CHAPITRE XI
DE LA FATIGUE DES ÉTOFFES
Considérations générales. — Tension de la sphèrer — Cas d’un cylindre : tension transversale, tension longitudinale. — Cas général d’une surface de révolution. — Applications à la sphère, au cylindre, au cône, aux surfaces paraboliques et ellipsoïdes.
— Valeur maximum des tensions dans les ballons sphériques.
— Tensions des chemises et housses de suspension. — Parallèle de contact. — Déformation de l’enveloppe sous la pression de la chemise et du filet.
Considérations générales. — Si nous voulons aborder maintenant les conditions qui régissent la constitution même des éléments d’un aérostat, il est naturel d’examiner en premier lieu le flotteur, le ballon proprement dit, sans lequel l’aérostat n’existerait pas.
Ce flotteur est, en définitive, un récipient à gaz, constitué par une enveloppe souple en étoffe , qui n’est tendue que parce qu’il se manifeste une pression apparente dirigée de l’inlérieur vers l’extérieur.
L’étoffe est ainsi soumise en chaque point à des efforts de traction qu’il importe de déterminer, pour choisir un tissu de résistance correspondante.
Nous avons vu que la pression apparente augmente sur des parallèles s’élevant graduellement de la base au sommet ; mais cet accroissement de pression est
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assez faible; nous pouvons le négliger dans le problème qui nous occupe, et supposer que la pression est la même en tous les points de l’enveloppe.
Pour calculer alors la fatigue de l’étoffe, il est nécessaire d’établir tout d’abord le théorème suivant :
Théorème. — Si une surface S est soumise en chacun de ses^points à une pression uniforme p par unité
de surface, et si Ion projette sur un axe XX' les pressions quelle supporte ^ la somme de ces projections est égale au produit de p par la projection de la surface S sur un plan perpendiculaire M.
Soit, en effet, un élément très petit ds ; la pression qui s’exerce normalement sur cet élément est pds , et la projection sur l’axe XX' qui fait avec la normale l’angle ot est pds cos oc.
Or ds cos a = d(ù est la projection de ds sur le plan M perpendiculaire à XX', et l’on a par conséquent :
pds cos QL=:pchù.
Si l’on fait alors la somme des projections de toutes les pressions sur la surface S , on auea :
f pdw ou pfdcù=p£lf
ü désignant la projection de la surface S sur le plan.
Cas de la sphère. — Appliquons ce résultat à une sphère de rayon R, renfermant un gaz à la pression apparente p; l’effort qui tend à rompre l’étoffe suivant un grand cercle et sur toute la circonférence sera, d’après le théorème précédent : et ,
par mètre courant, la tension est :
Telle est la formule courante que l’on adopte pour le calcul de l’enveloppe d’un ballon sphérique.
Cas d’un cylindre; tension transversale. —
Dans les ballons qui n’ont pas la forme sphérique, le calcul serait parfois plus compliqué. On peut toutefois avoir une solution simple dans le cas d’un cylindre.
Soit, par exemple, une partie de Talion présentant la forme d’un cylindre ; il convient alors d’envisager l’effort de rupture suivant qu’il s’exerce dans le plan transversal, c’est-à-dire suivant une section orthogonale, ou suivant les génératrices.
On verrait aisément que l’effort de rupture qui s’exerce normalement à la section circulaire (fig. 29 a),
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sur une longueur de i mètre, et qui tend à déchirer le cylindre suivant le j)arallèle, est encore :
T = |pR.
Tension longitudinale. — Mais si l’on envisage l’effort qui tend à produire au contraire une déchirure
y (àJ
Fig. 29.
le long d’une génératrice, sur l’unité de longueur (fig. 29 b), l’effort total sera évidemment 2Rp sur le demi -cylindre, et la tension déterminée aux deux extrémités d’un plan diamétral par cet eflort ^sera
ainsi : 2T == 2R/) ;
d’où T' = pR,
La tension est donc, dans le sens longitudinal, le double de la tension qui se développe transversalement.
