X = VA» + B

ou bien

f-^ \/{t "oIOi -'«•))' + (i "■»<)' »»(-' - » + «)

Donc, si on pose

langO| =

Q2 —ga

; lang 62 = — r ; tang 63 = ^

^Q2 irQs

on a, comme expressions des tensions aux bornes du récep-

SYSTÈMKS I)K COURANTS ALTEUNATIFS ET MESURES S'Y RAPPORTANT 177

tour, lorsque la génératrice est montée en triangle {fig. 112):

|'"=i;^.\/(T'ft)'K5«'--")'"°'-"-'+''' ''4'=.i^y(f!!^aM''K"'-?-'+'")

'/aOa + giîi

91. Ces formules sont obtenues en partant de l'hypothèse que la force électromotrice de la génératrice reste constante; mais, en pratique, c'est la différence de potentiel aux bornes qui se maintient constante lorsqu'on fait varier convenablement Texcitation. Dans ce cas, les formules sont encore applicables et il suffit de rendre 9 = 0 et de prendre pour L\ la valeur maximum de la différence de potentiel existante.

Dans ces conditions, les valeurs efficaces des tensions w,, iio, î/3 sont :

ce sont ces formules qui sont utilisées dans la pratique et que Ton peut également employer dans le cas d'iyie génératrice

Fio. 113.

FiG. Hi.

montée en étoile, lorsque l\^ représente Tamplitude des tensions composées aux bornes [fig, 113 ot 11 i).

Si les trois branches, non inductives, sont également char- II. 12

gées, alors r, ^ r, = r3 = r et, par suite,

Uefr-x = Wc/r.i = "«-/T.

v/2 3fl + r

92. Exemple nomériqle. — On a au départ une différence de potentiel de 3000 volts eflicaces et une charge complète et égale sur les trois branches ayant r^ = n -= t^=' îi55 ohms : /?^ 15 ohms.

Dans ce cas, on a

Utff, t = Ucff. 2 = Ucff. :j = 2 700 volts.

Si Ton suppose que Tune des trois branches soit supprimée, on a alors

r| = rj :^ r = 255 ohms, rj i= oa ,

En effectuant les opérations, on trouve

g, T=zq^ = 1,17, 93 = 1

En substituant ces valeurs dans Téquation (11) et en notant que J/q =: 3 000 \^, on trouve

w^^. 1 = Uefj. I — 2 700 volts, UefT. 3 = 2 781 volts.

Donc, aux extrémités du troisième circuit d'utilisation, on aura une différence de potentiel supérieure de 3"/o à celle des deux autres branches.

Si ensuite on supprime un autre circuit (c'est le cas limite et le plus défavorable), on a alors

r< = 255 ohms, rj = 1*3 = oo et on trouve

et, par conséquent,

M'/T' = 2 695 volts, M'/f « r= 2 90i volts.

Dans ces conditions, les différences de tension atteignent 7,62 0/,.

93. Si les circuits de la génératrice étaient montés en étoile au lieu d'être montés en triangle, les formules [10], établie» en admettant que la force électromotrice est constante, seraient différentes parce que le vecteur U^^, qui représente la différence entre les vec- ^

leurs f Q, et Uç^, tension aux bornes de la génératrice, serait décalé de a par rapport à E^ au lieu d'être décalé de 9 [figAib). Mais puisque, dans ce cas, au point de vue pratique, ce n'est pas la force électromolrice qui est maintenue constante, mais bien la tension, les formules [11] sont applicables, comme on fio. lis. Ta déjà fait remarquer. En effet, les

deux schémas (/f^. 113 et 114) ont été tracés pour qu'ils se rapportent à ces formules [H].

Donc, dans les deux cas, les plus fortes variations de tension sont de 7,6 ^/q; mais, en réalité, dans la pratique, elles ne dépassent jamais 4 à 5 <^/o, parce que la dilTérence d'équilibre des charges sur les trois branches n'est jamais supérieure à 50 ^/o, si la distribution a été soigneusement étudiée.

La régulation obtenue au moyen de l'introduction d'une bobine de réaclance dans les conducteurs de ligne n'est pas applicable, parce que sa présence modifierait aussi les tensions et les phases respectives au départ de la ligne.

