CHAPITRE XII

§ 1. Forme du ballon. — Conditions d’indéformabilité. — Surfaces qui y satisfont. — § 2. Coupe des enveloppes. — Décomposition des surfaces. — Lignes géodésiques. — Décomposition en fuseaux. — Tracé du patron : méthode géométrique. — Application aux ballons sphériques. — Méthode algébrique. — ^ Forme et coupe des ballons allongés. Formules d’avantprojet : longueur de l’arc, surface du cône parabolique, centre de gravité. — Centre de gravité de l’enveloppe. — Longueur des coutures. — Formules générales pour les ballons paraboliques. — Surface du cône parabolique. — ’Volume. — Centre de poussée. — Coupe. — Ballonnet.

§ I. — Forme du ballon.

Condition pour que la carène ne soit pas déformable. — Dans le dernier paragraphe du chapitre précédent, nous avons empiété en quelque sorte sur le sujet de celui-ci, en ce qui concerne la forme géométrique qu’il convient de donner au ballon.

Envisageons maintenant la question d’un point de vue plus général, en nous demandant quelle doit être cette forme pour satisfaire aux conditions primordiales Imposées par la nature meme de l’enveloppe.

Cette enveloppe est constituée par un tissu souple qui ne saurait résister qu’à des efforts de tractiou.

C’est naturellement le genre d’effort qui se manifeste lorsqu’il s’agit d’une sphère, et que le gaz intérieur est partout en surpression apparente. Mais il existe d’autres formes pour lesquelles, en tous les points de la surface qui les limite, l’étoffe se trouve aussi étirée dans tous les sens.

On conçoit également de^ surfaces pour lesquelles cette condition n’est point satisfaite. C’est ainsi qu’un ballon cubique serait impossible à réaliser ; sous la pression du gaz , les faces se creuseraient , les angles se rapprochant les uns des autres : il y aurait déformation. Pour d’autres formes, il pourrait se manifester des compressions extérieures en certains points, et, dans ce cas, l’étoffe, incapable de résister, se plisserait.

On peut résumer les conditions du problème comme ■il suit :

Théorème. — Il y aura déformation toutes les fois que , sans extension d'aucune ligne de sa surface, l'enveloppe sera susceptible d'une augmentation de volume.

La sphèix qui, sous une surface donnée, présente le volume maximum, est la surface indéformable par excellence.

Les surfaces de révolution allongées sont également indéformables. Les parallèles sont, en effet, inextensibles, et toute déformation* ne pourrait se produire que par contracfion ou par rapprochement des parallèles ; mais cette opération aurait évidemment pour résultat de diminuer le volume. Le calcul des tensions sur les surfaces de ce genre montrerait, du reste, que ces tensions sont partout positives.

11 n’ en est pas de même pour les surfaces de révolution aplaties, en certains points desquelles la tension transversale représentée, comme nous l’avons vu, par l’expression :

peut devenir négative, c’est-à-dire se transformer en compression.

Nous en avons cité pour exemple l’ellipsoïde de révolution aplati qui se déforme, dès que l’aplatissement dépasse la limite donnée par la relation :

où a et 6 sont les deux demi- axes de l’ellipse méridienne. On a, du reste, rarement été tenté de construire des ballons aplatis ou lenticulaires, et les seules formes usitées jusqu’à présent sont celles de la sphère et des surfaces de révolution plus ou moins allongées.

§ 2. — Coupe théorique des enveloppes.

Décomposition des surfaces. — Dans le cas général, les enveloppes de ballon ne présentent pas de surfaces développables. 11 s’agit cependant de les constituer au moyen d’étoffes susceptibles d’être déroulées sur un plan, et qui se présentent sous la forme de bandes étroites et allongées.

Le problème consiste dès lors à décomposer la surface de l’enveloppe en un certain nombre d’éléments qu’on puisse considérer, sans erreur sensible, comme développables; sur lesquels, par conséquent, l’élolfe

puisse s’appliquer à peu près exactement, et dont la largeur ne dépasse pas celle du tissu, en tenant compte des recouvrements nécessités par les coutures.

La coupe des ballons est l’art d’effectuer cette décomposition.

Supposons donc, sur une surface quelconque qu’il s’agit de construire, un des éléments de décomposition. En désignant par AB Taxe de cette bande, il est possible d’imaginer une projection de tous les points de la bande sur la surface enveloppe des plans tangents le long de l’axe AB.

Or cette surface enveloppe est développable, et si on la déroule sur un plan, on obtient, en définitive, le tracé d’un panneau d’étoffe susceptible d’épouser très sensiblement la forme de la portion d’enveloppe considérée.

On voit à l’inspection de la figure qu’il n’est indifférent de tracer ces bandes d’une façon quelconque.

Considérons , par exemple, une surface de révolution (fig. 35) qu’il s’agirait de découper suivant deux parallèles assez voisins. La surface enveloppe des plans tangents au parallèle moyen AB serait un cône, et le patron de la bande développée serait limité par deux arcs de cercle Quelque grand que soit le rayon moyen de ces arcs, le patron devant être découpé dans une pièce d’étoffe

La Technique du Ballon, 2® édit. 7*"

rectangulaire donnera lieu à des déchets considérables; et la largeur même ab de l’étoffe (fig. 36) se trouverait

insuffisante en bien des cas pour contenir le patron tout entier. On s’astreint donc, d’une manière générale, à ne point s’écarter du principe suivant.

Principe. — La surface doit être décomposée en bandes répondant à cette condition que leur axe se développe suivant une ligne droite.

Lignes géodésiques. — Cette condition revient à dire que le rayon de courbure pj de celte transformée de l’axe tracé sur la surface primitive doit être constamment infini. Or ce rayon de courbure est: lié par une relation simple au rayon de courbure p2 de la courbe primitive.

On démontre en géométries en effet, qu’en désignant par a l’angle du plan oscillateur à la courbe et

^ Manneihm.

du plan tangent à la surface, pour un point déternainé,

Le rayon de courbure sera donc constamment infini si Ton a cosa = o, ou a = 9o'', c’est-à-dire si le plan oscillateur et le pian tangent sont en chaque point perpendiculaires l un à l’autre.

Les courbes qui jouissent de cette propriété sont les lignes géodésiques ou, plus simplement, les géodésiques de la surface. On peut donner, du reste, la définition suivante de ces lignes :

Définition. — Une géodésiqiie d’une surface esi une ligne telle que la portion comprise entre deux quelconques de ses points MM' soit le chemin du plus court pour aller de l’un à l autre sur cette surface K

L’étude des lignes géodésiques permettrait d’établir un certain nombre de théorèmes intéressants. On remarquerait notamment que, par un point, passe une infinité de géodésiques et qu’il suffit, pour déterminer l’une d’elles, de se donner sa tangente au point considéré.

En second lieu, le plan oscillateur d’une section plane étant précisément le plan de cette section, celle-ci sera une géodésique , si son plan est en chaque point normal à la surface.

1 Par un point passe une infinité de géodésiques : une géodésique sera déterminée par un de ses points et par sa tangente en ce point.

On a proposé quelquefois de donner à ces lignes le nom de hraehislodes f précisément parce qu’elles mesurent le chemin le plus court d’un point à un autre de la surface. Le terme de géodésiqiies a prévalu auprès des géomètres.

Il en résulte que, dans la sphère, les géodésiques sont les grands cercles.

Dans les surfaces de révolution, les méridiens sont des géodésiques ; les parallèles n’en sont généralement point.

Décomposition en fuseaux ^ — Considét'ons une surface de révolution quelconque, et traçons sur cette surface des méridiens faisant entre eux un angle constant : nous partagerons ainsi la surface en un, certain nombre de fuseaux égaux entre eux ; les axes de ces fuseaux seront eux- mêmes des méridiens et se développeront en ligne droite.

