PAR

Introduction.

Hypothèses fondamentales.

$ 1. Dans un des plus beaux chapitres de son Traité de

l'électricité et du magnétisme, Marwell fait voir comment

les principes de la mécanique peuvent servir à élucider les questions d’électrodynamique et la théorie des courants induits, sans qu'il soit nécessaire de pénétrer le secret du mécanisme

k qui produit les phénomènes. L’illustre savant se borne à un petit nombre d’hypothèses, que tous les physiciens connaissent et dont on me permettra de rappeler ici les principales.

Les anciennes théories opéraient avec un ou deux fluides

u électriques. qui seraient en repos dans les phénomènes élec- £] trostatiques et dont le déplacement constituerait un courant. Maxwell admet également que les systèmes dont on s'occupe

en électrostatique se trouvent en repos et que ceux où il y a des courants sont le siège d’un véritable mouvement; mais, selon lui, ce dernier n’est pas simplement le déplacement

d’une matière électrique et ce qui se passe dans les fils con- # ducteurs ne constitue pas le mouvement entier.

C’est là un point d’une importance fondamentale. On sait

que Maxwell, en suivant la voie tracée par Faraday, cherche

À expliquer par l'intervention du milieu toutes les actions qui

Mc.

ns me AR) te ee ce © benne MMA ee ee ne ua

ou +. = ——

à H. A. LORENYŸZ.

semblent s'exercer à distance, le milieu étant tantôt l’éther qui transmet les vibrations de la lumière, tantôt un corps pondérable. Si des fils de métal sont parcourus par des courants électriques, les “particules du milieu ambiant sont animées d’un certain mouvement, que j’appellerai le mouvement électromagnétique et qui consiste probablement en une rotation autour des lignes de force magnétique. Selon Maxwell, la force vive de ce mouvement est précisément l’énergie electromagnétique dont, “indépendamment de toute théorie, les expériences ont révélé l'existence et fixé la valeur et que la théorie répartit d’une manière déterminée sur les différentes parties de l’espace. * Remarquons, dès à présent, que dans un même élément de volume un courant électrique et un mouvement électromagnétique peuvent exister simultanément.

$ 2. Dans une autre hypothèse de Maxwell il est question des liaisons entre les différentes parties du système mobile. Figurons-nous un certain nombre de circuits linéaires qui se déplacent d’une manière quelconque et supposons pour un

* moment qu’il n'y ait aucun courant électrique. Si les fils

conducteurs $ont entourés d’un milieu pour lequel ils ne sont pas parfaitement perméables, leur mouvement äonnera lieu à un déplacement de ce milieu; en outre, dans une théorie générale, il faudrait admettre que des corps quelconques, placés dans le voisinage des conducteurs, peuvent se mouvoir indépendamment de ces derniers. Toutefois, pour simplifier, je me bornerai au cas où, tant qu'il n'y a pas de courants, le mou-. vement du système entier est connu, lorsque celui des circuits est donné.

* Si maintenant, sans rien changer au mouvement des conducteurs, on y établit des courants électriques, les choses se compliqueront davantage : outre les mouvements qui existaient déjà, ceux que nous avons appelés ,électromagnétiques” prendront naissance. Je désignerai par P les points matériels qui prennent pari à ce nouveau phénomène et je supposerai que, pour un certain moment {,, on connaisse la position de chaque

tA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 8

circuit et celle de tous les points P. Cela posé, l’hypothèse de Mazxwell peut être exprimée en ces termes:

En vertu des liaisons qui existent dans le système, les posi-X"

tions des points P à un instant ultérieur { sont entièrement déterminées dès qu’on connaît les nouvelles positions des circuits et, pour chacun d’eux, la quantité d'électricité qui, entre les moments {, et {, a traversé une section.

Cette quantité d'électricité est ici regardée comme une somme algébrique, les signes + et — étant employés pour indiquer

si l'électricité se déplace dans un sens ou dans l’autre. Lorsque X”

à est l’intensité d’un courant prise avec un signe qui en déter-

mine la direction, la quantité dont je viens de parler peut

être représentée par l'intégrale Î idt et lhypothèse elle-

même revient à ce qui suit: | (A). Si deux mouvements différents du système s'accordent en ce qui concerne la position primitive du système tout en-

“pe.

tier, la position finale des circuits conducteurs et les valeurs .

des intégrales ( tdt, ces deux mouvements conduiront äux

mêmes positions finales des points P.