On arriverait beaucoup mieux au but cherché en modifiant la résistance ohmique R des conducteurs de la ligne; mais cela entraînerait une dépense supplémentaire d'énergie. Dans tous les cas, on ne peut, à l'aide d'instruments placés à la station génératrice, se rendre compte des variations de charge aux points d'utilisation ; il faut employer à cet effet des fils pilotes, dont l'installation nécessite une dépense notable.

Aucun de ces moyens de régulation n'est utilisé dans la pra-

tique, d'autant plus qu'ordinairement il y a des transformateurs dans le circuit; lorsque ces derniers sont triphasés avec noyaux magnétiques reliés entre eux, il se produit, comme on Ta dit dans le paragraphe 80 du tomel, des compensations qui font que les variations des tensions, produites par des charges inégalement réparties, sont pratiquement acceptables et ne dépassent pas 2 à 3 ^/q. Des compensations analogues tendent aussi à se produire dans Talternateur triphasé lui-même.

Le seul réglage à effectuer, dans ces conditions, consiste uniquement à faire varier en plus ou moins, à laide de l'excitation, la tension de Talternateur suivant que la charge augmente ou diminue.

94. Intençités et tensions dans un système triphasé à quatre conducteurs. — Le montage en étoile des récepteurs, qui, comme on Ta expliqué dans le dernier chapitre du tome I, permet de réaliser une économie notable de la quantité de cuivre nécessaire pour établir une distribution déterminée, exige l'emploi d un quatrième conducteur pour relier les deux

FiG. Ufi.

centres 0 et Oi [fig, H6). La détermination des valeurs des intensités et des tensions dans ce cas particulier, la différence de potentiel U au départ de la ligne étant connue, peut s'effectuer d'après la méthode développée précédemment dans les paragraphes 89 et suivants, en tenant compte toutefois que, dans ce cas, on a à chaque instant:

et que Tintcnsilé du courant î^, détermine dans le fil neutre une chute de tension Kq = f^ohi^)-

Mais il est utile d'étudier ce cas particulier d'une manière plus complète en admettant comme constante non la diiïé* rence de potentiel au départ, mais bien la force électromotrice induite par les variations de flux dans les enroulements du transformateur triphasé, destiné à alimenter le circuit. Dans le chapitre xvi, consacré aux transformateurs, on verra que, môme en admettant que le flux dans le primaire soit constant, la force éleclromotrice induite dans le secondaire ne reste pas constante, mais subit une réduction par suite des dispersions du flux. L'effet dû à cette dispersion du flux peut Hre ramené à celui produit par une force éleclromotrice

de self-induction EA (fig. 117), en retard de ^ sur

le vecteur de l'intensité et de grandeur proportionnelle à /; par conséquent, la tension aux pj^ jj^ bornes est réduite à OD, à cause de la chute de tension AD due à la résistance de l'enroulement.

Si on admet, pour simplifier, que le circuit en dehors du transformateur soit complètement dépourvu d'inductance (cas d'une distribution pour lampes à incandescence), les intensités restent en concordance de phase avec les tensions aux bornes du transformateur et le diagramme vectoriel se présente comme celui de la figure 118.

Afin de rendre le diagramme plus clair, on peut transporter les vecteurs des trois intensités Z^, /o, ^ à l'extrémité des vecteurs Zî,, £.,, E^, et le vecteur 7^, somme géométrique des trois vecteurs / pris en sens inverse (cela parce que, à chaque instant, les trois courants — ij, — io^ — h^ s'ajoutent), représente l'intensité dans le quatrième fil. Puisque ce quatrième fil produit une chute de tension Wq = 00|, les tensions aux

1. On peut consulter, à ce sujet, la monographie due à Tingénienr Lenner : Calcolo grafico di ttna dislribuzione Irifase a Stella^ publiée dans VEleltricista^ en 1900.

extrémités des circuits d'utilisation deviennent 0,6',, Oj^^, O^Ta, si le segment A lient compte de la chute de tension ohmique due à la résistance de lenroulement du transformateur et à la résistance du fil de ligne.

