices, oB trouve les valeurs de A, B et C pour les autres conducteurs, parce que le calcul une fois effectué pour Fun des conducteurs, il faut Télendre à tous les autres ou tout au moins à ceux qui, par rapport aux n — 1 conducteurs, n'occupent pas la môme position. Le calcul est limité à un seul conducteur, lorsque les autres occupent les sommets d'un polygone régulier inscrit dans une circonférence, puisque, dans ces conditions, Tun quelconque des conducteurs occupe une position identique par rapport aux autres, pourvu toutefois que les courants se succèdent sur le pourtour du polygone dans Tordre suivant : xy'z ; x'ij'z" ; x"'y"'z'\ etc. On voit que, dans ce cas, B = C. L'inductance reste constante pour tous les conducteurs et a sa valeur minimum possible, parce que B =:==C, ce qui annule le second terme de l'expression qui donne la valeur de L^^ ; on a aussi tang o^ =^ 0. Dans ces conditions, le système de n conducteurs est équilibré si les charges sont également réparties sur les trois phases et les tensions à l'arrivée se maintiennent avec la même différence de phase qu'au dt'part.

Lorsque les conducteurs ne sont pas disposés aux sommets d'un polygone régulier, l'inductance et la force électromotrico qui en résultent varient d'un fil à l'autre et produisent un décalage c, qui, pratiquement, est toujours assez faible.

La chute de tension produite par l'inductance est alors différente dans les trois phases ; mais cette différence ne dépasse jamais pratiquement 5 "/q, mt^me si les coefficients de selfinduction apparente diffèrent entre eux de 30 ^/o, parce que les vecteurs des forces électromotrices de self-induction sont décalés

en retard de ^ + s, par rapport aux vecteurs des courants.

245. Position à donner aux conducteurs d'une ligne multiple. — Lorsqu'il s'agit de déterminer la position à don-

ner aux conducteurs, on doit se préoccuper principalement de ce fait que, si dans les conducteurs appartenant à la mi^me phase les forces électromotrices induites ont des valeurs différentes, il se produit des courants parasites qui peuvent faire baisser notablement le rendement de la ligne, la chute de tension produite par Tinductance ne devant être considérée qu'en second lieu. En plaçant les conducteurs aux sommets d'un polygone régulier, indépendamment de rinductance minimum (étant supposé x'

qu'on a comparé la valeur de Tinduc- y'^ #^

tance avec celle que Ton obtiendrait avec (^) i

les autres dispositions possibles), on ob- r^. ,,^y

tient d'avoir une inductance égale pour ^•

tous les conducteurs et, par suite, aussi ^T^ .

pour tous ceux d'une même phase. On ob- i ,- .^

tient toujours l'inductance égale pour les ; Wl^-

conducteurs d'une même phase lorsqu'il yéi;' \

est possible de disposer les fils de la ligne ^^

de manière que, par rapport aux conduc- -^'f^..^

teurs d'une phase, ceux des autres phases •ifc'l^'^'

se trouvent dans des positions identiques. T * éir

Pour faire mieux comprendre les consi- ri^ ;

dérations qui précèdent, il suffit de prendre ' *^"

un exemple tel que celui d'une liffne triphasée double constituée par 6 conduc- . ^--^— -ij^.-^ teurs de 8 mm de diamètre, distants l'un \ ' (^ \ ' de l'autre de 60cm. On peut examiner les ^' 2:'

quatre dispositions [a), (A), [c) et [d) que ^^^- '^^^•

montre la figure 268.

Avec la disposition (a), l'inductance est la môme pour tous les conducteurs et égale à

L,j zzz 10,08,

exprimée en unités absolues par centimètre de longueur.

L'inductance reste également la môme pour tous les conducteurs si on les dispose de la manière suivante sur les sommets

;i68 LA TECHNIQUE DES GOURANTS ALTERNATIFS

de rhexagone : xz'y'x"z'y'\ c'est-à-dire de manière que les champs tournants produits par les deux systèmes triphasés soient inversés. Dans ce cas, la valeur de l'inductance apparente unitaire et constante est L^^ = 10,21.