Pour que l’on puisse tailler ces fuseaux dans les pièces d’étoffe dont on dispose, il suffira donc que leur plus grande largeur n’excède pas la largeur de l’étoffe (en réservant, bien entendu, de part et d’autre un léger recouvrement correspondant aux coutures). La plus grande largeur du fuseau correspond évidemment au parallèle du plus grand rayon Eo , E^o' ; il faudra diviser ce parallèle en un certain nombre de parties égales, de telle sorte que la plus grande largeur mn du fuseau soit au plus égale à la largeur de l’étoffe, en tenant compte des recouvrements. Les méridiens menés par les différents points de division détermineront sur la surface les limites théoriques des fuseaux à construire.

Tracé du patron (méthode géométrique). —

Sur une droite indéfinie XX', portons la longueur développée P'Pi de la courbe méridienne ; nous aurons ainsi

1 On nomme fuseau la portion de surface comprise entre deux géodésiques et jouissant de la propriété de se développer suivant une bande à axe rectiligne.

l’axe du fuseau développé. Pour avoir la demi-largeur du fuseau, eu un point quelconque Cl, nous traçons le parallèle ee' correspondant, sur l’épure méridienne (fig. 87). La position de ce parallèle sur le tracé du fuseau est, du reste, définie par le développement de la portion P'ci de l’arc méridien. La demilargeur cherchée est précisément le demi-arc cm' sous-tendu par le fuseau sur la projection horizontale du parallèle.

Il suffira de répéter cette construction pour un nombre assez grand de points, et l’on obtiendra ainsi facilement l’épure du demi - fuseau développé.

La construction du patron se compose donc de deux épures distinctes :

I "" L’épure méridienne à échelle arbitraire (fig. 87 ) ;

2"" L’épure du patron à grandeur d’exécution (fig. 88).

lO"

Et -r

iA

Eh—r

Fig. 37.

Fîg. 38.

Dans la pratique, il convient de prendre pour l’épure

méridienne une» échelle telle que le diamètre de l’équateur sur cette épure soit égal à la plus grande largeur du fuseau. On aura ainsi E'0' = EiMi et, pour un point quelconque :

par suite de la relation :

Donc, en chaque point, la demi- largeur du fuseau sera égale au rayon du parallèle correspondant, mesuré sur l’épure.

Appliquons ces considérations générales aux formes usitées dans les ballons :

a) Épure pratique des fuseaux sphériques

{méthode géométrique) . — Dans le cas des fuseaux sphériques, la méthode précédente s’applique sans difficulté. La courbe méridienne est un demi -grand cercle dont la longueur t:R est aussi celle du fuseau développé.

Le rayon lui-même est d’ailleurs connu, soit qu’on se le donne à priori, soit qu on veuille au contraire construire un ballon de volume déterminé.

En divisant la longueur 2t:R de l’équateur par la largeur utilisable de l’étoffe, et en prenant le nombre entier le plus proche, on obtient le nombre de fuseaux 71, et la largeur définitive d’un fuseau sur réquateur, entre les axes des coutures, sera :

Cela posé, l’Eure méridienne consiste à tracer une demi-circonférence sur un diamètre égal à /.

L’arc de quadrant est alors divisé en un certain

nombre quelconque m de parties égales, et par les points de division, numérotés de o à m, on mène les parallèles qui définissent le fuseau.

Dans la pratique, les aéronautes décomposent généralement le quadrant en 2 O parties, chacune d’elles correspond à un arc de 5 ^grades ou de

Étendons alors sur une longue table une feuille de papier fort destinée à servir de patron au fuseau.

Traçons une ligne droite o8 qui représentera Taxe du fuseau (fig. 89) ; sa longueur sera

d’ailleurs

ttR,

le quart de la circonférence méri-

‘ ' 1 ' Il

' ! i i if

Il 'À Kr

S 7 Fig. 39.

dienne. A Tune des extrémités sur une perpendiculaire, nous porterons de part et d’autre la moitié OE = OE' de la longueur maximum, soit :

D’autre part, il suffira de diviser l’axe du fuseau développé en un nombre convenable de parties, pour avoir les points correspondants aux points de division du quadrant sur l’épure méridienne.

