CHAPITRE IX
STSTËMES DE COUBANTS ALTEBNATIFS ET MESUBES ST BAPPOBTANT
87. Tensions et intensités dans un système diphasé à trois conducteurs. — Il y a lieu d examiner pourquoi les deux forces électromotrices que Ton suppose être exactement en quadrature dans un système diphasé à trois conducteurs ne produisent pas deux courants également en quadrature {fig. 100), étant admis que le système est parfaitement équilibré.
Ml,
Fio. 100.
Soient /^ + /, le vecteur de la somme des intensités dans le troisième fil [fig^ 101) décalé d un certain angle v par rapport au vecteur représentant la somme des deux forces électromotrices E^ et Jîo- Soient r la résistance du conducteur ab supposé non induclif, R la résistance et L le coefficient de self-induction des deux parties de circuit acdb et a€fb\ on
a à un moment quelconque de la période
Ci = Rit -r '•(/, -r h) + Lii Ci=Ri% + r(it -f *2) + i^''i,
i\ et i'o étant les variations par unité de temps des deux intensités à Tinstant considéré.
En faisant la somme de ces deux équations, après avoir effectué les réductions, on a
ou encore
e^-^c., = («, + I,) (fl + 2r) + L u*; + ii), équation de la forme
D'après ce que Ton a vu, le décalage de phase entre
est donné par l'expression
langY
Les tensions fl/, et /?/o sont, à cause de cela, décalées d'une façon différente de E^ et i?o comme on le voit sur le diagramme et il s'ensuit qu'elles ne sont pas en quadrature. Dans la pratique toutefois, la discordance n'est pas considérable, parce que, si rest petit, la chute de tension r (/, -+- I.y) qui en résulte est également faible.
Si cette chute de tension devient négligeable, il n'y a que la réactance qui influe sur le décalage ; les courants sont
tous deux décalés en retard de 9 = arc tang — et ils restent
encore en quadrature.
Il est superflu d'insister plus longuement sur ce système, qui, au point de vue pratique, n a plus que peu d'importance.
Ii68 LA TECHNIQUE DES COURANTS ALTERNATIFS
88. Tensions et intensités dans un système triphasé équilibré à trois conducteurs. — Dans le cas d'un système triphasé, si les trois circuits sont également chargés et qu'ils aient un facteur de puissance identique, par le seul fait de la symétrie, les intensités sont également décalées par rapport aux forces électromotrices et aux tensions appliquées, et pré-
aisément de ^ de période, soit de 120**.
Ainsi, si les circuits de la génératrice ainsi que ceux du récepteur sont montés en étoile {fig, 102), R étant la résistance d'un circuit entre 0 et 0^ et L le coefficient de self-induction, le vecteur RI^ {fig. 103) donne la valeur de la force électromotrice résultante, décalée par rapport à la force électromotrice
Ef^
principale de ?
arc tang-^* En
déduisant de RI^ la chute de potentiel due à la résistance de l'un des circuits du récepteur et de Tundes Fro. 103. conducteurs de ligne, on a la valeur
de la tension résultante appliquée aux extrémités de Tun des circuits du récepteur, en supposant que ce dernier ne présente pas de self-induction.
Les trois forces électromolrices fl/^, fl/2, fl/3 restent décalées entre elles de 120° et constituent aussi un système triphasé.
Uu
Fio. lOi.
Si maintenant on désigne par W|.2, î/2.3el 2^3.1 [fig. 104) les différences de potentiel au départ entre deux conducteurs de la ligne, on voit que ces différences de potentiel sont représentées par les segments tracés sur le diagramme et oblenus par la différence géométrique des vecteurs Tj, [/o» ^3 représentant les différences de potentiel existant entre le point neutre 0 et les bornes de la génératrice.
Ces grandeurs varient toujours sinusoïdale ment et on a, par suite du mode môme de construction,
le vecteur ?/i.2 est décalé de 30'* en relard par rapport au vecteur 6'| et de OO'* en avance par rapport au vecteur Uy
Si le récepteur ainsi que la ligne n'ont pas de réactance, l^s intensités /j, /g, /^ sont respectivement en concordance de phase avec les tensions f/j, U.,, U^\ dans le cas contraire, il y a décalage en retard, retard positif ou négatif suivant que c'est la réactance positive ou négative qui prédomine.