Avec la disposition (A), Tindiictance n'a pas la même valeur pour les trois conducteurs d'un même système triphasé et l'on a :

L,,^. = 9,9, Lsxy = 10,18, L,.p. = 11,08,

la valeur moyenne étant 10,38. Les valeurs de l'inductance dans les conducteurs x'^jj", z" du second système triphasé sont respectivement égales à celles des conducteurs j::', y', 2' du premier système ; on empêche ainsi la production de courants parasites dans les conducteurs d'une même phase tels que

La disposition [c) est celle qui donne lieu à la valeur la plus élevée de l'inductance moyenne. On trouve

L,iv = 12,78, Ls^y — 11,09, Lsx-j = H,92

avec 11,93 comme valeur moyenne. Cette disposition ne serait pas avantageuse à adopter à cause de cette valeur moyenne élevée, à moins qu'il n'y ail intérêt à placer les trois conducteurs d'un système triphasé sur un même côté de l'appui. Toutefois il serait alors possible de prendre la disposition (</), qui présente une inductance moins élevée.

La disposition- (c), qui n'est pas à conseiller lorsqu'il y a 6 conducteurs, devient la seule possible lorsqu'un même appui doit recevoir 9, 12 ou 15 conducteurs, parce que, dans ce cas, les courants parasites développés par les différentes forces électromotrices d'induction dans les conducteurs d'une même phase sont réduits à leurs valeurs minima, ces conducteurs se trouvant rapprochés les uns des autres (Voir t. I, fig, 247, p. 422).

Avec la disposition (rf), les inductances ont pour valeur

L,,,. ~ 8,57, L,,j. = 1 J,o7, L,,,. = 10,60, dont la valeur moyenne est 10,31. Cette disposition, au point

de vue de la valeur de Tinductance, équivaut à la disposition (A), mais les différences entre les valeurs respeclives sont plus grandes. Avec cette disposition [ci), de môme qu'avec celles {a) et (6), on obtient ce résultat que les inductances sont égales pour les conducteurs d'une même phase.

246. Suppression de l'induction mutuelle entre les divers circuits. — Pour supprimer les phénomènes d'induction mutuelle entre divers circuits, afin que chaque circuit î\ courant alternatif simple ou triphasé se comporte, au point de vue de l'inductance, comme s'il était seul, il faut diviser la ligne en sections et changer la position des conducteurs dans chacune d'elles. Ce dispositif a été longuement décrit dans le tome I, pages 423 et 424, et il n'y a pas à revenir ici sur ce sujet, vu le peu d'intérêt pratique que présente ce mode d'installation. On fera seulement remarquer qu'il permet d'annuler les courants parasites dont il à été précédemment question.

247. Chute de tension dans une ligne aérienne de transmission d'énergie. — Le calcul de la chute de tension due aux effets combinés de la résistance et de l'inductance, en négligeant pour le moment l'action de la capacitance de la ligne, peut s'effectuer aussi bien par la méthode graphique que par la méthode analytique, le choix de la méthode dépendant du cas que l'on a à traiter. On décrira les deux méthodes, en commençant par la méthode graphique qui permettra de mieux faire comprendre ensuite la méthode analytique.

Lorsqu'il s'agit d'un circuit à courant alternatif simple, on doit considérer la valeur de la tension à l'arrivée; on y ajoute géométriquement la chute de tension (en phase avec le courant)

due à la résistance complexe de la ligne et celle ( décalée d'un

angle ^ + ^1 P^r rapport au courant) produite par l'inductance de la canalisation entière ; on obtient ainsi la valeur à donner à la tension au départ. Si , au contraire, c'est la valeur de la

tension au départ qui est connue, on en retranche géométriquement les deux chutes de tension qui viennent d'être indiquées et Ton obtient ainsi la valeur de la tension disponible à rextrémité de la ligne.

Si la ligne est triphasée, on opère de la môme manière en considérant un circuit h courant alternatif simple imaginaire, constitué par un des fils de ligne et par un fil neutre hypothétique dont la réactance et la résistance auraient une valeur nulle. En d'autres termes, on considère la tension d'un montage en étoile au départ ou bien à l'arrivée, et respectivement on retranche ou Ton ajoute les chutes de tension dues, d'une part, à la résistance ohnlique du conducteur et, d'autre part, à sa réactance apparente 27:/X,,, le coefficient de self-induction apparente L«, ayant ét3 préalablement calculé par la méthode indiquée dans le paragraphe 244.