Cas général. — Dans le cas le plus général, un ballon affecte la forme d’une surface de révolution. Soit XX' l’axe de cette surface, MaM' un de ses méridiens et M/nM' un
parallèle. Le point de convergence des tangentes méridiennes aux différents points de ce parallèle est en O.
Si nous désignons encore par p la pression normale aux différents éléments de l’enveloppe, la projection des pressions qui s’exercent sur le cône MaM' jusqu’au parallèle MM' de rayon r est :
Effort suivant la méridienne. — Appelons alors Tj la tension de l’étoffe par mètre courant suivant la tangente à la méridienne; la tension d’un élément dm du parallèle est :
t = Tidm,
et si a est l’angle de la tangente au méridien avec l’axe XX', la projection sur l’axe sera :
/cos a, c’est-à-dire Tic/m cos a.
L’effort total de rupture s’obtiendra en intégrant :
cos a,
ou T^cosajrfm,
et comme évidemment ^dm = 2-r (la circonférence du parallèle), on a en définitive, pour l’effort total de rupture : Tj cos a X (2)
Egalant. à la première valeur trouvée ( i ) , il vient : Tj\p = Tl cos a X 2-r , ou rp = 2X1 cos a;
et 1 on en tire : i 1 = — .
2 cos oc
Or il est facile de voir que est précisé-
1 cos a ^
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ment égal à MX, c’est-à-dire au rayon de courbure pj de la surface en M dans le plan normal à la tangente méridienne.
D’où l’équation générale de l’effort tangentiel suivant le méridien : Ti = (^)
Effort suivant le parallèle. — Désignons par T2 (par mètre courant) l’effort de rupture qui s’exerce normalement au méridien, c’est-à-dire tangentiellement au parallèle, et qui tend à rompre l’enveloppe suivant le méridien. Considérons la portion d’enveloppe comprise entre deux parallèles très voisins MM' et NN' dont l’écartement est dx (fig. 3i ).
En supposant que la rupture se fasse suivant les éléments méridiens MN ,
M'N', nous n’aurons à considérer que les pressions qui s’exercent d’un côté du plan méridien, par exemple, la portion antérieure au plan de la figure. Cette portion de l’enveloppe est en équilibre sous l’action des forces extérieures, c’est-à-dire des pressions apparentes (en supposant le poids de l’enveloppe négligeable) et des tensions de l’étoffe, le long du méridien et des deux parallèles.
Ces diverses tensions sont donc, pour les éléments MN , M'N' :
i"" Les tensions transversales T2 normales au méridien ;
2*^ Les tensions méridiennes le long des demi -parallèles ;
3^" Les pressions normales dues au gaz.
Projetons toutes ces forces sur un axe Oz perpendiciüaire au plan du méridien , en les comptant positivement dans le sens Oc et négativement dans le sens Oz.
а) La tension normale à MN est — elle se projette en vraie grandeur, puisqu’elle est elle -même normale au plan méridien ; il en sera de même de la tension suivant M'N', et l’on aura pour l’ensenible, en
valeur absolue : 2 T//.'?. (a)
б) La projection de la surface MNM'N' sur le plan du méridien étant 2rdx . la somme des projections des pressions directes du gaz sur cette portion d’enveloppe sera :
2rdxy(p. {h)
c) Enfin, appelons F la somme des composantes suivant Oc des tensions longitudinales le long du demiparallèle MN. — Nous pourrons représenter par F -[-e/F la même composante pour le demi- parallèle M'N', et la résultante de ces deux forces sera dF .
Il nous suffira de connaître F pour obtenir aiséinent dF en différentiant. Pour évaluer F, qui, comme nous l’avons dit, est la somme des projections des tensions t dirigées suivant les éléments mêmes des méridiens, il
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suffira de calculer une de ces tensions élémentaires, de la projeter et d’intégrer.
