Condition de résonance. — La formule (36) donnant
mpédance totale dun circuit:
montre comment la capacitance tend h annuler les effets de Tinductance, ainsi qu'on Ta déjà exposé dans le tome 1, § 45. Les deux effets tendent à se neutraliser et cette neutralisation est complète lorsque
c'est-à-dire lorsque se vérilie la condition dite condition de résonance :
Il faut remarquer que
il y a donc résonance lorsque
T — 2tz\IlC. (37)
Dans ce cas, Timpédance se réduit à la seule résistance obmique du circuit, Tintensité du courant reste en concordance de phase avec la force électromotrice agissante dont Tefficacité n'est pas modifiée.
La conception de la résonance est rendue évidente par ce fait que le second membre de l'égalité (37), 2r. >JLC^ est laj[>rfriode propre d'oscillation du circuit (Voir la note à la fin de ce chapitre).
Les tensions élevées que Ton constate dans ces conditions aux extrémités de certaines parties du circuit s'expliquent^ au point de vue physique, par ce fait que la force électromotrice agissante ne fait que provoquer les oscillations propres du circuit. C'est ainsi qu'un pendule qui reçoit à intervalles réguliers une légère impulsion et dont les intervalles se suivent avec une périodicité qui est précisément celle qui correspond à ses propres oscillations, voit son mouvement s'amplifier de plus
en plus. C'est précisément par la superposition rythmique d'impulsions, ayant même période que celle du système que Ton veut faire vibrer ou osciller, que s expliquent tous les phénomènes de résonance.
Dans le cas déjà examiné, si on suppose que C = 50 microfarads, de manière que
foL = 62,8 : *
rintensité du courant devient alors
le = ~- =1 100 ampères, o
La tension efficace aux bornes de la bobine inductive ou bien aux bornes du condensateur est alors
62,8 . 100 = 6 280 volts,
valeur qui est 12 fois plus élevée que la tension normale, qui est de 500 volts.
Il faut, par suite, prendre de très grandes précautions dans la manœuvre des appareils montés de cette manière lorsque les effets de résonance peuvent se produire, tant au point de vue de la sécurité des personnes que pour éviter la détérioration des appareils.
La surélévation de tension est due à ce fait qu'en éliminant la réactance, le courant prend instantanément une intensité très grande. Pour atténuer cet effet, s'il n'est pas possible de modifier la réactance, il suffit d'intercaler dans le circuit de grandes résistances ohmiques. Mais, si l'élévation de tension ne cause aucun danger, on peut alors disposer le circuit pour obtenir la* condition de résonance afin d'augmenter l'intensité du courant, étant admis que Ton n'a recours à cet expédient que tout autant que la force électromotrice ou la tension agissante ne permet pas d'obtenir le résultat voulu.
Les phénomènes qui font que des câbles sont détériorés, phénomènes dont il a été déjà question dans le § 45 du tome I et
dont on aura encore à s'occuper à propos des conducteurs pour courant alternatif (chap. xix), sont précisément causés par des effets de résonance qui se produisent dans certains cas particuliers.
69. Circuit comprenant une bobine de self-induction et une capacité en dérivation. — Dans ce cas, ce ne sont pas les diverses forces électromotrices que Ton doit ajouter géométriquement pour obtenir la valeur de la force électromotrice nécessaire pour produire un courant d'intensité déterminée, mais bien les diverses intensités de courant afin de connaître la valeur totale de l'intensité dans le circuit.
Si U est la différence de potentiel existant entre les points a, b {fig. 74), la valeur maximum de l'intensité dans la bobine de self-induction est'
Ua
tang?jf = ---, r
tandis que, dans le condensateur, l'intensité est
Ic^=-^=^'^CVo.
9c = -ry
o indiquant toujours un décalage en retard.
L'intensité totale du courant {fif/. 75) est donnée par la somme géométrique des deux intensités 1,^ et Ic^.
Le problème se résout facilement en calculant Vadmiltance totale du groupe. On a
et
^'-^--=i-tc
1. Dans les formules de ce paragraphe, les quantités affectées de l'indice s se rapportent aux parties du circuit dans lesquelles il se produit des phénomènes de self-induction ; celles qui sont affectées de l'indice c se rapportent à celles dans lesquelles il y a un condensateur.
D'après ce qui a été dit § 34,
+ a>2La^''r« + coîL2
et (Ye) = ~;-p =
FiG. 75.
Par conséquent,
et l'intensité est
h, = L^oY.
La différence de phase entre Tintensité totale et la tension Uq
est
tangçrrr
r'^ 4- co-^L^
ou bien
tangç:
r2 + to^j^
oL — f.»C (r3 4- m2L2)
70. Si la capacité était variable, le vecteur OC == Ic^ changerait d'amplitude; mais rien ne serait modifié en ce qui concerne la dilTérence de phase. L'intensité totale //^ atteindrait sa valeur minimum pour 9 = 0, parce que, dans ce cas, elle coïnciderait avec le vecteur Uq qui est perpendiculaire à AB
équivalent à/e^. Avec une capacité plus petite ou plus grande que celle qui correspond à ce cas particulier, Tintensité U^ est toujours plus grande; mais, dans le premier cas, Tintensité est décalée en retard par rapport à Uq et, dans le second cas, elle est décalée en avance.