Un état de repos peut être envisagé comme un cas parti-

culier de mouvement. Or, un tel état, sans aucun courant

électrique, peut être substitué à l’un des deux mouvements dont il vient d’être question; pour que cela soit permis, il

suffit que dans l’autre mouvement toutes les intégrales Î idt

s’annulent et que ce mouvement reconduise les circuits à leurs positions initiales. On arrive ainsi à cette conséquence :

(B). Si, à la suite de déplacements quelconques, tous les circuits se retrouvent dans leurs positions primitives et que, dans le cours de ces déplacements, chaque section ait été traversée dans les deux directions opposées par des quantités

égales d'électricité — c'est-à-dire si pour chaque circuit ( idit—=0

— toutes les particules qui prennent part aux mouvements électromagnétiques se retrouveront dans leurs positions primitives.

Du reste, cet énoncé n’est pas seulement une conséquence de l’hypothése (A); l'inverse a également lieu. Un raisonnement bien simple conduit à la proposition (A) si on prend pour point de départ l’assertion (B). Pour abréger ce raisonnement, je désignerai par la lettre U les positions des circuits et par W celles des points P.

Remarquons d’abord que la proposition (B) conduit iminédiatement au corollaire suivant: Si, dans un certain mouvement, les circuits et les points P ont les positions initiales U et W et les positions finales U” et W', tandis que les in-

tégrales ( idt ont les valeurs 4, le renversement du mouvement des circuits, c’est-à-dire le déplacement U” — U, lorsqu'il est accompagné de courants tels que ( idt = — +, impliquera

nécessairement le déplacement W'— W.

Cela posé, on peut considérer deux mouvements I et II qui commencent avec les mêmes positions U, et W, et qui aboutissent, le premier aux positions U, et W,, le second

aux positions Ü, et W',, l'intégrale ( idt ayant, pour chaque

circuit, la même valeur +: dans les deux cas. Or, en commençant par les positions U, et W,, on peut d’abord renverser le mouvement Ï, ce qui rétablit les positions LU, et W,, et on peut faire suivre le mouvement IT, ce qui conduit aux positions U, et W,". Les circuits se retrouvent alors dans leurs positions primitives ÜU, et une section d’un d’entre eux a été traversée d’abord par la quantité d'électricité — # ct ensuite par la quantité + «. La proposition (B) exige donc que les positions W, et W,' coïncident et voilà précisément ce que Maxwell suppose dans la proposition (4).

Cette hypothèse, qu'on peut à volonté présenter sous l’une ou l’autre des formes (4) et (B), a un défaut. C’est qu'il est

difficile d'imaginer un système matériel dans lequel les choses |» se passent de la manière supposée. Cependant, elle ne semble contenir rien d’impossible. C’est du reste un point sur lequel Je reviendrai.

Après avoir posé -les principes que je viens de résumer, Maxwell applique les équations de Lagrange; il arrive ainsi à des formules bien connues pour les forces électrodynamiques et pour l'induction des courants. Les forces extérieures qui entrent en jeu sont d’abord des forces ordinaires qu’on fait agir sur la matière pondérable des conducteurs, en second lieu les forces électromotrices telles qu’elles existent dans les éléments voltaïques et les couples thermoélectriques, enfin la résistance qui s'oppose au mouvement de l'électricité et qui peut être comparée à un frottement. |

$ 3. Les équations qui déterminent les mouvements de l’électricité dans des corps à trois dimensions ne résultent pas, dans le livre de Maxwell, d'une application directe des lois de la inécanique; elles reposent sur les résultats qui ont été obtenus pour les conducteurs linéaires. ‘

De plus, elles n’ont pas la forme la plus simple que l'on . puisse leur donner; 1l est même difficile d’y voir clair, à + cause d’un certain nombre de quantités auxiliaires qu’on en peut éliminer. C’est ce qu’a remarqué, il y a déjà quelques années, M. Heaviside '). Récemment, M. Hertz?) a repris le problème; 1l a établi, d’abord pour des systèmes en repos, et ensuite pour des corps mobiles, un système d’équations, de forme très-simple, qui peuvent rendre compte des phénomènes observés.

Il y a une différence essentielle entre la méthode de M.X

ee

1) Heaviside, On the self-induction of wires, dans Phil. Mag., 5th ser., vol. 22, p. 118 (1886).