Si dès lors en ces points nous menons des perpendiculaires à l’axe o8, il suffira de prendre, sur ces perpendiculaires et de part et d’autre, des longueurs égales aux demi -cordes des parallèles correspondants pour obtenir des points de la courbe limitant les côtés du fuseau, courbe que l’on obtiendra d’une façon continue en rejoignant tous les points obtenus.

Pour donner à cette courbe un contour plus assuré, Conté plantait des épingles en chaque point du tracé, et, prenant une règle plate assez flexible, il la posait de champ et la courbait en l’appuyant sur ces points de repère, pour servir de guide au crayon.

On peut d’ailleurs réunir les deux tracés (fig. 89) sur la même feuille, en traçant l’épure méridienne sur le petit axe EE' du patron. Les largeurs successives s’obtiennent alors en élevant des parallèles à l’axe, à partir de chacun des points de division du quadrant.

C’est Faujas de Saint- Fond, auquel l’histoire de l’aérostation doit tant d’utiles renseignements, qui a donné le premier tracé géométrique des patrons de fuseaux. La méthode s’est perfectionnée, et celle que nous venons d’exposer est due au colonel Renard.

Fuseaux sphériques {méthode algébrique). — Le savant créateur de l’aérostation militaire en France a également indiqué le moyen de calculer directement les ordonnées du fuseau L

Reprenons la demi-circonférence indiquée plus haut, dont le diamètre est l.

Pour un parallèle quelconque MM' situé à une distance z de l’équateur, le rayon y y égal à l’ordonnée mm! du patron, peut être calculé en fonction de l’angle a sous-tendu par l’arc EM.

On a en effet : y — l/cosa.

si/—

\àL \

Fig. 40.

En donnant à a successivement les valeurs correspondantes aux différentes divisions du quadrant, on pourra calculer les diverses valeurs de y.

Mais la formule précédente permet de constater que les ordonnées y sont indépendantes de la grandeur réelle des arcs compris entre les divers parallèles ; elles ne dépendent que de l’angle a, et par suite, si l’on veut construire, avec une même étoffe, c’est-à-dire au moyen de fuseaux de même largeur maximum /, des ballons de diamètres différents, les ordonnées de l’épure seront les mêmes pour tous, pourvu qu’on divise le

^ Renard, Cours inédit. — V. également capitaine Voyer, 6.

méridien en nn même nombre de parties, L’écartement des ordonnées variera seul.

Il est donc possible d'établir des tables permettant de construire immédiatement pour un ballon quelconque un fuseau de largeur équatoriale 1.

En suj)posant toujours le quadrant méridien divisé en 20 parties, on peut encore dresser un tableavt des

valeurs de rapport : w. ^ . Ce tableau servira à tra-

cer le patron d’un fuseau de largeur quelconque et pour un ballon sphérique quelconque.

T^=eosa

>7^ = cos a

= ços a

oc

-f^= cos a

On peut aussi exprimer le volume Y d’un ballon sphérique en fonction du nombre n de ses fuseaux, lorsque la largeur l des fuseaux-(ou de l’étoffe) est connue. On a, en effet, pour le volume :

et la circonférence équatoriale donne, d’autre part : ni — 2tc1\ ;

en élevant au cube cette dernière relation :

011 obtient par une combinaison facile des équations (i) et (2) ;

Pour chaque étolTe, il est facile de calculer le coeffi-

cient :

Détermination pratique de la longueur d’un arc de cercle, — La méthode usuelle suppose que la longueur de Tare méridien peut être calculée facilement, ce qui se présente lorsqu’il s’agît d’une enveloppe formant une sphère complète.

Dans certains cas cependant, il pourrait être utile de déterminer la longueur d’un arc quelconque : par exemple, s’il s’agit d’une enveloppe lenticulaire, la cloison d’un ballonnet à air en particulier.