On a déjà expliqué (§ 46, tome I) comment Ton doit interpréter physiquement ce fait que Tintensité totale du courant circulant dans la ligne peut être en concordance de phase avec la tension f/^. Avec Taide des vecteurs, Texplication de ce fait est rendue plus claire. En décomposant/« en deux composantes {fig. 76), Tune /« active et Taulre I^ magnétisante, si I^i
cette dernière est égale à /<., fio. 16.
il se produit dans le circuit
local constitué par la bobine de self-induction et le condensateur un courant local qui ne se propage pas dans les autres parties du circuit.
La capacité C qui convient dans ce cas, pour un circuit inductif déterminé, s'obtient immédiatement par l'expression (39) dans laquelle on fait 9 = 0:
d'où Ton tire
En conséquence de ce qui précède, si Ton place en dérivation aux bornes d'un appareil présentant de la self-induction un condensateur approprié, Tintensité du courant dans la ligne peut être très inférieure à celle du courant qui circule dans cet appareil ou dans le condensateur. 11 suffit d'intercaler deux ampèremètres, Tun dans le fil de ligne, l'autre entre les points a et A [fig^ 74), pour mettre le fait en évidence.
Ce cas est analogue à celui de la surélévation de tension dont il a été question dans le § 68 à propos de la résonance (Voir également, tome 1, § 45 et 4fi).
L'augmentation de Tintensité du courant dans un circuit comprenant une self-induction et une capacité en dérivation peut être mise en évidence h l'aide du dispositif mécanique suivant.
Un axe rigide porte à Tune de ses extrémités un poids et à l'autre un ressort en spirale dont la partie inférieure est fixe. En appliquant une corde sur le milieu de Taxe et en faisant agir sur cette corde une force alternative, on constate que les déplacements de l'extrémité de Taxe sont grandement amplifiés comparativement aux déplacements que subit le point d'application de la force alternative sur la corde.
71. Exemple numérique. — Aux extrémités d'une ligne de transmission à courant alternatif simple sous la tension de 1 000 volts efficaces, est intercalé un moteur qui consomme 100 ampères en fournissant une puissance déterminée ; un wattmètre intercalé dans le circuit indique que la puissance vraie absorbée n'est que de 86 kilowatts. La fréquence étant de 50 périodes par seconde, trouver la capacité du condensateur qui, monté en dérivation, réduit Ue^iooo la puissance apparente à la valeur de
la puissance réelle.
Ce cas est assez complexe, parce que jusqu'à présent on n'a pas examiné le cas d'un courant alternatif qui, indépendamment de réchauffement des conducteurs et de la production d'un champ alternatif, fournit encore un
travail extérieur. Mais les considéra-
Pj^ .^ tions qui vont être développées per-
mettront de voir immédiatement de quelle manière ce cas particulier doit ôtre traité.
Si la puissance réelle est de 86 kilowatts, tandis que la puis-
sance apparente est de 100 kilovolts-ampères, Tintensité est décalée en retard sur la tension d'un angle 9 dont la valeur est
cos? = -^=:0,86, ?z=:30«40'.
L'intensité du courant qui traverse le moteur a une composante énergétique
/„ ~ 100 . 0,86 = 86 ampères
et une composante magnétisante
I,j, = 100 sinç z= 100 . 0,51 =: oi ampères.
Le courant énergétique la sert h compenser les pertes produites par réchauffement des enroulements, par les frottements, par la production de courants de Foucault et par hystérésis (il sera traité de ces dernières pertes dans le chapitre suivant) et enfin à produire le travail extérieur.
La composante magnétisante I^ sert à maintenir le champ magnétique alternatif et c'est celle que le condensateur doit alternativement absorber et restituer. Par conséquent, cette composante doit avoir pour valeur
On a déjà donné l'expression
comme représentant la valeur maximum; mais cette expression est également valable pour représenter la valeur efficace. En substituant, on a, par conséquent,
et, puisque o) = 314, on a
c'est-à-dire que, pour obtenir le résultat cherché, il faut un condensateur ayant une capacité de 165 microfarads.
130 LA techmquf: des courants alternatifs
72. Effet produit par les harmoniques dans un circuit comprenant un condensateur. — Jusqu'à présent on a toujours supposé que le condensateur était placé en tension ou en dérivation sur un circuit parcouru par un courant alternatif parfaitement sinusoïdal. Lorsqu'il n'en est pas ainsi, il faut décomposer la vraie courbe en ses harmoniques composants, examiner le phénomène dd h chacun de ces harmoniques et effectuer la somme géométrique des divers résultats obtenus.
On a déjà vu que Tinductance a pour effet d'atténuer l'amplitude des harmoniques des ondes du courant et cela parce que
Plus grande est la valeur que prend w, plus faible devient la valeur de /.
Dans le cas où il y a un condensateur on a le contraire:
et on voit que l'effet produit doit être opposé au premier, puisque / prend une valeur d'autant plus grande que w a lui- .même une valeur plus élevée. Au lieu d'atténuer l'amplitude des harmoniques supérieurs comme le fait l'inductance, la capacitance, au contraire, l'augmente en produisant de véritables distorsions.
En appliquant ce qui précède à l'exemple donné par M. Hay *, dans lequel une différence de potentiel donnée de [fig. 78)
w r=z 2 000 sin f.»f — 600 si n 3fo^
est appliquée à un condensateur de 15,9 microfarads de capacité, la fréquence / étant de 100 périodes par seconde, on a
f.) = tr.f = 200n, 3f> = ôOOt:.
