D RS OR

à EE

Soit un fil conducteur rectiligne indéfini dont nous désignerons respectivement par r, {, g la résistance, la self-induction et la capacité par unité de longueur. Si ce conducteur est le siège de courants variables, le potentiel w à l'instant {, en un point situé à une distance z d’un point fixe pris pour origine, est à la fois fonction de £ et de £, et il en est de même de l'intensité ? au même point.

Considérons dans le fil deux sections situées à des distances s et s + ds de l’origine. La quantité d'électricité qui a traversé la section £ pendant le temps d£ est ide, celle qui a traversé la section z + ds pendant le même

di Te Re temps est (1 + = ds) dt, ce qui revient à dire que pen-

dant le temps d, la charge de l’élément d£ a varié de

di De ds dt.

Or, pendant le même temps, le potentiel de ds, dont

; ; dv la capacité est gds, a augmenté de dt. On aura donc :

di dv — ds dE dt gqgds pre dt

ou di dv Te (23) D'autre part, si Pon considère le potentiel v comme une fonction de z, la chute de potentiel dans l’élément dz

dv à : ; est — Re ds. Outre la force électromotrice représentée

par cette chute de potentiel, élément d£ contient encore à gi ù di

la force électromotrice due à la self-induction — /dz —. dt

Comme d’ailleurs la résistance de l’élément est rds, on

a pour l'équation du courant :

dv NL Frs de d= ES ldz n=trdz

dv à di Heure (24)

On obtiendra donc l’équation qui régit les variations du potentiel en éliminant entre (23) et (24). Différentions (23) par rapport à {et (24) par rapport à £; On aura:

; di dv dd de di di

ds A de dt’

Cette équation est ordinairement désignée sous le nom d’éguation des télégraphistes. Dans le cas particulier où v est une fonction périodique, l’intégration peut se faire facilement.

Supposons que v soit de la forme :

v = À sin w{ + B cos wt,

À et B étant des fonctions de à déterminer. Écrivons que celte valeur satisfait à l’équation (25) :

de SD wt+ des 08 w{— rg (wA cos wt — wB sin wt) + w?/g (A sin w{ + B cos w{) —0.

Cette relation devant être satisfaite quel que soit 4, on égalera à 0 les coefficients de sin w{ et cos wt, ce qui donnera deux équations pour déterminer À et B :

d2A de + %grB + w? IgA — 0

dB de: — vgrA + w/JB = 0.

RS PT PMR EE enr A NN De

i, Le EL Ci vt

Posons 4 YA BV:

dons el ajoutons les deux équations (26) après avoir multiplié les termes de la seconde par ÿ— 1 ; il viendra : port en PSE D + (artg apr yo.

C’est une équation linéaire à coefficients constants, dont l'intégrale générale est :

ÿ=Pe 0e" (27) 1) . . .

Pet Q étant des constantes d'intégration à déterminer \ d’après les conditions initiales, 6; et 9, étant les racines { de l'équation caractéristique :

NC eul ! p? De w° lg — wgr VAE 1 —0.

Posons R=—p=p+qV—1, on aura TE Pr p? = 42 Da 1 2 w° lg +wgrW— 1, d’où P°—q = —uvw’lg 2pq = wqr.

Et en remarquant que :

] (p? + ge} ae (p? PES DE ne 4 p°q? ri w+Z2q2 ere w?q?r?,

On a P+g =wg\r + WE —wgd,

en désignant par d le radical ÿ r? + w° 2 ou l’impédance par unité de longueur.

58 LA TÉLÉGRAPHIE SANS FIL On en déduit :

wg 2——<(d—wl p°=-(d— ol) (28)

L’équation (27) peut s’écrire :

eV=1 Le

y=Pel ef rage Te

ou, en appliquant la formule d’Euler :

y=Pel* (cos gs + V—rsin q2) + Qe Fo (cos g5 — VE sin g£),

d’où A — (Pe?° cie QeTP) COS q£

“e) p£ A, DE) :

B — (Pe — Qe ) Sin 42, ce qui donne enfin pour le potentiel » :

v — Pe?* sin (wt+ gs) + Qe ? sin (wt— q5). (29)

Le calcul de l’intensité se fera de la même manière. Si l’on élimine v entre (23) et (24), on obtient l’équation des télégraphistes dans laquelle 7 est l’inconnue :

di di di

Tac 10 9 a 0.

On en déduira comme ci-dessus :

i=P'el” sin (wt+ gz) + Q'e mÉSin (wt— gz). (30)

Lorsque le conducteur est indéfini, le potentiel et l’intensité doivent décroître quand s augmente et, par suite, les termes qui contiennent e” doivent être nuls. Mais il n'en est plus de même si la longueur du fil est limitée; après avoir atteint l'extrémité isolée, l’onde est réfléchie et revient en arrière, de sorte qu’en chaque point, le po-

ET LES ONDES ÉLECTRIQUES 5g

tentiel et l'intensité peuvent être considérés comme résultant de la superposition de deux ondes se propageant en sens inverse. (est ce qu'indiquent alors les équations (29) et (30).

La vitesse de propagation, qui est la même pour les , , se :

deux ondes, est égale à —, et le facteur exponentiel monq

tre qu'il y à amortissement. Dans le cas particulier qui nous occupe, on peut, en raison de la faible longueur de l’antenne, négliger cet amortissement, ce qui revient À faire p —

Les on (28) donnent alors

d—wl=0 20:

C'est-à-dire que le fil est considéré comme un conducteur parfait. On sait que cette hypothèse est permise dans le cas des vibrations très rapides.

On à alors :

g== lt et la vitesse de propagation se réduit à :