2?) Hertz, Ueber die Grundgleichungen der Electrodynamik für ruhende Kôrper, dans Wied. Ann., Bd. 40, p. 577 (1890); Ueber die Grundgleichungen der Electrodynamik für bewegte Kôrper, Wied. Ann., Bd. 4, p.369 (1890).

Hertz et celle de Maxwell. M. Hert: ne s'occupe guère d’un rapprochement entre les actions électromagnétiques et les lois de là mécanique ordinaire. Il se contente d’une description succincte et claire, indépendante de toute idée pré-

A conçue sur ce qui se passe dans le champ électromagnétique.

Inutile de dire que cette méthode a ses avantages. Cependant, on est toujours tenté de revenir aux explica-

, tions mécaniques. C’est pourquoi il m’a semblé utile d'appliquer

directement au cas le plus général la méthode dont Maxwell a donné l’exemple dans son étude des circuits linéaires. J'avais encore un autre motif pour entreprendre ces recherches. Dans le mémoire où M. Hertz traite des corps en mouvement, il admet que l’éther qu’ils contiennent se déplace avec eux.

‘+ Or, des phénomènes optiques ont depuis longtemps démontré

qu'il n'en est pas toujours ainsi. Je désirais donc connaître les lois qui régissent les mouvements électriques dans des corps qui traversent l’éther sans l’entraîner, et il me semblait difficile d’atteindre ce but sans avoir pour guide une idée théorique. Les vues de Maxwell peuvent servir de fondement à la théorie cherchée. Toutefois, avant d’aborder les questions qui m'intéressaient plus spécialement, j’ai cru devoir considérer les cas que M. Hertz a aussi étudiés !).

1) Après avoir achevé ce Mémoire, j'ai lu une publication récente de M. Bollzmann, intitulée: » Forlesungen über Maxwell's Theorie der Electricilät und des Lichtes” (Ier Theil, Ableitung der Grundgleichungen für ruhende, homogene, isotrope Kôrper) dont l’objet principal est explication mécanique inaugurée par Maxwell. Bien que nous ayons été guidés, M. Bollzimann et moi, par la même idée fondamentale et que plusieurs de nos résultats soient équivalents, nous avons souvent employé des méthodes

” différentes et les questions que nous avions en vue n'étaient pas en géné-

ral les mêmes,

Le principe de d’ Alembert.

$ 4 Comme je me servirai à plusieurs reprises du principe de d’Alembert, je commencerai par lui donner une forme propre aux applications spéciales que je me propose.

Considérons un système matériel dont les points sont assujettis à certaines liaisons, En vertu de ces deraières le système ne peut pas prendre toutes les positions ou configurations imaginables, et, une position déterminée étant donnée, les points. matériels ne peuvent pas recevoir des déplacements arbitrairement choisis. Je nommerai m,, m,,... les masses de ces points, æ,, Y,, Z,, To, Ya, 22,-.. leurs coordonnées, ,, Y,,2,, À,, Y,, Z,... les composantes des forces auxqueiles ils se trouvent soumis, et je supposerai que toutes les variations infiniment petites dt,, 0y,, d2,, dæ,,... qui peuvent avoir lieu à partir d’une position déterminée par x ,,y,,2,, Ta; Ya Zope satisfont à un système d’équations homogènes et linéaires: a, x, +b,0y, +c, 02, +4:07,.+....—=0) a, 0%, +b, y, +c'dz, +a' dx, +... 0, ... . .(1)

Les coefficients a, b,c dépendront de la position, c’est-à-dire des coordonnées x,y,2, mais je supposerai que le temps t{ n’y ‘ entre pas explicitement.

J'indiquerai par LT, Yis Zi Zoe, -. . les vitesses et par g h y 1 21, &,... les accélérations des points matériels dans le mouvement qu’on étudie. Alorsle principe de d’Alembert exige que l’on ait:

S(Xdx+ YÜy+ 70) =2m(Txôx+y y +202) pour toutes les valeurs des variations qui sont compatibles avec les conditions (1).

La dernière formule peut être mise sous la forme:

DA—Em(xd0x+ydy+z02), Los (2) 0 À étant le travail des forces qui correspond aux déplacements virtuels d +, dy, d2z.