Supposons donc, le long de MN, une bande méridienne dont la largeur ch corresponde à un angle c/co au centre du parallèle. On aura évidemment c/j = rdiù , — et si la tension longitudinale par mètre courant du parallèle est, d’après ce que nous avons établi plus haut :
sur la longueur d7 = rc/co, on aura la tension :
Pour projeter cette tension sur OZ, on peut projeter successivement sur le plan ZOM du parallèle, puis sur OZ. La tension t fait un angle (90'' — -a) avec le plan ZOM ; la projection sur ce plan sera donc :
La force F étant la somme des efforts élémentaires /, an pourra poser :
ou, en remplaçant t par sa valeur (c) et en mettant en
2 cos a ’
FL
et sur OZ :
/sina, i sin a sin CD.
évidence les termes constants :
D’autre part,
sin 0) . c/co = cos 0° — cos 7: = 2 .
Il vient donc : F = tg a.
La différentielle de cette expression par rapport à r et a est :
(IF = 2pr tg a . c/r + dx. {d)
Enfin nous pouvons exprimer dr et da en fonction de dx, car on a facilement :
dr = dx tg a ,
et, d’autre part, da est l’angle des deux tangentes au méridien en M et en N , ou des deux normales en ces deux points, et en appelant ps rayon de courbure du méridien en M, on aura :
d’où
ds = da = —
foda ; ds P 2
en affectant ces valeurs du signe — par suite de leur position par rapport aux plans de coordonnées, dans la figure.
Or
; dx , , dx '
(is = — , donc aa = , ie)
cos a P2 cos a ^ ^
ce qui permet d’écrire finalement l’expression (d) sous la forme :
dF = 2pr tg^ OL , dx-
pr
, cos' a
dx.
Pour qu’il y ait équilibre, la somme des projections (a), (6), (c) doit être nulle, et, en remplaçant
dx
dans (a) ds par
cos a
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il vient :
dx
cos a
-|- 2prdx -|- 2/)rtg-a . dx-
pr
- — . dx = o, p2 cos'^ a
ou , tout calcul fait :
^ cos a 2p2COS^a On peut enfin tenir compte de ce que : r
cos a ’
ce qui donne :
Telle est la valeur de la tension trans verse en fonction des deux rayons de courbure principaux de la surface : p2 rayon de courbure du méridien , p^ rayon de courbure de la section normale au méridien ; p^ est aussi la portion de la normale compose entre le méridien et Taxe de révolution.
Application à la sphère. — Dans le cas de la
sphère de rayon R : p^ — p^ = R.
Les relations (A) et (B) donnent :
ou
en fonction du diamètre.
Valeur déjà déterminée directement des tensions sur les deux plans principaux.
Application au cylindre. — Si R est le rayon de la section droite, p, = R, p2 = cc.
La tension longitudinale esl la même que dans le cas de la sphère ; la tension transverse est le double de la 2^remière. Par suite, l’enveloppe doit résister deux fois plus contre les déchirures suivant les génératrices.
Application au cône. — Le rayon varie en progression arithmétique. Il est nul au sommet du cône et augmente indéfiniment.
Le rayon est infini. Comme pour le cylindre, la tension transversale est le double de la tension longitudinale. Au sommet, les deux tensions sont nulles.
Cas des ballons allongés à méridien parabolique. — Pour déterminer les tensions maxima auxquelles fétolTe doit résister, Dupuy de Lomé se contentait d’assimiler cette surface au cylindre circonscrit. Cette hypothèse conduit à faire le rayon pg égal à l’infini. En réalité, ce rayon de courbure a une valeur finie, et le terme en p2, loin de disparaître, vient diminuer la valeur de la tension transverse (B); l’hypothèse est donc favorable à la résistance.
Pour serrer la vérité de plus près et ne point donner à l’enveloppe un excès de solidité, on peut considérer un ballon allongé comme intermédiaire entre le cylindre circonscrit et la sphère inscrite ; la tension trans verse est, en efl'et, toujours plus grande que la tension longitudinale, puisque p^ n’est pas infini.
