PS EE
Pour simplifier les calculs, cette densité sera regardée comme une fonction continue des coordonnées; on supposera donc que la valeur de ©, 0 à l'extérieur d’une particule et positive ou négative à l’intérieur, ne présente pas une transition brusque, à la surface. Cette dernière hypothèse nous donne le droit de regarder comme continues toutes les variables qui dépendent des coordonnées.
Du reste, x, y et z désigneront les coordonnées d’un point immobile dans l’espace. En général, toutes les quantités variables seront des fonctions de x, y, z et du temps t.
c. Les particules se comporteront comme des corps rigides ; x elles ne pourront donc avoir d’autre mouvement qu’une translation et une rotation. Dans ce mouvement, chaque point d'une particule conservera la même valeur de o. Les valeurs de f, g et h dans l’éther, lui-même immobile, doivent changer de telle façon que ce soit chaque fois dans un nouveau point de l’espace qu’il est satisfait à l'équation (51).
d. Je désignerai par £, 7 et Ë les composantes de la vitesse d’un point d’une particule chargée, et je supposerai que le Courant électrique” — c’est-à-dire le vecteur qui donne lieu à une énergie cinétique de la grandeur à indiquer tantôt — a pour composantes:
n) n) oh u=es+ 5, w=ei+ss.. (62).
À l'appui de cette hypothèse, que j'ai empruntée à M Hertz, . on peut rappeler l'expérience bien connue de M. Rowland, dans laquelle la rotation rapide d’un disque chargé a produit les mêmes effets électromagnétiques qu’un système de courants circulaires. Elle a démontré que le déplacement d’un corps chargé constitue un vrai courant électrique, ce qui d’ailleurs est conforme à la théorie généralement acceptée de l’électrolyse.
Or, on mesure toujours les composantes d’un courant par les quantités d'électricité, rapportées à l’unité de surface et à l’unité de temps, qui traversent des éléments de surface per-
V—= on +
pendiculaires aux axes des coordonnées. Si donc l’unité de volùme d’un corps chargé, animé de la vitesse (£, 7, 6), contient la quantité d'électricité op, les composantes du courant seront e Ë, en, ec.
D'un autre côté, on admet dans la théorie de Maxwell que les variations du déplacement diélectrique constituent un cou: rant aux composantes e 2, 2h . Les équations (52) expriment donc que le vecteur dont dépend l'énergie cinétique est composé des deux courants dont nous venons de parler.
Ce ,courant total” a la propriété importante que la distribution en est solénoïdale,
En effet, dans le mouvement d’un corps rigide on a:
et par conséquent :
Du ou, Du 2e,,e,re, 2 of | 29 —) 0% Oy Dz2 E dy 0z dt \ox dy D2/?
ou bien, en vertu de la formule n Ju dv dw DJe do Dz l0y T7 52 ot +
Ici le second membre représente la variation par unité de temps de la densité électrique dans un point qui se déplace avec la particule; l'expression s’annule donc en vertu de l'hypothèse c.
e. Grâce à la propriété que je viens de démontrer, on peut admettre que la relation entre le courant électrique (u, v, w) et l’énergie cinétique est toujours celle que nous avons appris à connaître dans le premier chapitre. Comme il s’agit des phénomènes dans l’éther il n’y a pas lieu de distinguer la force et l'induction magnétiques: je déterminerai donc la force magnétique (æ, B, 7) par les équations:
= an (er+ 5
= 4m (ont 5$ Lure (54)
Ep = 4 (er+5 , ++ luuceeee (55)
et j’attribuerai à l'énergie cinétique la valeur: —— 1 2 2 2 Tag fte +8 +7)dr
On obtient ces formules en posant a=«, b=f,c—=} dans celles des paragraphes 9 et 10; on fera les mêmes substitutions dans les équations (14) qui servent à définir les fonctions auxiliaires F, G et H. .
f. Enfin, je supposerai que la position de chaque point qui r prend part aux mouvements électromagnétiques est déterminée dès qu’on connaît la position de toutes les particules chargées du système et les valeurs de f, g et h dans tous les points de l’espace. C’est une hypothèse analogue à celle que j’ai discutée au chapitre précédent et présentant les mêmes dif-
ficultés.
Valeur de la variation d'T.
$ 76. Cette fois encore, j'aurai recours à la formule générale (3) pour trouver les équations du mouvement. Je commence par la variation Ôd'T.
Désignons par x’, y’, z les coordonnées d’un point quelconque qui prend part aux mouvements électromagnétiques, et par x, y,z celles d’un point quelconque d’une particule chargée.
Un déplacement virtuel du système peut évidemment être défini au moyen des variations 0 x, d y, 9z d’une part et des variations Ô f, Ôg, àh de l’autre, et les quantités Ô x’, d y”, 0 z’ seront des fonctions linéaires et homogènes de toutes les va-
riations Ô x, d y, Ôz, 0 f, Ôg, d h. Les coefficients de ces dernières quantités seront des constantes tant qu’il s’agit d’une position initiale déterminée.