. La détermination des valeurs de ces tensions peut s'effectuer analytiquement; mais, comme il est nécessaire d'employer des formules plutôt compliquées, la solution numérique devient très laborieuse pour les cas pratiques. 11 est plus simple d'employer la méthode graphique en procédant de la manière suivante:

On fixe les intensités de courant correspondant à la répartition de la charge pour laquelle on veut effectuer le calcul. On détermine les résistances R des trois conducteurs principaux, ;• des enroulements du transformateur et enfin Rq du quatrième fil ou fil neutre. Connaissant la valeur j: de la réactance qui représente l'action de la dispersion, on procède d'abord à la détermination des points t/,, f/^» f^'s- Du point E, extrémité d'un vecteur de force électromotrice {fig, 117), on trace un arc de cercle de rayon xl et du point 0 on mène une

tangente. On mène la perpendiculaire EA et on porte en AD un 'segment (r -4- R) L Le point D de la figure 117 devient le point V du diagramme vectoriel de la figure 118. Les intensités sont en concordance de phase avec les vecteurs OU donnant les tensions k Tarrivéc si Aq = 0. En représentant ces intensités à leur échelle sur le diagramme et faisant leur somme que Ton prend en direction opposée, on obtient le vecteur des intensités des courants parcourant le fil neutre. Portant alors en 00,

4li

Fio. 118.

SYSTÈMES DE COURANTS ALTERiNATIFS ET MESURES S'Y RAPPORTANT 183

la chute de tension Wo== HqIq, on obtient le point 0, et immédiatement aussi les valeurs cherchées des tensions aux extrémités des circuits d'utilisation.

95, Exemple numérique. — Une application numérique va permettre de rendre Texplication plus claire.

On a, comme valeur de la force électromotrice induite dans chaque branche, E = 100 volts efficaces.

Soient :

R = 0,05, Ro = 0,i ohm.

Fio. 119.

Calculer la valeur des tensions à l'arrivée pour une charge ainsi répartie (fig. 119) :

i, = lOÛ, On a :

' xlt = 4

/g =: 20, /j = 60 ampères.

â:J,=^2,4?ohs

(r + ft) ij = 3,5 volts.

Par un tracé graphique, qu'il est facile d'établir d'après ce qui précède, on trouve pour les vecteurs OU les valeurs suirantes :

QUt = 94, OfJa — 98,75, OU^ = 95,5 voUs.

En portant le long de ces vecteurs les valeurs efticaces des trois intensités, leur somme /q est de 70 ampères efficaces. Par

i8i LA TEGHNIQUK DES COURANTS ALTERNATIFS

conséquent, tiQ= RqIq = 7 volts. Porttint ce segment en 00,, le long de /q, il représente la somme des trois intensités prises avec leur signe ou en sens contraire, si la somme des vecteurs correspond aux trois intensités prises en sens inverse; on a ainsi le point Oj et, en mesurant les vecteurs, on trouve finalement

O^U^ — 88, OiUi — 105, OïL'a = 96,5 volts.

On obtient ainsi un écart maximum des tensions dans les diverses branches ne dépassant pas 16 ^/q. L'augmentation de tension dans le deuxième circuit est due à la différence de phase du vecteur 0(7, par rapport à OOj, qui représente la chute de tension dans le fil neutre.

Les données du problème qui vient d'être exposé ont été un peu exagérées afin de bien mettre en évidence les divers éléments qui concourent à produire l'écart des tensions h Tarrivée. Dans la pratique, on ne se trouve jamais en présence de différences de charges aussi considérables sur lestrois branches. Les résistances des conducteurs sont plus faibles et l'effet de la dispersion est beaucoup moindre, surtout, comme on le verra dans le chapiire xii, si le transformateur alimente seulement des lampes à incandescence.

96. Mesure de la puissance dans un système diphasé équilibré ou non. — Il convient de rappeler ici que, dans le cas de courants alternatifs, la mesure de la puissance ne peut se faire, en relevant séparément la tension efficace et Tintensité efficace et en effectuant ensuite le produit de ces deux quantités, qu'à la condition que la charge ne soit pas inductive (lampes il incandescence). Dans tous les autres cas,, remploi du wattmètre est indispensable.

La puissance dépensée dans chacun des circuits d'uu système diphasé se mesure en intercalant la bobine en gros fil du wattmètre dans Tun des conducteurs de ligne et en mettant en dérivation la bobine en fil fin entre ce conducteur et le conducteur du milieu {/ig. 120). Si les deux circuits

sont également chargés et présentent le même facteur de puissance, la puissance totale fournie ou absorbée est le double de celle qui a été mesurée sur un des circuits.

