Équation de la propagation le long d'un
il. — Soient r la résistance du fil par unité de ongueur, c sa capacité et l sa self-induction,
Fig. 35.
également par unité de longueur. Soient v le potentiel en un point du fil, x la coordonnée prise suivant son axe. Nous allons écrire Texpression des lois du courant continu ou du courant à variation lente, étudiée dans la théorie ordinaire de Tinduction.
LA PROPAGATION LE LOMG D'UN CONDU
La force électromotrice entre A et aux potentiels c et c + dv est — -r allons exprimer que cette différence c est égale à la somme de celle qui saire pour vaincre la résistance ohm et de la force électromotrice de sel.
l^.dx; ilvient, en divisant par dx,
Écrivons que la variation de la qu lectricité qui passe dans le temps dt p sections distantes de dx, est due à I d'électricité accumulée à la surface lui donner le potentiel électrostatit La variation de la quantité q d'éle( — ^-—dxdt, ia quantité absorbée pj le long de l'élément dx est c^ d aurons
donc (2)
Nous négligeons la perte par défaut d'isolement.
( 1 ) donne
d^v ai . à ai dv . â^v
()X^ ÔX àt ôx àt àt^
ou
âx^ Ot' àt
Introduisons ici Thypothèse que le point considéré est le front de Tonde, c'est-à-dire
^ = 0, il reste —-j- = l^-jn' qui montre que
Tonde a une vitesse égale à i/y
Nous avons supposé essentiellement, pour établir cette équation, Texistence des lois de Tinduction relative à des ondulations infiniment lentes et, par conséquent, nous n'avons pas considéré ce qui se propage dans le diélectrique avec la vitesse de la lumière. Ceci ne pourra donc s'appliquer qu'un temps fini après le commencement de la perturbation.
Si nous supposons négligeable la self-induction, nous voyons que cela revient à supposer infinie la vitesse de propagation; c'est-à-dire que nous étudions avec une certaine approximation ce qui se passe au bout du câble.
Notre approximation ne sera donc permise que
LA PROPAGATION LE LOXfi D'CX CONDUCTEUR. 191
quand le temps sera assez grand entre l'origine de la perturbation et le moment (•""=! ^''^'-•1 Dans ces conditions, l'équation devi<
C'est cette équation qui donne la co là fig. 12. On suppose que cette cou simultanément en tous les points du
101. Circuits innniment petits. l'Bi duction. — Si nous supposons maint capacité nulle, nous n'avons plus qu'à l'équation (1), Supposons le circuit, i ramassé, c'est-à-dire tel que la pe.
puisse être considérée comme simu tous ses points, et prenons d'abord ii bobine d'induction, celui où l'on f force électromotrice constante sur 1 Dans ce cas, puisque nous considén circuit comme un élément, ( et r de la self totale L et la résistance totale cuit. 11 vient alors, en appelant E électromotrice constante,
(3) E = Ri + L^.
Dans cette équation, les variable
parées, en a donc i on fonction de t par une simple intégration
•' di L, E-iR
OU
r^ = io intensité finale en régime permanent
on peut écrire
La fraction -
— io
au
bout
lo
d'autant plus petite que jj sera plus grand.
r est ce qu'on nomme la constante de temps du circuit. Si l'on veut savoir le temps au bout
duquel — ^ sera une fraction — - donnée, on
log représente le logarithme népérien,
102. 2"" Décharge d'un condensateur dans une self-induction. Formule de Thomson. — Nous
LA PROPAGATION LE LONGr D'UN CONDl
allons encore supposer que la perti simultanée dans tout le système, instant déterminé, q la charge du teur, sa différence de potentiel serj sa capacité. Si i est l'intensité dar rejoint les deux armatures, et si R ( tance et L sa self, écriTons que, d'aj tion(3),E = Ri + L5J. Ici, E = |.
donc il vient
Cherchons à résoudre cette équal sant q = e^', il vient
e»'rLaî-HRa+ i^=0.
L'équation. sera satisfaite si a e deux racines de La'+Ra + - = solution sera
A et B étant déterminés par la con à l'origine, ( = 0, i = 0, q = Q.
Les racines sont
Les exponentielles seront réelles si
Le
elles seront
imaginaires
si
Le
c'est-à-dire
^<yi
Dans ce cas, la partie réelle de la solution sera une fonction circulaire.
Posons alors
2L=^' Vl^-
il vient
a = — a in -
et la solution sera
q = e-af / A cos- -h B sin -
par la formule d'Euler;
LA PROPAGATION LE LONG d'UN CONDUCTEUR. 195
ce qui peut se mettre sous la forme
g = K e-«' sin ( — h «p )
Où
K = v/A2 ■+- B2 et tangcp=;5;
ce qui montre que la décharge sera oscillante et amortie; le coefficient d'amortissement
sera a= -rr-et la période sera T = -^ •