$ 5. L'équation renferme seulement les valeurs de ces déplacements relatives au temps {. On peut cependant attribuer une variation infiniment petite non seulement à la position qu'occupe le système à cet instant, mais -aussi aux autres positions qui se succèdent dans le cours du mouvement réel. Les variations des coordonnées doivent dans ce cas être considérées comme des fonctions de {, fonctions que je supposerai continues, et on peut imaginer un mouvement dans lequel le système prend à chaque instant la position variée dont il vient d’être question. Ce nouveau mouvement sera nommé le mouvement varié. La variation que subit une fonction quelconque des coordonnées et des vitesses, si, en laissant le temps constant, on passe du mouvement réel au mouvement varié, sera désignée par le signe 0.

Mettons l’équation (2) sous la forme:

.dox -düy - dôz

d 847 2m(x0x +yÜy +207) — 2 m(x it +Y-x +24)

et représentons par T l’énergie cinétique du système 02 2 .?

Zim(r +y +2).

Comme on a

dôx ,.- dy + dôz .:

ae D ge UV GE 0% on trouve

LES CTÉ 298 + 7)=0T.

D'autre part, l'expression SE m(zôr+y8y+202)

est évidemment la variation qu’on donnerait à T'si on imposait /

| aux vitesses +, y, z les variations dx, dy, d2 que subissent en réalité les coordonnées. En indiquant par d’ T' cette variation de T, on trouve

; d à LE 0 À = TE — 0............ (3)

Dénominations et signes mathématiques employés dans ce mémoire.

$ 6. a. La direction d’une rotation dans un plan et la direction d’une normale à ce même plan seront dites correspondre l’une à l’autre si le premier mouvement est opposé à celui des aiguilles d’une montre posée sur le plan et ayant le cadran tourné vers le même côté que la normale.

b. Les axes des coordonnées, OX, OF, OZ, seront choisis de manière que la direction de O7 corresponde à celle d’une rotation de 90° de OX vers OF.

c. Un espace, une surface et une ligne seront désignés respectivement par 7, 5, et s, les parties infiniment petites dans lesquelles ils peuvent être divisés par dr, do, ds.

d. La normale à une surface quelconque 6 sera toujours dirigée vers un côté déterminé qu’on nominera le côté positif. Dans le cas d’une surface limitée, la direction de la normale et la direction positive le long du contour s seront liées l’une à l’autre par la règle suivante:

Dans un point P de la surface, tout près du bord, la direction de la normale doit correspondre à celle de la rotation que subit la ligne PQ si le point Q parcourt dans le sens positif la partie du contour qui se trouve dans le voisinage de P.

e. La normale à une surface sera toujours désignée par la lettre n, et une direction quelconque dans le plan tangent par la lettre À.

f. Nous aurons à considérer un grand nombre de fonctions qui dépendent des coordonnées x, y, z et peuvent dépendre en outre du temps t. La distribution d’une telle fonction, c’està-dire la manière dont elle varie d’un point à l’autre, sera déterminée par des équations de deux sortes, les unes relatives aux points de l’espace, c’est-à-dire à tous les points où il n’y a aucune discontinuité, et les autres relatives aux points des surfaces qui séparent deux corps ou milieux différents et où des discontinuités peuvent se présenter.

Pour distinguer dans ces dernières équations les quantités qui se rapportent au premier ou au second corps, on fera usage des indices 1 et 2. Aïnsi la continuité d’une fonction # sera exprimée par l'équation :

Ps — Po:

La normale sera toujours dirigée vers le côté qui est indiqué par l'indice 2.

g. Un vecteur sera représenté en général par une lettre grasse et la composante d’un vecteur À suivant la direction l par le signe Ar.

Pour connaître la distribution d’un vecteur A il faut que l'on connaisse la distribution des trois composantes À. A,, A.

Un vecteur aux composantes X, }, Z sera aussi représenté par le signe (X, }, Z).

h. La distribution d’un vecteur À sera dite solénoïdale lorsque dans tous les points de l’espace les composantes sont égales à celles de la vitesse dans un mouvement possible d’un fluide incompressible. Pour qu'il en soit ainsi, il faut que

0 Az 0 À, d Àz 0x 7 0 y Er et . (ÀA,), = (À, ):.

à. L'intégrale

JA do nt sera nommée l'intégrale du vecteur À étendue à la surface #,

et par l'intégrale du vecteur prise le long d’une ligne s on entendra l’expression

JA. d 8.

j. Le signe À aura la signification suivante: 0? 0? C2?

k. L'expression M (=) N

signifiera que les quantités M et N sont du même ordre de grandeur.

en

CNRS