ab

On a donc :

et comme (3)

S = 2 Tzab,

on trouve :

CO |oo

Pour l’ensemble des deux cônes du ballon , l’abscisse du centre de gravité de l’enveloppe totale serait, h et étant les deux longueurs d’axe correspondantes :

Formules générales relatives aux ballons paraboliques. — Lorsqu’il s’est agi de construire le dirigeable la France, le capitaine Renard adopta une forme dissymétrique et deux cônes paraboliques d’un degré supérieur au second. Il fut ainsi conduit à établir les formules générales permettant de calculer la longueur d’arc, la surface et le volume des deux cônes. '

Si l’on désigne par dl la longueur d’un élément de

l’arc qui correspond à une variation dx de l’abscisse de la courbe méridienne, et par a l’angle de la tangente correspondant à cet élément avec l’axe des x, on pourra

écrire :

cos a

Posons alors : z = tg oc, tg a étant d’ailleurs égale

On aura évidemment :

cos a

et, en développant:

cos a

Cette série est très convergente, et, en s’arrêtant aux quatre premiers termes, on commet une erreur plus petite que le premier terme négligé. Comme nous l’avons dit du reste, a ne prend une valeur assez grande qu’à la pointe. Or, dans la plupart des ballons allongés, la valeur de z à la pointe ne dépasse pas

et la valeur de est ainsi de: i,2o3o,

3 cos a

tandis que la valeur vraie serait: 1,2018, soit une

différence de 0,0012, ce qui ne constitue pas une

erreur de — — au point le plus défavorable.

Cette valeur de l’erreur relative diminue d’ailleurs très rapidement à mesure que tg a, ou z, devient plus

petit. C’est ainsi que pour z = -^, c’est-à-dire très

DE lA FORME GÉOMÉTRIQUE DU BALLON

près de la pointe: — =i,ii8o3, en valeur

absolue , tandis que la formule approchée donnerait : i,ii8i6. La différence est de o,oooi3 et Terreur relative est inférieure à 0,00012.

Si nous reprenons la formule générale de la para-

bole :

on en tire :

d’où , par suite , en appliquant la formule précédente :

dl=dx\ I

rrœx^'

et en intégrant :

rrœx"'

Dans cette formule, on peut mettre en évidence le

coefficient d’allongement: = qui est toujours

une caractéristique importante que Ton se donne a priori; on trouve alors :

Introduction des abscisses numériques. —

Sous cette forme, nous voyons apparaître dans l’expression de la longueur de l’arc une inconnue auxiliaire :

qui peut devenir d’un emploi commode pour le tracé pratique des courbes par points. Si, en effet, on divise l’axe de révolution 6 en p parties égales et numérotées de zéro (à l’origine sur le parallèle principal) à p, les perpendiculaires élevées de ces points divisent le méridien en un certain nombre de parties , et un point du mépdien peut être défini par son ordonnée y et par le chiffre m de sa projection sur l’axe ; ce chiffre s’appelle V abscisse numérique du point^.

^ On a alors : ou

Cette équation met en évidence une sorte de similitude entre les courbes de même degré; car si Ton admet que Taxe de projection soit toujours divisé en un mêiTre nombre p de parties, il suffira de dresser la table des diverses valeurs du binôme

lorsque m varie, pour en déduire aisément les ordemnées du méridien qui correspondent aux points de division de Taxe. En particulier, pour toutes les surfaces de même degré n et de même rayon principal a, les ordonnées sont les mêmes pour les mêmes abscisses num ndques : Téchelle des abscisses change seule.

et l’équation générale de la parabole y = ^

devient :

La longueur de l’arc peut donc se mettre sous la forme :

(8 ter)

et du reste , pour avoir la longueur totale de l’arc compris entre le parallèle principal et la pointe, il suffira de faire x = b , g = i , ce qui donne :

C’est aussi la longueur totale du fuseau à partir du parallèle principal.

Surface d’un cône parabolique. — La surface d’une zone infiniment étroite de l’enveloppe d’un ballon est, comme nous l’avons déjà dit: ils = 2-ydl y

en appelant dl l’arc infiniment petit du méridien intercepté par les deux plans parallèles x et (x-\-dx),

dx

Nous avons vu, du reste, que dl = , oc étant

l’angle de la tangente à l’élément considéré avec l’axe des X, Si l’on désigne , comme précédemment, tg a par z :

tis = 27:

dx.

et

La série entre parenthèses est très convergente, et ses termes sont alternativement positifs et négatifs. En s’arrêtant à un terme quelconque, l’erreur est plus petite que le premier terme négligé; et l’on vérifierait facilement qu’il suffit de prendre, pour l’élément de surface , la valeur :

et que l’erreur commise est alors tout à fait négli-

Fig. 45.

Or on sait que

r cc" 1

y = ap--j^J;

dy — nax"~'^

par suite , ou z = ;

d’où l’on conclut :

ds

[x” ' I --pr

DE LA FORME GÉOMÉTRIQUE DU BALLON Effectuant :

ds = 27-a ] I —

L’intégrale définie de la parenthèse est :

irœx"

qui , pour x — b , devient :

n-{- I ' 2b^(2n — i) 3n — i) et si nous y introduisons le coefficient d’allongement

= -^, la valeur de l’intégrale que nous représenterons par X sera :

n , if

/i-[- I ' 2\j^[2ii — i) (3n — i) et nous aurons en définitive :

La valeur ainsi trouvée est un peu trop forte, puisque le terme correctif en serait négatif; mais, en ne prenant que le premier terme de a, on aurait une valeur :

S' = 27:afc — J — ,

beaucoup trop faible. Cette valeur S' correspond à

l’hypothèse

cos a

Exemple numérique. — Soit un ballon dissymétrique dont l’avant est engendré par une parabole du second degré, tandis que le méridien de l’arrière

est une parabole du quatrième degré. Prenons les éléments suivants :

Avant n = 2, zzz 3 , b^ = 9a.

Arrière n' = 3 , = g .

On aura pour l’avant :

S — TM- X o,6963t .= TTa^X 4, 1778 = 384”^, 77;

et pour l’arrière: a=i=o,8o5i,

La surface totale du ballon sera donc en nombre rond :

S = 7:a“(4,i778 -|- i4?49i8) rzz I-JI9 mètres carrés.

Centre de gravité de Fenveloppe. — Il est

nécessaire, pour établir convenablement la stabilité du ballon, de fixer rigoureusement la position du centre de gravité de chacune de ses parties.

Or le moment de la zone élémentaire ds par rapport au parallèle principal est xds ; et en se reportant à la valeur de ds précédemment écrite :

rr(rx^''~^ )

^ Le colonel Renard a évalué directement ces surfaces, par leur décomposition en zones au moyen de })arallèles équidistants. Cette méthode a donné pour la surface de l’avant : 38 4“’, 10, nombre bien peu ditTérent, comme on le voit, de celui que nous venons d’obtenir par le calcul. — Ce résultat fait voir quel degré de confiance doit être attribué à la formule ci-dessus.

xds — 2tM

L’intégrale générale de la parenthèse est :

rdd~x^^

qui, pour x — b, donne, tout calcul fait:

En désignant par x^ l’abscisse du de la surface d’un cône parabolique,

centre de gravité on a donc l’ex-

pression :

x^s— j xds— g7:a-^j|i —

et comme nous pouvons écrire :

s=i 2r.ab'k, ou

(lO)

i-orn \ — 7 — Ln+i

on en tire en définitive :

n + aj

c’est-à-dire une expression de la forme :