Dans les longues lignes de transport électrique d'énergie, lorsqu'on utilise de très hautes tensions, on dispose toujours au point d'arrivée de transformateurs qui réduisent la tension avant que le courant soit envoyé dans le réseau de distribution. 11 n'est pas rare, lorsque la tension dépasse 20000 volts, qu'au départ se trouvent aussi des transformateurs qui élèvent la tension du courant fourni par les génératrices à la valeur de la tension de la ligne. L'inQuence de ces transformateurs sur la valeur de la chute de tension dans la ligne ne peut pas être négligée.

On a vu au paragraphe 142 comment on pouvait substituera l'action du transformateur celle de simples impédances : l'une en dérivation sur la dilTérence de potentiel du primaire et destinée à tenir compte des pertes qui se produisent lorsque le transformateur fonctionne à vide ; Tautre, en série avec le circuit alimenté. Donc le circuit à courant alternatif simple qu'il faut considérer dans le cas d'une transmission triphasée doit être constitué comme l'indique la figure 269, lorsqu'il y a des transformateurs tant à l'arrivée qu'au départ. Les quantités re, r^, {f\-+-7\,?)i^), Çrfîii.j,) représentent les valeurs indiquées dans le paragraphe 1 i2.

Sauf pour les applications pratiques inhérentes à la détermination que Ton étudie actuellement, on peut négliger le fonctionnement à vide des alternateurs et l'on supprime ainsi les deux dérivations (/v, Xc) qui y correspondent ; l'on simplifie ainsi notablement les calculs. En opérant ainsi, on tient compte seulement des effets dus à la résistance des enroulements des transformateurs et à la dispersion magnétique, dont l'action sur la chute de tension n'est pas négligeable* Quant aux pertes à vide des transformateurs, on en tiendra compte dans le calcul des rendements.

RiLi

.Ri-o.uo.

Kio. 2G9.

Après les explications nécessaires qui précèdent, on peut maintenant examiner comment on doit procéder pour la détermination de la valeur de la chute de tension.

248. Méthode graphique. — Soit Ua {fig. 270) le vecteur de la tension étoilée que Ton veut obtenir à l'arrivée s'il s'agit d'un circuit triphasé ou bien le vecteur de la tension dans le cas d'un circuit à courant alternatif simple ; Ton suppose momentanément poui* simplifier qu'il n'y a pas de transformateurs. Soit 1 le vecteur de l'intensité du courant dans le circuit du récepteur auquel correspond la tension T,,, décalée d'un angle ©, par suite de la réactance du circuit d'utilisation.

En AB, en concordance de phase avec /, on porte un segment,

Fro. 270.

à l'échelle choisie pour les tensions, représentant la chute ohmique de tension f?,/ dans la ligne, /?, étant la résistance d'un seul conducteur si le circuit est triphasé ou bien celle de la ligne (aller et retour) si le circuit est à courant alternatif simple. Cela fait, on porte en BC un segment (oL,,i = 2i://>,,/ dans une direction perpendiculaire au vecteur de Tintensité, en prenant pour L^^ (qui doit être exprimé en henrys) une valeur convenablç, comme on Ta déjà dit, suivant que le circuit est triphasé ou à courant alternatif simple. Dans le cas d'un circuit triphasé et si l'inductance apparente de chacun des conducteurs n'est pas égale pour tous, on fait tourner le vecteur BC de l'angle l correspondant en le portant en BCj. Dans ces conditions, le vecteur OC, = Up donne la valeur en grandeur et en phase de la tension qu'il faut établir au départ pour obtenir à l'arrivée la tension Ua^ lorsque la charge est telle qu'elle nécessite l'intensité / avec un facteur de puissance égal à cos 9.

Si la ligne comporte un transformateur à l'arrivée, ou bien un à l'arrivée et un au départ, les résistances et les réactances correspondant aux impédances que l'on substitue aux transformateurs doivent être ajoutées à la résistance et à la réactancc apparente de la ligne. Il faut seulement remarquer que la force clcctromolrice réactive, due à la réactance des transformateurs, est en retard de ^ par rapport au vecteur de Fintensité, tandis que celle qui est produite par la réactance de la ligne est en retard de ^ H- 0 lorsqu'on est en présence d'un circuit

triphasé présentant des inductances apparentes différentes pour chacun des conducteurs.

249. Méthode analytique. — Pour résoudre analytiquement le même problème, on décompose le courant en ses deux composantes énergétique et magnétisante / cos ^ et / sin ç et, pour chacune d'elles, on détermine la chute de tension due à Timpédance It = y^i R] + hrL] j, Rt étant la somme de toutes les