En remplaçant, dans les fonctions dont il vient d’être question, ôx, dy, Ôz, Ôf, g, Êh par x, y, z (ou Ë, 7, £), f, 9, À, on aura les valeurs de x, y, z et, en y remplaçant de nouveau Ë, 7, , f, 9, h par ÔË, dy, dË, Ô f, à 9, 5 h, on trouvera les variations correspondantes des vitesses x, y, 2’, la configuration étant toujours regardée comme constante. Il en résulte que si, sans rien changer à la configuration, on donne à £, 7, &, f, g. h les accroissements Ôx, 8 y, Ôz, à f, Ô0g, dh, les vitesses de tous les points du système subiront
précisément les variations dont il était question dans la définition de 0 T.
Or, ces variations de Ë&, 7, £, f, 9, À donnent lieu aux variations suivantes des composantes (52):
eÔx+Ôf, oÜy+Ôg vo1z+0R,
et on aura par conséquent ($ 12):
3 T=|| F'(e ëx + 3ÿ) + G (e dy + dg) + H(o dr + Ôh) |dr.(56)
Équations qui déterminent l'état de l'éther.
$ 77. Considérons d’abord un déplacement virtuel auquel les particules chargées ne participent pas; l'équation (51) impose alors aux variations Ô f, d g, d h la condition J0f 00g 0h
| 5x T9 y ) En les supposant indépendantes du temps, ce qui est évidemment permis, on aura:
dd T F d G 0 H
Par un raisonnement tel qu'il a été employé aux paragraphes 19 et 58, on démontre Ô T=0.
Enfin, le travail 0 À, ou la diminution de l'énergie potentielle, est donné par la formule
SA—=— 4x fèf+sèg+non) dr.
Il faut donc que, pour toutes les valeurs admissibles de à f, Ôg, dh, on ait:
—A47 prfisr+sèg+nimar=
> H SIQUEE Sr + roh)ar.
Il en résulte ($25) que, pour toute ligne fermée immobile dans l’espace, dont un élément ds a les cosinus directeurs p, q,r,
— An : | (pf+gg+rh)ds—= D f@F+96+rHas,
et cette formule, appliquée à des cas particuliers, donne les équations suivantes :
oh do foH 0G 2 —— — -— }), etc.
Ad - dy —Ot 0 y 2 ete
ou bien, en vertu des formules (14):
oh d & — 14% er (e- y En Az V? Ut = duueeue (57) SL ES ss | &r V? Dr) ot:
Si le mouvement 1 Particules chargées est donné et si lon connaît en outre les valeurs de f, g, h, «, B, y pour le temps { — 0, ces formules, jointes aux équations (50), (51), (54) et (55), déterminent complètement l’état de l’éther.
Action de l’éther sur une particule chargée.
$ 78. Le système des forces avec lesquelles l’éther agit sur une particule chargée M se réduit à une force résultante et à un couple. Pour déterminer les composantes X, Y et Z de la force, je ferai d’abord remarquer que, dans un état de mouvement donné, ces composantes ne sauraient dépendre de la masse de la matière pondérable qui constitue les particules chargées. Si cette masse était tout à fait insensible, (— X, —Y, —Z) représenterait la force extérieure qu’il faut appliquer à la particule pour produire le mouvement actuel. On déterminera donc — X, — Y, — 7% au moyen de la formule (3) en supposant que la valeur de T, donnée au paragraphe 75, représente l'énergie cinétique totale.
Pour trouver — X, il faut considérer un déplacement virtuel dans lequel la particule M seule éprouve une translation Ô x dans la direction de O À, les autres particules chargées ne changeant pas de place.
Pour que cette translation soit compatible avec la condition (51), il faut qu’elle ‘soit accompagnée d’une variation de f, g et L. Cette variation peut être choisie d’une infinité de manières différentes, mais il est clair qu'après avoir obtenu les équations (57) on peut se borner à une seule entre toutes les suppositions admissibles. Je m'’arrêterai à celle qui me semble la plus simple.
Dans tout l’espace extérieur à la particule M je poserai : Ôf—0g—0h—=0, mais à l’intérieur je prendrai:
Ôf—=—p0x, 0g—=0, Êh—=0.
Si on admet ces valeurs, les deux membres de l’équation (51) subiront dans un point fixe de l’espace les mêmes variations et la condition sera encore remplie après le déplacement.
En effet, comme Ô x a pour tous les points de la particule la même valeur, on trouve pour l'accroissement du premier membre
Ô — 5 dx,
ce qui est précisément la variation de la densité 9 dans un point (x,y,z) de l’espace, si elle y prend la valeur qui existait d’abord au point (x — d x, 7,2).
$ 79. Le premier membre de l'équation (3) prend maintenant la valeur
SA—=—X5x+Ax V2 ôxfefdr,
l'intégrale étant étendue à l’espace occupé par la particule M. La formule (56) donne:
‘ d T=0, et on n’a donc plus qu’à calculer la variation Ô T
Dans ce calcul, je supposerai que Ô x est indépendant du temps.