Lorsque les charges dans les deux circuits sont inégales et que Ton ne dispose pas d'un second wattmètre, il faut effectuer deux mesures successives en ayant soin de préparer les connexions de manière à perdre le pjo. 120.

moins de temps possible entre les deux

lectures, parce que, pendant cet intervalle, un des facteurs de la puissance est susceptible de varier.

97. Mesure de la puissance dans un système triphasé équilibré. — Lorsqu'un système triphasé est équilibré — et c'est le cas lorsqu'il alimente un moteur, — si les deux extrémités d'un des circuits sont accessibles, aussi bien lorsqu'il s'agit d'un montage en étoile que d'un montage en triangle, la puissance totale est le triple de celle que l'on obtient pour l'un des trois circuits. Si p est la valeur de la puissance dans un des circuits, on a

p — 3p — 2Vrff.Ie/r. COS9,

expression dans laquelle Ceff^Jeff-.soni les valeurs efficaces de la tension et de l'intensité pour le circuit considéré. En relevant ces valeurs, on obtient le facteur de puissance de chaque circuit par le rapport

COSÇ :

UrflJcff.

c'est-à-dire par le rapport de la puissance réelle à la puissance apparente. Lorsqu'on n'a pas à sa disposition de voltmètre ni d'ampèremètre convenables, ou bien lorsqu'on possède ces instruments, mais que Ton n'a pas de wattmètre étalonné, on pont néanmoins calculer le facteur de puissance. Il suffit pour

cela d'intercaler sur un des conducteurs principaux la bobine en gros fil du wattmètre et de relier sa bobine en fil fin, d'une part, à ce conducteur et, d'autre part, successivement avec le deuxième et le troisième conducteur [fig, 121). On obtient ainsi deux déviations 8 et S^ de Tindex de l'instrument; si k est la constante de cet instrument, les puissances, dans les deux cas, ont respectivement pour valeur A'B et A'5,.

En se reportant aux diagrammes donnés dans le parasfraphe 88 et relatifs aux intensités et aux tensions, on remarque que, pour le montage en étoile, on a,

A8 = u^J. cos {^ — 9 j A-8, = u^.J cos f ^ + ?) ; en remarquant que, pour un circuit équilibré,

"< a = wi 3 = ^'»

on a

En faisant la dilTérence et la somme de ces deux quantités, on obtient

d'où

cos (^ — ?) — <^<>s (^ + ?) 2 sin ^ sin <p ^^ cos (^ — T^) + cos (^ + ?) 2 cos ^ cos?

tang?— v3

Pour le montage en triangle, le résultat est identique, parce que Ton a

*8 = Ui.^î cos^^ + f\ k^i = i/,.3J cos (J — ?j.

Comme on la fait remarquer précédemment, il n'est pas nécessaire pour effectuer cette mesure que le wattmètre soit étalonné ; il suffit de relever les déviations. Connaissant tangente ©, on en déduit cos © que l'on prend comme facteur de puissance sous la réserve faite paragraphe 64.

Pour «léterminer la puissance lorsque le système polyphasé est monté en étoile et que le point neutre est inaccessible (cas d'une génératrice avec induit mobile), oi> peut créer un point neutre artificiel en procédant comme cela a été indiqué dans le tome I, paragraphe 59.

Il convient d'examiner maintenant la manière de procéder à la mesure de la puissance dans un système triphasé équilibré, lorsque le point neutre est inaccessible dans le cas d'un montage en étoile, ou bien lorsqu'un des côtés du triangle est inaccessible dans le cas d'un montage en triangle.

a) Montage en étoile, — Si le circuit ne présente pas d'inductance et, dans ce cas, il ne peut y avoir de moteurs alimentés, une seule lecture suffit en disposant la bobine en fil fin entre une des bornes et le point neutre.