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Il résullerait de ces considérations qu’il vaudrait mieux faire les coutures suivant des parallèles, si d’autres considérations (de construction) ne conduisaient parfois à les placer suivant les méridiens.
Nous verrons toutefois que l’on doit en tenir compte dans la construction des housses et des chemises pour lesquelles la tension longitudinale s’accroît encore de tout le poids de la nacelle qu’on y suspend : on les taille alors de telle sorte que les coutures ne coupent pas les lignes de plus grande résistance.
Cas des ballons ellipsoïdaux aplatis. — Le
cas des ballons ellipsoïdaux pourrait être étudié d’une façon complète, au point de vue analytique.
Mais les formules (xN) , (B) rendent suffisamment compte de leurs conditions de bonne résistance.
Lorsque le ballon est engendré par une ellipse tournant autour de son petit axe voit que T2, la tension transverse, est plus petite que la tension longitudinale 1\.
Lorsque le rapport — augmente, la tension . . • , P2 ,
diminue et s’annule pour
Fig. 32.
, p2 est plus petit que pj , et l’on
Au delà de cette valeur et lorsque T2
devient négative : la tension se change en compression ; l’étoffe n’y saurait résister et se plisse.
Si Ton désigne par 2a le grand axe et par 26 le petit axe de l’ellipse méridienne, cette limite correspond à un ellipsoïde caractérisé par les éléments suivants :
Pi d, p2 ^ •
, OU ay>h^2 .
On en doit conclure qu’un ellipsoïde plus aplati que celui pour lequel on a : a = b\j2 , est impossible à
réaliser avec une enveloppe souple ; il s’allongerait vers les pôles du petit axe.
Valeurs maxima des tensions dans un ballon sphérique et variations de ces tensions.
— Nous avons vu que la tension, dans un ballon sphérique, a pour valeur, en fonction du diamètre D,
l’expression :
On sait en outre que, si la manche d’appendice a une longueur h, A étant la force ascensionnelle du gaz de gonflement, la pression apparente au pôle supérieur est : P — A (D h).
Ce qui donne pour l’expression de la tension au pôle, où elle est évidemment maximum en même temps que la pression :
DE L\ FATIGUE DES ÉTOFFES
Cette expression peut se mettre sous la forme :
AD^ , AD/i
d’où il résulte qu’à ^un allongement de i mètre pour la manche correspond un accroissement de tension de
Dans le cas de l’hydrogène (A=i,i) et d’un diamètre D=io mètres, cet accroissement atteint: ATio=2 k. 7. ^
Des tensions dans les chemises ou housses de suspension. — Les
ballons sont habituellement recouverts d’un fdet, auquel on substitue parfois, surtout pour les ballons allongés, une chemise ou housse en étoffe destinée à servir d’intermédiaire pour la suspension de là nacelle.
Cette chemise étant en étoffe, on est conduit à se demander à quelles tensions elle devra résister.
Supposons, par exemple, un ballon cylindrique recouvert d’une chemise MBAI' appliquée sans frottement sur l’enveloppe.
Lorsque l’aérostat est en équilibre, en désignant par
F le poids qui le charge par rintermédiaire de la chemise et par t: le poids propre de celle-ci, la force ascensionnelle du ballon est équilibrée par la somme de ces deux poids :
L’enveloppe proprement dite ne supporte alors aucune fatigue, et la chemise doit résister elle-même à la tension T.
Nous avons considéré un cylindre ; mais les choses se passeraient d’une façon analogue s’il s’agissait d’une sphère.
Les formes inférieures du ballon seront modifiées par la pression de la chemise, qui, sollicitée elle-même par les suspentes, tend à prendre une forme conique. Dans cette région, toute la tension est supportée par la chemise. La calotte supérieure n’est pas déformée : l’enveloppe étant indépendante de la chemise et les deux tissus pouvant glisser l’un sur l’autre, ces tissus se partagent les efforts.
