DU BALLON COMPLET

Surface

Abscisse du centre de gravité.

d’un méridien, et nous admettrons que c’est aussi la longueur de chacune des coutures qui limitent les fuseaux, bien qu’en réalité le nombre des fuseaux se doive réduire en approchant des pointes. Il y aurait lieu, par ce fait, à une légère correction qui est absolument négligeable.

Connaissant la longueur L des coutures, leur nombre N qui est celui des fuseaux et la largeur qu’il convient de compter pour chacun d’eux e, on peut en déduire la surface qu’elles occupent :

(7=NLc.

La largeur dépend, du reste, du nombre de fois que l’étoffe est repliée sur elle -même.

Quant au centre de gravité des coutures, on admet qu’il est sur l’axe et très sensiblement au milieu de la longueur totale du ballon ; son abscisse est donc :

X'i = - — ^ — , et le moment aXV En combinant

ce moment et celui de la surface géométrique de l’enveloppe, on obtient facilement l’abscisse X'\ du centre de gravité absolu de celle-ci, en posant :

X^(S + Œ) = SX, + aXV^ (i3)

^ Exemple numérique. — Sur les données numériques précédentes L = 66,780, N = 61, 6 = 20™“», ontrouve:

(jr=108i«,20, ^ =3a = 16»",243,

moment par rapport au parallèle principal

= 108,29 X 16,243 = 1 757mam.

La surface totale de ce ballon étant 1 719™ et Fabscisse Xj = 14,45,

Volume du cône parabolique* — Le volume d’une tranche comprise entre deux parallèles infiniment voisins x et x-\- dx est évidemment égal à : d\ — T.y^dx,

et comme on peut écrire :

Le volume du cône complet sera donc :

L’intégrale générale est :

Cette expression s’annule pour ^=zo; elle devient :

2if“b

pour X :

(/i+i)(3n+i) ’ b. Donc le volume total est:

\ = TXdb

le premier facteur en évidence ^zaH) esf le volume du cylindre ayant a pour rayon et b pour hauteur.

on a pour le moment de la surface géométrique 24 840m<im- soit au total , en y ajoutant les coutures :

X"i(S + (t) = 26 Ô91mqm,

Or S + (7 = 1 827; d’où X'\=z\\,bQ,

La présence des coutures a donc déplacé le centre de gravité de l’enveloppe de ce qui n'est pas négligeable.

Remarque. — Pour toutes les méridiennes de même degré et de même sommet, le volume est simplement proportionnel à la longueur b du ballon.

Le coefficient -7 — ^ — tt ^ — r croit avec n et

tend vers i. Lorsqu’on prend pour n les nombres entiers successifs, on obtient pour le coefficient les valeurs suivantes :

FRACTIONS

naturelle.

décimale.

naturelle.

décimale.

naturelle.

décimale.

On voit qu’en augmentant le degré îi de la parabole, le volume augmente très rapidement; l’acuité diminue en même temps, ce qui permet de choisir une courbe convenable dans tous les casL

1 Exemple numérique. — Dans un des projets présentés en 1883 par le capitaine Renard , et dont nous avons déjà indiqué les éléments :

c'i = 5"f» ii44o ] ’ < ’ ,,

’ ( JO = 3ti (avant), ' b =9a (arriéré),

on trouvait : V= 797^1,87 (avant),

V' = 31911^1,48 (arrière).

Le volume total était donc de 3 989 mètres cubes. Or en remplaçant la courbe arrière, qui est du quatrième degré, par une

Position du centre de poussée. — Le centre de poussée coïncide avec le centre de gravité du volume du ballon. Il se trouve évidemment placé sur Taxe de révolution, et, pour déterminer son abscisse X2 , il convient de calculer séparément les abscisses des centres de gravité des deux cônes antérieur et postérieur. En désignant ces abscisses par et x\ , on aura :

Nous conviendrons, comme précédemment , de compter les X positifs du côté de l’arrière; il en sera de même des moments positifs. Soit donc, tout d’abord, un cône parabolique de degré n, ayant pour base son parallèle principal passant par le sommet de la courbe méridienne.

Le volume d’une tranche comprise entre deux plans infiniment voisins x et {x dx) est dv = T^y^dx ; et son moment par rapport au plan du maître-couple

est : xdv=.%'f“xdx.

De sorte qu’en désignant par v le volume du cône parabolique, et par x^ l’abscisse de son centre de gravité, on pourra écrire la relation :

VX2 vx^ -f- v'x'2^

et, par conséquent.

parabole du second degré , on ne trouve plus qu’un volume .de 3 175“, 53. La différence en faveur de la forme adoptée est donc 813“3^47.

L’intégrale générale de celte expression est donc :

qui, prise de o à 6, devient, tout calcul fait :

Tt}

Ainsi vx. = T.o}b‘^ — 7 — i — w — ^ — r-

Mais nous avons précédemment trouvé pour le volume V :

U IZCL O j \ / j ^ ,

d’où l’on tire :

^ 4(aI+2) ^

Remarque. — Ainsi l’abscisse du centre de gravité de la masse fluide d’un des cônes ne dépend absolument que de la longueur b du cône à laquelle elle est proportionnelle.