La puissance totale est alors, / étant en concordance de phase avec ?/,

En utilisant un ampèremètre pour relever l'intensité i et un voltmètre pour connaître la tension composée f/, U étant

égal à u yS, on a

Si l'on emploie un wattmètre, comme 6' est décalé de ^ = 30"* par rapport à i, la puissance est donnée par l'expression

p= UlCO8 30°=::y n,

d'où

ef, par conséquent, la puissance totale est

expression qui s'applique au cas d'un montage en étoile avec charges équilibrées et non inductives. 11 s'ensuit que la puissauce totale est égale à 2 fois celle indiquée par le wattmètre, lorsque la bobine en fil fin est placée en dérivation Sur la tension composée. ^

Ily a lieu de remarquer que Ton ne commet pas d'erreur lorsque la bobine en fil fin, au lieu d'être mise en dérivation sur le conducteur dans lequel est intercalée la bobine en gros fil et sur le conducteur de gauche, est reliée au conducteur de droite, parce que les tensions sont égales en valeurs absolues et que, en ce qui concerne la phase, elles sont décalées respectivement de 30° et de 120* + SO** = 150" avec l'intensité i. Or

cos 30° = -^ et cos i :»0« = — ^^

nu

Dans ces conditions, les déviations de l'instrument sont identiques, seulement elles sont de signe contraire. Lorsque le circuit d'utilisation présente de l'inductance, et

c'est toujours le cas lorsqu'il y a des moteurs alimentés, une seule lecture n'est plus suffisante. On le comprend facilement en remarquant que l'intensité /j [fig, 122) est décalée par rapport à m^o d'un angle 5 diflérent de 30**, angle qui peut devenir nul ou même négatif.

\ 11 est alors indispensable d'ef-

ViM. fectuer deux lectures avec le

FiG. 122. même wattmètre en procédant

comme il va être indiqué.

l*our le démontrer, on écrit l'expression de la puissance ins-

tcintanée fournie ou absorbée par le système. Si on représente

par /,, /o, /a, f 'i, f/o, î/3, les valeurs de Fintensité et de la tension à Tiastanl considéré dans les trois branches du système, on a comme expression de la puissance instantanée

comme le système est triphasé,

d'où on tire

Par suite, en substituant, on a

pzn r, ((', — (.,)-f /^iTa — l'a);

Mais, comme Ton a admis un sens pour les directions des vecteurs, on voit que (T, — U.^) représente la différence //.^, dos tensions prise avec le signe contraire et que (Lo — r./} représente la différence de ces deux tensions en grandeur et en signe; on peut donc écrire

Mais on sait que

donc

p — r^Mai -r h^h 1 — h^hz — '3"2 3-

Il est à remarquer que le système est équilibré et que, par conséquent, la symétrie est complète; donc la valeur moyenne du produit d'une intensité par la tension composée contraire est constante pour une charge donnée, quelle que soit Tintensilé èonsidérée. Par conséquent la puissance moyenne développée ou absorbée par le système se réduit à

p = valeur moyenne /3II3.1 — valeur moyenne 1<M2 3, précisément parce que, comme on Ta déjà dit,

valeur moyenne /oi/a-i = valeur moyenne 131*2.3.

i90 LA TECHNIQUE DES COURANTS ALTERNATIFS

L'expression de la puissance moyenne peut également être écrite d'une autre manière :

Si alors on intercale la bobine en gros fil du wattmètre en /g et si celle en fil fin est mise en dérivation d'abord entre 3 et 1, puis entre 3 et 2 (/iff. 123)> on observe deux déviations qui correspondent précisément aux deux valeurs moyennes. En faisant convenablement la somme de ces deux valeurs, on obtient la puissance moyenne totale ; le qualiHca-

Fio. 123.

tif convenablement est mis avec intention, parce que, comme on va le voir, les deux lectures doivent être tantôt ajoutées, tantôt retranchées Tune de l'autre.

D'après le diagramme des tensions et des intensités, on voit que les deux puissances p| et p^ indiquées par le wattmètre représentent les produits suivants :

Pi=h^3i cos(30 — f),

Pi = /3W23 cos(120 + 30 — f ),

si / et w sont les valeurs efficaces et 9 le décalage entre u et /, ou, pour la seconde expression, en prenant en sens opposé le vecteur 1/2-31

P2 = — h^23 cos(30 + 9).