M. Maurice d’Ocagne a donné de ce problème une solution géométrique extrêmement simple h

Soit un arc AMB quelconque (fig . 4 1 «) dont on veut avoir le développement linéaire , avec une approximation de

Sur la corde on prend :

1 D'Ocagise (Maurice), 1 et 2.

Le rayon passant par N donne un point L sur Tare,

et la corde AL est précisément égale aux de Tare,

dont la longueur se trouve ainsi déterminée, car il suffit de prendre sur le prolongement

LC = AaL,

et l’arc développé est égal à AG.

Si le centre O n’est pas connu ou se trouve hors des limites de l’épure, on pourra néanmoins tracer la partie NL du rayon, en décrivant du jpoint N comme centre la circonférence qui a NB pour rayon; il est évident, en effet, que le rayon NL est perpendiculaire sur la corde BM commune aux deux arcs.

Enfin, on peut déduire de ce qui précède le moyen de tracer un arc de Cercle d’une longueur déterminée / sur une circonférence donnée. Du point choisi pour

l’origine de l’arc cherché (fig. 4i décrivons, avec un

rayon égal à

un petit arc qui coupe la circonférence au point L.

Prolongeons la corde jusqu’en G, avec une longueur L Si l’on mène le rayon LO et, par G, une parallèle GB à ce rayon, cette parallèle détermine sur la circonférence l’extrémité B de l’arc cherché.

Forme et coupe des ballons allongés. —

Nous venons d’examiner brièvement les conditions générales de forme auxquelles sont assujetties les enveloppes du ballon, et nous avons exposé les règles du tracé par fuseaux méridiens.

Ces règles exigent, pour les surfaces de révolution en général, le tracé préalable de la courbe méridienne. Leur application, d’ailleurs, peut être singulièrement facilitée par le choix même de cette méridienne. C’est ainsi qu’elles sont d’un usage commode lorsqu’il s’agit de construire un ballon sphérique ou même une surface de révolution engendrée par un arc de cercle.

Le développement pris par la construction des ballons dirigeables, d’autre part, a donné une importance particulière aux ballons allongés, et il importe d’entrer dans quelques détails à leur sujet.

Les ballons allongés sont presque toujours des surfaces de révolution. Sauf des cas très rares où leurs auteurs ont cru devoir adopter des formes ovoïdes engendrées par des ellipses, la plupart des ballons allongés ont pour génératrice une courbe continue rencontrant l’axe de révolution en deux points sous un angle aigu. Ces points constituent la proue et la poupe du navire aérien.

11 y a donc nécessairement un point de cette méridienne où la tangente est parallèle à l’axe. Ce point, dans la rotation qui engendre la surface de révolution, décrit le parallèle principal ou maître-couple.

Si la méridienne est symétrique de part et d’autre du parallèle principal, on dit que le ballon est fusiforme ou symétrique. Si l’avant et l’arrière ont des courbures différentes, le ballon est pisciforme ou dissymétrique,

On définit cette dissymétrie par le rapport des longueurs d’axe qu’intercepte le plan du parallèle principal vers l’avant et vers l’arrière.

On désigne par cône avant et cône arrière les deux parties de la surface limitées entre les pointes et le parallèle principal.

Les considérations générales que nous allons développer s’appliquent indifféremment à chacun de ces cônes.

Soit donc un cône engendré par un arc de courbe

dont le sommet est en A, limité aux deux axes principaux ox et ojy la tangente en A étant horizontale.

Il semblerait qu’un arc de cercle dût constituer le méridien le plus simple et le plus commode. Mais, en

réalité, aussitôt que le rapport de l’axe longi-

tudinal au rayon du parallèle principal devient un [)eu grand, c’est-à-dire pour les grands allongements, on obtient par ce procédé une forme essentiellement aiguë et n’offrant aucune solidité. Ce volume enfermé est en outre très réduit par rapport à la surface d’enveloppe

et à son poids. On a donc intérêt à constituer le contour méridien au moyen d’une courbe plus renflée.

