Impédance réelle présentée par un condensateur

— On a considéré jusqu'ici le condensateur comme parfait et pouvant restituer lors de la décharge toute l'énergie accumulée pendant la charge. Mais, comme on l'a déjà fait remarquer (§ 47, tome I), le condensateur absorbe une certaine quantité d'énergie u) en s'échanffant, par suite d'un phénomène auquel M. Steinmetz a donné le nom A' hystérésis diélectrique. Cette quantité d'énergie est proportionnelle au carré de l'intensité du courant qui le traverse, mais le coefficient de proportionnalité a est difficile à déterminer.

Quoi qu'il en soit, le phénomène se présente comme si le condensateur avait une sorte de résistance telle que son impédance doive exactement être exprimée par

{Zc

Tintensitc étant ainsi décalée en avance par rapport à la tension d'une quantité un peu inférieure h ^- Évidemment, l'énergie

dissipée est égale à laU {fig. 79) pendant que l'on a toujours

FiG. 79.

74. Exemples numériques. — 1^ Entre les points A et B {fig. 80), on maintient une tension sinusoïdale

u =: Uq sin dit et Ton intercale un condensateur de capacité C et une bobine de self-induction

On (Z^) B

Fio. 80.

dont le coefficient

de self-induction /-

est L et dont la résistance ohmique est négligeable. Chercher la condition pour laquelle l'intensité

du courant dans la résistance non inductive R (constituée par exemple par des lampes à incandescence) et mise en dérivation aux bornes de la bobine de self-induction, est indépendante de la résistance môme R (distribution à intensité constante).

Il ne faut pas oublier que, sous réserve de la composition géométrique, les théorèmes de Kirchhoff sont applicables également aux courants alternatifs en substituant aux résistances les impédances particulières.

Dans ces conditions, en supprimant les parenthèses pour plus de simplicité, on a

comme intensité totale.

EFFETS PRODUITS PAR UNE CAPACITÉ DANS UN CIRCUIT l:]3

Le courant se subdivise proportionnellement aux impédances respectives des deux branches Zo et Z3. En représentant par X et par y les intensités respectives dans chaque branche, on a

d'où

i "^ J "" J j "" Za + Z3 *' Z2 Z3 Z3 Z3

^^^ + zr+z"3

rz^

Z^Za + Z4Z3 + Z2Z3 Il y a lieu de remarquer maintenant que

Par conséquent, en substituant ces valeurs, on obtient

expression de la forme

.• __ i^ —jd{a — ib) '3— a+jb~~ aa + 62 bel -\' jad

La valeur absolue de l'intensité i^ est

. /rf2(a2.|.62)

(«2 + 6^)2 -v/^rqrfti et, par suite, en substituant :

Cette intensité dépend de la valeur de R ; mais, si on choisit

134 lA TECHMQL'K DES COURANTS ALTERNATIFS

la capacité ou la self-induction de manière à ce qu'il y ait résonance :

on obtient alors le résultat cherché, c'est-à-dire de rendre Tintensité du courant dans le circuit R absolument indépendante de la résistance et de maintenir, par conséquent, Tintensité constante, quelles que soient les variations de la résistance.

Ce fait a été signalé, pour la première fois, par M. Boucherot, qui le considère comme un procédé pratique (dans la limite d'emploi industriel des condensateurs) pour transformer une distribution à potentiel constant en une distribution à intensité constante. L'intensité constante a pour valeur

C'est ainsi que, si Ion désire utiliser ce procédé pour rendre possible l'emploi des nouvelles lampes Auer à filament d'osmium et qui exigent de 20 à 25 volts, en les montant en série sur un circuit ordinaire à 1(X) volts efficaces, si les lampes demandent i ampère, la capacité nécessaire pour une fréquence égale à 50 doit être

Cz= — =i =1 30 microfarads

toi/ 314 . 100

et le coefficient de sel(-induction correspondant,

^=-cb =0.00003'. (314)» =^'^^"^°^y'

2" Par suite de l'impédance du circuit, la tension aux bornes d'un groupe de lampes {fig. 81) s'est abaissée, pour une certaine charge (10 ampères), de 100 volts à 96 volls. Sachant que la portion de circuit- qui se trouve en avant des lampes a comme résistance r = 0,2 ohm, comme coefficient de selfinduction L = 0,01 henry et que la fréquence /* == 50, calcu-

1er la capacité du condensateur qu'il convient d'intercaler en

Fio. 81.

série pour élever de nouveau la tension à 100 volts aux bornes du groupe de lampes.

Soient {fig. 82)

OA=96 AB=z ri =2 BD = (1)12 = 31.

FiG. 82.

OD = E, c'est-à-dire la force électromotrice développée par ralternateur.

En portant BC = 4 à l'extrémité de OA, ce qui équivaut à rendre OA = 100, on élève par le point C une perpendiculaire jusqu'à la rencontre de F, circonférence décrite avec un rayon égal à jE et avec le point 0 comme centre.

CF donne la valeur de la force électromotrice supplémentaire qui se produit dans le circuit après l'insertion du condensateur, en négligeant l'augmentation que subit AB par suite de l'augmentation de l'intensité.

La force électromotrice est alors donnée par

E = v^(96 + 2)» + (31,4)« = \/lO 590 = 403 volts.

136 lA TECHXIQUK DES COURANTS ALTERNATIFS

Si, SOUS la tension de 96 volts, les lampes consomment 10 ampères, sous 100 volts elles doivent absorber, avec une assez grande approximation, 10,42 ampères et, par conséquent, rimpédance totale du circuit est :

: 9,88 ohms.

La résistance du groupe de lampes étant

Texpression symbolique de (Z) est alors

et en valeur absolue

expression de laquelle on déduit

C ~ 0,001682 farad.

Pour obtenir le modeste résultat d accroître d'environ 4 ^/q la tension aux bornes d'un groupe de lampes absorbant environ 1 kilowatt et cela sans modifier la force électromotrice ni la fréquence, il faudrait utiliser un condensateur d'une capacité de 1 682 microfarads qui, s'il était isolé avec du papier paraffiné, aurait, au minimum, un volume de 1 mètre cube.

3° Trouver la variation de l'intensité totale It et la phase ç par rapport à la tension U = 100 volts aux bornes d'un alter-

nateur, lorsque la capacité C montée en dérivation sur une bobine de self-induclion varie de manière à avoir successivement pour valeur /g = 1, 2, 3, 4, ... ampères, étant donné que

r rzz 6 ohms,

L ==0,0127 henry,

FiG. 84.

La solution de ce problème est donnée par les deux figures 83 et 84.