La puissance moyenne est donc

P=Pi —P2 = h^hi cos (30 — <p) + hu^z cos(30 + <p)

Si la déviation du wattmètre lors des denx lectures est toujours de même sens, la puissance moyenne est la somme des deux puissances observées. Si, au coutmire, au moment de la seconde lecture, Tindex du wattmètre tend à sortir de l'échelle au delà du zéro et que, pour faire la lecture, on soit obligé d'inverser les connexions, la puissance moyenne a alors pour valeur la différence des deux puissances observées.

La possibilité de constater une puissauce négative n'est nullement paradoxale si on réfléchit que cosinus (30 — 9) est toujours positif, parce que Tangle <p ne peut jamais dépasser 90°, tandis que cosinus (30 + ç) devient négatif dès que 9 est à peine plus grand que 60". Ce cas se présente fréquemment, particulièrement lorsque la composante magnétisante est prédominante.

Dans la pratique, on ne peut connaître le sens dans lequel alternent les trois courants et il peut arriver que Ton soit obligé d'inverser les connexions lors de la première lecture. Il suflit de se rappeler que, lorsque le ivattmètre est monté comme f indique le schéma {/ig. 123), les lectures doivent être additionnées lorsque les déviations sont de même sens et que l'on doit en faire la différence lorsqu'elles sont de sens contraire.

Il y a lieu de remarquer que, si ç =0, on tombe dans le cas précédent où P = 2p.

h) Montage en triangle, — Tout ce qui a été exposé précédera-

"JR^

Pio. 124.

ment au sujet du montage en étoile est applicable au montage en triangle à branches inaccessibles (^y. 124), parce que si, dans

192 I^.V TECHNIQUE DES COrRAMS ALTERNATIFS

le premier, on a des tensions composées, dans le second on a des inlensités composées. Dans ces conditions, si le système est parfaitement équilibré et la charge non indiictive (© = o),

et une seule lecture du wattmèlre suffit.

Si, au contraire, la charge est inductive, il est indispensable de faire deux lectures. En réalité la puissance instantanée est encore

et comme on a aussi

Mais

par conséquent D'autre part

p = flil'i -h Uih — W|/3 — "2*3

p — M, (/, - 4*3) .;-i/2(ij ig).

ih— *2) ~ — '1.

P--Uil2— M|.

Il en résulte que

P= — W|/| -- «l'3 + "2^2 + Ma-

Comme la valeur moyenne de tij^ est égale à la valeur moyenne de uj., pour des circuits équilibrés, on a, par suite,

/» = valeur moyenne (— ii^l-^^ -f valeur moyenne (w2'3)-

Il n'est point nécessaire de rappeler les considérations développées précédemment, et il suffit de dire que, si le wattmètre est monté comme l'indique la figure 124, lorsfjue T index dévie toujours dans le même sens hrs des deux lectures^ les déviations doivent être additionnées et^ dans le cas contraire^ soustraites fune à r autre.

98. Mesure de la puissance dans un système triphasé non équilibré. — Lorsqu*un système triphasé n'est pas équilibré, ce qui est le cas général, il est alors nécessaire de recourir à l'emploi de trois wattmètres, un par branche ; toutefois on peut effectuer la mesure avec deux de ces instruments convenablement disposés.

Si l'on n'a à sa disposition qu'un seul vvattmètre, on peut l'employer successivement pour effectuer la mesure sur chacun des trois circuits ; mais, dans ce cas, les connexions doivent être préparées d'avance afin, de pouvoir les établir très rapidement.

11 y a deux cas à considérer : celui du montage en étoile et celui du montage en triangle.

a) Montage en étoile. — Si le point neutre de l'étoile est accessible, on peut relever la puissance moyenne fournie ou absorbée par chacun des trois circuits et en faire ensuite la somme ; on obtient ainsi la puissance moyenne totale. Lorsqu'on ne peut atteindre le point neutre, on en crée un artificiel en suivant les indications données paragraphe 59 du tome I et en prenant les précautions voulues. Lorsque l'on fait usage d'un seul wattmètre, les connexions doivent être établies de manière à obtenir toujours une déviation de même sens, le décalage de l'intensité par rapport à la tension ne pouvant jamais dépasser dans ce cas 90*".

Fio. 125.

La méthode des deux wattmètres [fig, 125) est fondée sur la propérité que possède le système triphasé d'avoir toujours la somme des trois courants égale à zéro.