Cette courbe doit satisfaire en outre à cette condition qu’elle se prête aisément au calcul des éléments géométriques du ballon. Ces éléments sont : la longueur d'arc, la surface d'une zone, le volume, et enfin la position des centres de gravité.

Les courbes paraboliques satisfont assez bien à ces diverses conditions. Eu outre, en ne s'en tenant pas aux paraboles du second degré, mais en prenant au contraire des courbes d’rm degré élevé, on obtient une élasticité de forme favorable à un choix judicieux.

L’équation générale des paraboles dont le sommet est en A, sur le parallèle principal, est en effet :

et il est facile de voir que la tangente à la pointe se relève à mesure que l’on fait croître le degré n, en sorte que le volume du ballon augmente sans que la surface de l’étoffe s’accroisse par trop, et sans que le méridien cesse d’avoir sa tangente horizontale sur le maître-couple.

Formule d’avant-projet. Longueur de l’arc.

— Il est bon toutefois d’avoir des formules simples permettant d’établir ^rapidement un avant-projet. On peut dans ce cas, pour les allongements usuels, substituer, lorsqu’il s’agit de calculer la longueur de l’arc, un arc de cercle à la courbe parabolique.

En désignant alors par R le rayon de l’arc et par

Aô = R arc sin -

la longueur curviligne du demi-méridien dont la flèche

est on a évidemment :

Mais, d’autre part, b^ = a (2R — a) ;

d ou R = ^ .

En désignant par le

Pîg 43 rapport d’allongement — ,

on a :

et

et enfin

J arc sin | -

Si le rapport a n'est pas simple, le calcul se ferait encore commodément au moyen des deux formules :

Aô== R arc sin-^ ,

L’erreur commise par la substitution d’un arc de cercle est d’autant plus faible que la parabole est plus allongée.

Surface du cône parabolique. — Il est nécessaire au constructeur, dans son avant-projet, de connaître la surface d’étoffe de l’enveloppe, afin de déterminer son poids , élément indispensable pour déterminer le poids de l’aérostat, à son tour.

Or la surface d’une zone comprise entre deux parallèles très voisins, dont la distance est dx, aura pour expression, le rayon du premier parallèle étant y ;

2izy . dl= 27ry — ^

^ cos a

dl étant la longueur de

l’élément d’arc et dx sa projection sur l’axe.

Mais, dans la pratique d’un avant-projet, on pourra

remplacer dl par sa projection dx, parce que

cos oc

est très près de l’unité pour la partie moyenne de Tare, et que a ne prend une valeur appréciable que vers la pointe, c’est-à-dire dans la région où y est luimême très petit.

On a donc assez exactement pour l’expression de la surface :

S = 2r.ydx = 2- surf. AOB,

ou

8=^TMb.

On pourrait également calculer d’une façon suffisamment approchée la surface du cône parabolique compris entre le maître-couple et un parallèle dont

l’abscisse est x. Cette surface est sensiblement égale à

Pour une parabole du second degré,

: 2r.ax I

Equation qui peut se mettre sous une forme plus

' r r OC

générale, en posant : -^ = v.

Ce qui donne alors :

S^ = 4-7:aùI I

(i-Yr-(Y + 2)

et la surface comprise au contraire entre le parallèle x et la pointe, c’est-à-dire la surface du cône proprement dit , serait :

S7?. = -ôr T^b

Dans ces deux dernières formules, nous voyons en évidence la surface totale du cône jusqu’au parallèle

principal S = -^ rxih.

Position du centre de gravité. — En considérant l’arc AB comme un arc parabolique du second

degré, j = appelant X l’abscisse

du centre de gravité de l’enveloppe du ballon, on aura évidemment :

SX= / 2-yxclx— 2iza / (

L’intégrale indéfinie est :

qui, pour x — b,

donne : -t-