Si la génératrice a ses circuits montés en étoile et alimente un récepteur dont les circuits sont montés en triangle [fig. 105)
Fio. 10.^.
Fio. 106.
et supposés équilibrés, on a alors dans les circuits du récepteur des courants 1*1.2, «2.3» *3.t {fig- 106) et, en admettant que
les courbes de courant soient sinusoïdal-es, on a
avec un décalage de 30' en retard par rapport à une des composantes et de 120^ -+- 30° = 150° en retard ou do
en avance par rapport a l'autre composante.
Si le circuit n'a pas de réactance, les différences de potentiel H\o, U2,z^ t/3.j sont en concordance de phase avec les intensités Um, 2*2.3, i'U'
89. Tensions et intensités dans un système triphasé non équilibré à trois conducteurs. — Soit une transmission entre une génératrice ayant ses circuits montés en étoile ou en triangle et un récepteur monté en triangle, seule disposition permettant, à Taide de trois conducteurs, de faire varier la charge des trois branches dans de grandes limites.
Soient L\, Uo, U^, les différences de potentiel à un instant quelconque entre deux conducteurs au départ (^^. 107); i?, la
résistance commune des trois conducteurs de ligne; /j, Z^, 7^, rintensité des courants dans ces conducteurs ; r^, ?*2» ^si la résistance des trois circuits du récepteur que, pour simplifier, on suppose sans inductance; ij, io» *3^ ^^s intensités des courants qui les parcourent, et w,, î^^j ''3, les différences de potentiel à l'arrivée.
D'après la loi d'Ohm et la première loi de Kirchhoff, les trois
équations doivent à tout instant satisfaire à la relation
On a d'autre part [2] I «a = r2ii
et, puisque l'on doit avoir
Vi + ('2 r ^3 = ^»
on doit également avoir pour[l]
wj + «2 + "3 = ^• On a également
on a donc aussi
li-hh + h^ 0.
La somme des intensités dans les trois lignes reste constamment nulle, ce que Ion peut contrôler par la méthode gra- /y^
phique en traçant trois vecteurs *« ( '
i,.ù.h{fi9^iOS) h 120% d'ampli- \ \
tude différente, et en traçant les \ j
vecteurs des différences /,, /.>, Ij.
Les trois vecteurs î\, û, /^ ne forment pas un système triphasé dans le sens ordinaire de ce mot (somme constamment nulle), tandis que les trois vecteurs /,, /o, I^ le constituent {fig. 108), ce dont il pio. los.
est facile de se convaincre en les
projetant sur un axe quelconque et en faisant la somme de ces projections (valeurs instantanées).
On voit aussi que leurs phases ne sont plus à 120* {fig. 108) et que, par conséquent, il en est de môme pour les tensions
dont dépendent les intensités.
Au départ, les tensions ont en réalité un décalage différent de 120** à cause des diverses forces électromo-
!^Uo
trices de self-induction iùLIq qui
FiG. 109.
agissent sur chaque branche particulière. Dans la figure 109, î/q représente la tension simple aux bornes de la génératrice, p la résistance intérieure du circuit, et L l'inductance de ce circuit.
Des expressions (3) on déduit :
Ih — h = 2i< ~ î2 — 13 la — /a = 2i2 — t3 — U h— h = 2*3 — û — ij ;
par conséquent la formule [1] peut s'écrire de la manière suivante :
iu^ = U^''R (2i^ — io — h) = LU + R {h + t's - %)
[5] }u^=U2-R (2ta - (3 - h) = U2 + R (h + Û- ^h)
/ W3 — 1/3 - K (213 - U - «2) = l'3 + R iù + h - 213).