Autrement dit, tous les ballons de même longueur de cônes et de même degré ont les mêmes centres de gravité des volumes.

Pour les valeurs successives de n, on a :

Les abscisses sont ainsi évaluées en valeur absolue et indépendamment de leur signe.

Quant au centre de gravité du volume total, il

se déduit aisément de la relation posée plus haut : VX2 = vx^ -|- v'x'2.'^

Résumé de Tétude des ballons à méridien parabolique. — En résumé, l’établissement d’un projet de ballon allongé comporte :

Le choix des degrés n et n! des paraboles d’avant et d’arrière, et des indices \j. et d’allongement;

2"" La détermination de la longueur du méridien, de la surface de l’enveloppe géométrique, de celle des coutures et du volume engendré ;

S"" La détermination des divers centres de gravité^.

Poids de Fenveloppe. — Le poids de l’enveloppe se déduit très simplement de sa surface, connaissant le poids du mètre carré du tissu.

Force ascensionnelle. — De même la force ascensionnelle résulte du volume calculé, en multipliant ce volume par la force ascensionnelle de i mètre cube du gaz employé.

^ Exemple numérique. — Nous avons trouve pour le ballon

déjà cité : v= 797,87

Le calcul, d'après la formule (16), donne :

et enfin Xg = -j- 13»",604 en arrière du maître-couple.

2 II y aurait lieu de tenir compte des manches à air et à gaz, et en général de toutes les parties accessoires que l’on ajouterait à l’eiivcloppe proprement dite.

Construction par fuseaux méridiens. —

Enfin, pour achever le projet d’un ballon allongé, il reste à établir le patron d’un fuseau méridien, en se servant de la méthode générale que nous avons exposée.

Considérons tout d’abord l’épure de la courbe méridienne d’un ballon parabolique :

Divisons la longueur h de l’axe de révolution en un nombre déterminé de parties égales, et numérotons les

points de division en plaçant le zéro sur le parallèle principal. Les perpendiculaires à l’axe menées par les points de division déterminent sur l’arc de méridien de nouveaux points 2' 3'... m' ; et si l’on remarque que pour l’un quelconque de ces points on a la relation (/n étant le numéro du point) :

et soit

OA = a et OB = 6.

Fig. 46.

on pourra déterminer l’ordonnée par la relation .

où n’entre plus que l’abscisse numérique m.

En prenant les nombres entiers pour les valeurs successives de m, on déterminera ainsi très aisément les différentes ordonnées, et, par suite, la courbe méridienne elle -même.

Or l’épure du fuseau s’en déduit assez simplement.

Cette épure consiste, en effet, à développer en ligne droite l’arc méridien AB avec ses points de division i'2'3'..., et à déterminer la largeur du fuseau ou son ordonnée en chacun de ces points.

Ainsi les abscisses numériques du fuseau ont pour longueurs les arcs Ai', A2', etc. Quant aux ordonnées, remarquons que la longueur d’un parallèle étant 2'jry, la largeur du fuseau ou le double de son ordonnée

L’ordonnée du fuseau est donc la même que celle du méridien à un facteur constant près ; et si Ton

prendre pour l’épure méridienne une échelle telle que

sera :

si N est le nombre total des fuseaux ;

ou bien

remarque que, pour m = o, f^=z^ay il suffira de

cette méridienne représenteront en vraie grandeur les ordonnées du fuseau.

Plus généralement, on déterminera directement par te calcul les éléments du fuseau.

Abscisses du fuseau. — Les abscisses sont, avons -nous dit, les longueurs de l’arc prenant son origine sur le parallèle principal et aboutissant aux divers points de division. Or nous avons vu qu’en

posant — ou = P , la longueur de cet arc

ou l’abscisse du fuseau est reliée à l’abscisse correspondante X du méridien par l’équation (8 ter) :

^2jj2(n-l)

2 (2AI— lu? 8 (4^ l) [J?

i6 (fort — i) JJ.® y

Pour une courbe méridienne donnée par son degré n, et son indice d’allongement jj. , il suffit donc de calculer une fois pour toutes les coefficients ABC, et de dresser le tableau des différents termes pour les valeurs successives de l’ordonnée numérique m ou , ce qui

revient au meme, de p = — p étant constant.

Dans la pratique, il suffira d’avoir, dans la parenthèse, quatre chiffres décimaux exacts, et de calculer, par conséquent , chaque terme avec cinq chiffres seulement. Dès lors, étant toujours plus petit que l’unité, il y aura lieu de ne calculer chaque terme qu’à partir

La Technique du Ballon. 2* édit.

des valeurs de ^ donnant des nombres supérieurs à o,oooo5.

Exemple numérique. — Reprenons lavant du ballon pour lequel a = 5, 4 1 445, n=2, [j. = 3.

Nous diviserons la projection de l’arc d’avant sur l’axe de révolution en 4o parties égales, p = 4o. La longueur totale étant : /> = 3a = i6, 24335 , chaque

division aura 4o6 mm. o83j5.

L’abscisse l du fuseau et celle x du méridien étant reliées par la relation

on trouve facilement :

et l’on peut dresser le tableau dont nous ne donnons que l’indication.