C’est aussi ce qui se présente pour les ballons ordinaires pourvus d’un filet qui joue le même rôle que la chemise. Toutefois la grande adhérence du filet dans la région de la soupape empêche les glissements *et provoque une diminution de la tension de l’enveloppe. Mais la somme des efforts demandés à l’enveloppe et au filet est toujours la même.
On a coutume de calculer séparément l’enveloppe et la chemise ou le filet qui la recouvre, comme ‘si chacun de ces organes devait résister à la tension totale, ce qui donne, d’après les considérations précédentes, une sécurité surabondante; mais, d’autre part.
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il est évident qu’il en résulté un excès de poids dans la construction des ballons, et que l’on aurait un grand intérêt à remplacer les deux enveloppes indépendantes par un seul tissu d’une résistance convenable auquel la suspension serait reliée par une connexion directe sur le parallèle de tangence. C’est ce qui a été réalisé dans les dirigeables actuels.
Parallèle de contact. — Quoi qu’il en soit, il importe de déterminer la position du parallèle où cesse le contact de l’enveloppe et delà chemise, et il est évident que, sur ce parallèle, la pression intérieure p et la pression extérieure p', provoquée par la chemise, se font équilibre.
Supposons donc un ballon exactement plein jusqu’à la tranche de la manche d’appendice, où se trouve dès lors le niveau d’équipression entre le gaz de gonflement et l’air extérieur.
Nous savons que les pressions apparentes du gaz vont en décroissant à partir de la soupape, suivant la formule p=AZ, où Z représente la hauteur de la zone au-dessus de la tranche d’appendice, tandis que A est la force ascensionnelle du gaz. En comptant les Z sur la ligne OZ, à la même échelle que le profit du ballon, et en portant p en ordonnées, on a une ligne droite OA qui permettrait de déterminer facilement la tension apparente intérieure du ballon ainsi supposé complètement plein.
La contre -pression due à la chemise est :
LA TE'^HNIQUE DU DALLON
OU , en tenant compte de la valeur de T = ,
2 COS Ot
^ 2R COS a *
F est le poids total de l’aérostat.
Pour un point quelconque M de la surface du bal-
Fig. 34.
Ion, correspondant à un angle au centre déterminé a, il est facile de calculer la valeur de p' ; en la portant sur la perpendiculaire MM' à Taxe OZ, on obtient un point m dont le lieu donnera une courbe BC coupant la droite OA en un certain point N qui correspond au point P du ballon pour lequel p=p'.
C’est la limite en dessous de laquelle il ne faut pas placer le parallèle de contact, si l’on ne veut pas que l’enveloppe soit comprimée par le filet.
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Les tangentes aux méridiens menées par ces points déterminent l’épure de la suspension. ^
Toutefois la suspension ainsi définie peut être très longue, ce qui conduit à négliger la prescription cidessus, et à abaisser le parallèle de contact réel.
Déformation de Tenveloppe sous la pression de la chemise ou du filet. — C’est dans ce cas que la pression p' de la chemise ou du filet l’emportant sur la pression intérieure p, l’enveloppe se déforme, et il se produit des plis longitudinaux lui permettant de prendre une forme qui se rapproche de celle d’un cône.
Il semble donc qu’on aurait une meilleure utilisation et une diminution de poids assez notable, en taillant les fuseaux de manière à réaliser cette forme définitive effectivement et sans plis.
Il convient d’ajouter que la détermination exacte de la courbe méridienne la plus convenable serait assez laborieuse. M. Lauriol, qui a écrit sur cette question de la tension des étoffes une étude extrêmement remarquable^ pense que cette détermination pourrait être faite une fois pour toutes, et qu’il serait facile, en tout cas, de relever, par un procédé photographique ou autre, la forme que prend réellement un ballon primitivement sphérique, de manière à donner aux aéronautes une règle à cet égard.
^ Lauriol, 2.