En retranchant la seconde expression de la première, on a
u^ - «a = 17, — U2+ R (t'a + h — ^U — h — û + '^h) "= ^\ — U^ + ^R (h — U) et on a aussi, par rapport à [2],
OU bien
De même, en remarquant que W3 = — (^^ + 1/2)» ^^ P^'** trouver les valeurs de 62 — f/3 également en fonction de w,
et de I/o ; l'opération effectuée, on a
* ^ r, * ' rafa
En posant
les équations deviennent
j U^ — l/j =z= ç,w^ — q^U2 \ U2 — 1^3 = q^^i + QiWa-
De la première de ces équations, on tire
et la seconde devient, après substitution,
et, par suite, on a finalement Si on pose
Q2= fï\ + QZf Q3 = ?4 + Çit
on obtient d'une manière analogue les équations de u^ et de ti^j et Ton peut, par suite, écrire
l * 9a93 + Qf9<
90. Ayant éliminé ainsi les valeurs de Tintensité dans les équations donnant la valeur des tensions Mj, ti^j 1/3 aux bornes du récepteur, valeurs qui restent par conséquent exprimées en
fonction des résistances et des différences de potentiel au départ, on doit examiner séparément les deux cas delà génératrice montée en triangle et de la génératrice montée en étoile. On peut admettre que les valeurs efficaces des trois forces
clectromotrices e^, e^, e^ {fig. 110) produites dans les trois circuits de la génératrice sont égales.
Mais les trois différences de potentiel L\, U2, i\ ne seront pas égales, ni également décalées de phase, même si les circuits ont des résistances identiques, parce que généralement les valeurs efficaces des intensités dans les trois conducteurs et, par suite, dans les trois circuits de la génératrice sont différentes.
Si, à un instant quelconque /, les tfois forces électromotrices ont pour valeur respective
Pio, HQ.
e^ = Eq siuojf
€2 — En sin (mI — ~j
€3 = Eo sin
les différences de potentiel qui sont en concordance de phase avec les intensités, en admettant que le circuit extérieur ne présente pas d'inductance, sont généralement exprimées par la relation
U =: L'y sin fot — ç\
dans laquelle t/^ et 9 prennent des valeurs différentes pour chacune des tensions, si L est le coeflicient de self-induction moyen d'un des circuits de la génératrice et p sa résistance i/if/. 111), valeurs qui sont
tangç ~
l\, ^ yjEl - (r.>L/o)2 - p/o ;
/q, valeur maximum, ayant une valeur différente pour chaque
circuit. Mais, si ion voulait tenir
compte de ces variations, le problème
deviendrait trop compliqué. Pour le
simplifier, on va admettre que les ^ jy^ '^
trois tensions sont pratiquement égales
et également décalées de phase. F*ar
suite, on peut les représenter de la manière suivante :
r,= rosin(«r|-ç)
l\ ~ V'^^ sin U^A — T "" ?)' Dans ces conditions,
r, - l\ =z To j sin M - ? - sin |^to^ — y - ç j j ;
en développant et réduisant convenablement, on obtient également
V^ — U2 = Vq V 3 cosliot — ^" — ?)•
Par un procédé analogue, on obtient immédiatement les valeurs de U.y — l':i et de T', — ('|, et Ton a, par suite :
I ^i — l^'i = t/o \ 3 00s Uu — ^ - ç j [9] { V.2 — U3 — Uo V 3 COS Uyt -- ç^
f 1^3 - U^ = Uo \ 3 COS Lt -j-X
En substituant ces valeurs à celles des équations H\\ on exprime Ij\, Lo, ^'3 en fonction do 6^^, et de 5, ainsi que des autres quantités y,, y,, y,^ Q,, Q.>, O.r
On a alors
9«Qi + Qi^h
I To V 3(m< — I — ?j q* — t^^o \ 3 cos;/.»r — çi?»
176 LA TECHNIQUE DES COURANTS AJ.TERNATIFS
qui donne, en développant,
Le binôme entre parenthèses peut être mis sous une autre forme. En réalité, on a généralement
A cos a + B sin a = X sin (a + 6) =: X sin a cos 0 + X cos a sin 8.
Pour que Tidentité subsiste, il faut que séparément
J A = X sin 6 ( B — X cosO.
En divisant la première de ces égalités par la seconde, on a
tangos-.
En élevant au carré les deux équations de condition et en faisant la somme, on a
Fio. 112.
On peut donc écrire
