CHAPITRE IT

Mouvements électriques dans des corps qui se trouvent en repos.

Valeur de l'énergie cinétique.

$ 7. Considérons un système quelconque de corps, conducteurs ou diélectriques, homogènes et isotropes ou non et remplissant l’espace infini, l’un d’entre eux pouvant être l’éther de l'optique. Dans tous ces corps, même, suivant les idées de Maxwell, dans l'éther, le phénomène qu’on appelle un courant électrique peut avoir lieu. Le courant mesuré en unités électromagnétiques sera représenté par C, et pour abréger j’écrirai u, v, w, au lieu de C., C,, C.. Avec Maxwell je supposerai que la distribution du courant est toujours solénoïdale. Il faut donc que l’on ait:

0 w OV OW

et (Cr), = (Cna ........... (5)

$ 8. L’explication des phénomènes d’induction au moyen de la masse des particules qui prennent part aux mouvements électromagnétiques constitue un des traits caractéristiques de la théorie de Maxwell. Or, dans l'équation (3) qui exprime le principe de d’Alembert, la masse des points matériels est implicitement renfermée dans le second membre; on est donc amené à considérer en premier lieu la valeur de l'énergie cinétique 7 dans un système où il y a des courants électriques. Suivant Marwell, cette énergie n'est autre chose que celle désignée par le nom d’énergie électromagnétique. La valeur en peut être calculée au moyen de deux vecteurs qu’on appelle la /orce magnétique et l'induction magnétique.

La force magnétique et ses composantes seront représentées par H, «, ÿ, 7, l'induction magnétique et ses composantes par B, a, b, c. |

& 9. Voici les propriétés de ces deux vecteurs qui servent à les déterminer dès qu’on connaît la distribution du courant électrique :

1. La distribution de l’induction magnétique est solénoïdale.

2. L'intégrale de la force magnétique, prise le long du contour d’une surfuce limitée quelconque, est égale au produit par 4 x de l'intégrale du courant électrique étendue à cette surface.

3. À chaque point de l’espace les deux vecteurs sont liés l’un à l’autre par des équations linéaires:

Eu, + y + Hao,z 7 b—u, ,« +u, , 8 PE - (6) C—= or x + H,y b + nu, 21.

dans lesquelles on a toujours: | Mg y, PRE nn 7 L Mr Mo, z mt (7)

Les coefficients # sont des constantes dépendant des propriétés magnétiques du corps dont il s’agit; ils peuvent varier d’un point à l’autre. Dans un corps isotrope, y, ,, u, , et “, , Ont une valeur commune « et les autres coefficients sont nuls. Dans l’éther on a u = 1; les deux vecteurs H et B se confondent par suite en un seul.

En adoptant les équations (6) nous avons exclu les cas où l’aimantation n’est pas proportionnelle à la force magnétique et ceux où il y a du magnétisme permanent.

Quant aux propriétés de l'induction et de la force magnétiques que je viens de rappeler, elles se traduisent par les

formules suivantes:

da 0 b dc

32 5y 732 — es. (8) (By), — (Bu), ........... @ D 3 à) j | LM narude 97 Lau, op d& Fa — 3 —=4ru, \

Par .un artifice mathématique que je passerai sous silence on démontre que les vecteurs B et H sont complètement déterminés par les conditions 1, 2 et 3.

= &$ 10. Une fois la force et l'induction magnétiques connues, l'énergie cinétique est donnée par la formule:

T= gf(as+b8+ends Lee. (12)

L'expression e (ax + bB+c;7)dr représente l'énergie TC

cinétique qui se trouve dans l'élément dr.

Cette manière de voir implique deux conditions. Il faut d’abord que la force et l'induction magnétiques aient une telle signification physique qu’elles puissent déterminer le mouvement électromagnétique dans chaque élément de volume. En second lieu, les coefficients # dans les équations (6) doivent être tels que l’expression a « + b $ + c ; soit toujours positive. Dans tous les cas connus cette condition est satisfaite.

L'intégrale (12) doit être étendue à l’espace infini, et 1l en sera de même de plusieurs autres intégrales que nous rencontrerons. Je supposerai que toutes les fonctions qui servent à déterminer un dérangement de l’état naturel du système, telles que u, v, w, «, B, 7, a, b, c, sont nulles à l'infini, et qu'à une grande distance elles diminuent même si rapidement que des intégrales telles que celle de l'expression {12) restent finies.

J'aurai plusieurs fois à appliquer l'intégration par parties à des intégrales relatives à un espace. Si cet espace est contenu dans une surface fermée $S, cette opération conduit, comme on sait, à une intégrale étendue à cette surface. Or, je supposerai, une fois pour toutes, que dans les cas que nous aurons à étudier cette intégrale tend vers la limite 0 si les points de la surface S s’éloignent vers l'infini.

Enfin, dans l’énumération des propriétés qui servent à déterminer telle ou telle fonction, la condition qu’elle s’évanouit à distance infinie seru souvent tacitement admise.

Variation de l'énergie cinétique.

$ 11. Supposons que les composantes uw, v, w du courant électrique subissent des variations infiniment petites du, dv, ÿw qui sont elles-mêmes les composantes d’un vecteur à distribution solénoïdale. Indiquons par le signe 5 les variations correspondantes des quantités qui dépendent de u, v, w et calculons la valeur de à 7.

Free (12) donne:

ST—= a J(asa+d3g+e3y+aia +BSb+yôc)dr,

mais‘en vertu des relations (6) et (7) cette formule peut être remplacée par la suivante:

iT= an [Ga+b38+car .... (13

$ 12. Introduisons un vecteur auxiliaire dont les composantes F, G, H sont déterminées par les équations :

oH 1, F 0H, 0G 9F dy 0 92 x — Dr 0 0F 0G 0H . . (14) dx TT 5y T 3 — | F =F,,G,=G,, H, =H,.

Grâce à la propriété fondamentale de l'induction magnétique ($ 9, 1), on peut toujours satisfaire à ces conditions ; de plus, on ne peut le faire que d’une seule manière. Le vecteur (F, G, H) se trouve donc entièrement déterminé. L’équation (13) devient

MR f(GE-D + CE) o+

ou, si on applique l'intégration par parties:

F r=f[r (5 " + GR) +

+ H " Jér.

Dans la dernière opération on a eu égard aux trois dernières des formules (14) et à la condition de continuité: