ET SES APPLICATIONS A LASIROXOMIE

lion pas II ~ — » mais

<:'est-à-dire approximativement h '^ ( i — — ); le

second terme correspond au transport partiel de l'onde lumineuse proposé par Fresnel, et ce résultat est d'accord avec une expérience célèbre de Fizeau faite en i85i. Remarquons d'ailleurs que, dans le raisonnement précédent, on étend à un milieu transparent le postulat de l'isotropie de la vitesse de la lumière admis pour le vide.

13. D'après la théorie de la relativité restreinte, il n'y a pas pour les phénomènes d'échelle absolue de mesure, indépendante des systèmes dans lesquels ils sont observés. En outre, le temps et l'espace jouent des rôles analogues, sinon identiques, dans les équations. Il n'y a donc pas, dans la doctrine de lîi relativité, d'un côté un espace (^x^y^z) et un temps /, mais un continuum {x, y^ z. t) à ^«a^re dimensions. Les phénomènes se passent dans ce continuum que Minkowski appelle l' Univers. Cette idée a été exprimée par ce géomètre dans une conférence faite en 1908, trois ans après l'apparition du premier Mémoire d'Einstein, sous la forme suivante : « Dès maintenant l'espace indépendant du lemps et le temps indépendant

J| LA TllÉOUIK L)i: LA lUÎLATIVIÏi:

(le Fespace ne sont pins que des ombres vaines; unr sorte (l'union des deux doit seule subsister encore. - Un événeuient est représenté par Lin point ôr r Univers, et il décrit dans ses modifications if/ir lis://:* (T Univers. L'expression

r/.v2 = c2 (II- — cil- — il \- — dz~

ne change [)as quand on efïeclue sur x^ j', :;, i le> Iransformalions du groupe de Lorentz, et l'Intégrale

prise sur une ligne d'Univers entre les événemeni-correspondant à ses extrémités A et B est appeler V intervalle entre ces événements. Guidé par d( ^ analogies avec la théorie des lignes géodésiqnes des surtace est l'ordre d'idées se rattachant au principe de la moindre action, on pose qu'un mobile libre décrit une géodésique de l'Univers de Minkowski, et ([ue, par suite, pour la trajectoire de ce uiobile, la variation de l'intervalle entre deux événements est égale à zéro, ce qui s'exprime par

0 étant le symbole ordinaire du calcul des variatioir-.

Un calcul facile montre que, ces trajectoires sont des

lignes droites parcourues uniformément. Les ravons

Jumineux sont des géodéslques de longueur nuJh'

{fls:=zo\.

Er SI:ï; ACI'l.iCA !!()>> A I, VSTilOXO.M I L'. I >

1 i. Einstein a été peu à peu conduit à une extension considérable de sa première théorie. Reprenons II' f/s- envisagé plus haut:

Si, au lieu des coordonnées :r, j', ^, t, nous taisons Usage de coordo/inées généralisées x s , oc -y-, .x':{, OO',, de telle sorte que ^, T', z. t soient des fonctions de x^i r.,, .^3, ^/,, ds- deviendra une expression de la forme

( r. . ds"- = :^ gij, dvi dxi, {gifc = gu) {i, k = 1, 2, 3, 4 )-

les g- étant des fonctions de .x,, x^-, x^, x.r^ ; on peut, par exemple^ supposer que :r,, .ro, x^ sont des coordonnées curvilignes dans l'espace ordinaire et x.'^ une coordonnée relative à une horloge chargée seulement de définir Tordre de succession des événements autour du point (.r,, a?2, ^a)- A l'Univers envisagé se iiiuive ainsi attachée une certaine forme (G).

Prenons maintenant la question en sens inverse, et donnons-nous arbitrairement r/i:r fonctions ^^de x^, X21 ^3, X't et, par suite, la forme quadratique (G) de flilTérentielles. Un problème se pose d'abord : peut-an de (G) remonter à (5) en prenant pour les xi des lonctions convenables de x, }', v, /? La réponse est négative : la chose n'est possible que si les g satisfont à rinnt relations renfermant les g et leurs dérivées |iîirtielles jusqu'au second ordi'e. Si ces conditions

J(j LA THKORIE DE LA UELATIVITÉ

lier

sont remplies, on dit que l'Univers correspondanl (6) est euclidien ('); il en est ainsi, en particnli quand les g sont des constantes.

Supposons-nous maintenant dans le cas général, où l'Univers donné par (G) n'est pas euclidien. Nous considérons alors en un point déterminé, d'ailleurs quelconque, de cet Univers un Univers euclidien qui lui soit tangent. Voici ce qu'on entend par là. Le point étant donné., la formé quadratique (6) est une forme quadratique des dxi à coefficients constants. On peut alors choisir dx^ dy\, dz, dt fonctions linéaires et lïomogènes de r/j;,, dx2^ dx,i, dx;,^ de telle sorte que (5) se transforme en (6). Notre Univers initial a été ainsi transformé en un Univers euclidien, mais seulement dans le voisinage du point envisagé : cet Univers euclidien est V Univers tangent en ce point .

Dans les univers euclidiens tangents aux divers points, supposons, pour fixer les idées, que les observateurs prennent pour unité de longueur une certaine

(') Avec plus de précision, une forme telle que (6) est dilr euclidienne quand elle est susceptible d'être ramenée à la forme

les X étant des fonctions des x, la trao&foriration étant conipJexc aussi bien que réelle; ceci correspond à ce que Uiemann appelait espace /dan. Si l'on reste dans le domaine ré<l, certains carrés pourront ôtro précédés du signe moins; c'est ce qui arrive pour la forme (5), et il peut arriver alors que toutes les variables ne jouent pas le même rôle, tel le temps dans cette dernière forme. Aussi faut-il parler d'analogie et non d'identité entre l'espace et le temps.