$ 80. Pour que le système exécute le mouvement varié, il suffit, d’après l’hypothèse f du paragraphe 75, qu'à partir de la configuration W,’ ($ 19), on donne aux particules chargées les positions et aux Composantes f, g, et h les valeurs qu’elles ont dans la configuration W,', tout ceci ayant lieu pendant un intervalle dé. |
Voici, en quoi ce mouvement varié se distingue du mouvement réel: |
a. Le mouvement des particules, à l’exception de la seule M, n’a subi aucur changement.
b. La vitesse d’un point quelconque de la particule M n’a changé ni en grandeur ni en direction, mais la ligne décrite par ce point dans le mouvement varié n’est pas la même que celle qu’il suivait dans le mouvement réel. On obtient la première ligne en donnant à la seconde une translation 6 x.
Les premiers termes o £, on et o C dans les expressions (52) n’ont donc plus pour un même point de l’espace les mêmes valeurs dans les deux mouvements. Leurs variations sont:
703, — (3, (sx, ... (58)
c. Comme les variations W, — W," et W, — W,' n’affec-
tent pas les valeurs de g et de h, les dérivées g et À seront dans le mouvement varié ce qu'elles étaient dans le mouvement réel.
d. Le cas est différent pour f. Si, en un point déterminé de l’espace, la première composante du déplacement diélectrique a la valeur f dans la position W,, la valeur sera f + f dt
dans la position W,,f se rapportant au mouvement réel. La valeur dans la configuration W " sera ($ 78)
J—edx............,. (59) et on obtiendra la valeur variée, pour le moment { + d't,en
ajoutant à f + fdt ce que devient — 9 x à ce moment dans le point de l’espace considéré. Il est clair que o y est devenu:
e—(s52+ + +t et EE et la variation Ôx ne NL pas avec le temps. On peut donc écrire pour la valeur de f dans la configuration W,': f+fdt—eèx+ (Enter TE) ox di . (60).
En divisant par dt la différence des expressions (59) et (60)
on trouve la valeur de f dans le mouvement varié. La variation de f devient
DEN, (55e 5x Sutise hs, ce qui, Joint aux expressions | ee anne | — "(5 (s5£ de 5) du = + E — 15 + LE =, — __J(eb) Ju— —, 0 $ (e &) Je, 1 £+ 5) ….
sT=oxf[r; —° dx +(855+ 1SyT
9 (er) 0 (e €) RATE
Il est clair que c’est seulement dans l’espace occupé par la particule M qu'il y aura des variations de uw, vetw; l’intégrale doit donc être étendue à cet espace.
L’équation peut être transformée au moyen d’une intégration partielle. En ayant égard aux formules (14) et (53) et à la circonstance que
e = 0 à la surface de la particule, on arrive à la formule assez simple :
3 T=dxfe(r Br.
On n’a plus qu’à substituer cette valeur et celles de à À et 9’ T ($ 79) dans l’équation (3). Voici les valeurs définitives des composantes de la force cherchée :
X=47x Pa fefar + [enr 58) dr,
Y—=éx Pr fegdr+ fete» dr,l... (61).
| A=4x Pa fendr + [e(&8—no) 2.)
Moment du couple qui agit sur une particule chargée. 1)
$ 81. Je considérerai les particules comme de petites sphères dans lesquelles la densité électrique e est une fonction de la distance r au centre et je choisirai ce dernier pour le point d’application de la force (X, Y,Z). Quelles sont alors les composantes L, M, N du couple qui provient des actions exercées par l’éther? Pour les calculer, j'aurai recours à un artifice, . analogue à celui qui nous a servi au paragraphe 78. Dans le ‘ cas où la masse de la particule M peut être négligée, — L, — M, — N doivent être les composantes du couple qui dérive des forces extérieures, et si on prend pour le déplacement 1) On peut comprendre toutes les applications de la théorie sans avoir
lu les paragraphes 81—89.
virtuel une rotation infiniment petite © autour d’un axe passant par le centre et parallèle à O X, le travail de ces forces sera
— Lo.
Comme la densité e dans un point déterminé de l’espace n'est pas changée par la rotation, on peut supposer que le déplacement virtuel n'atteint pas les valeurs de f,g et h. On aura donc |
8 A= — Lo, et en considérant w comme indépendant du temps on s’assure facilement que
Reste à calculer 9’ T7. Si x, y et z sont les coordonnées d’un point de la particule M, prises par rapport au centre, on aura |
Ox=0, dy=—w1, 42 = + w y, et, par la formule (56), ; T=u fe(Ay— Gu) dr.
On finira par trouver pour les composantes du couple : L=fe(G—Hnär, M= + fe(x—Fr)dr soso (62) | ; N= = e (F y — Gx)dr,
où les intégrales doivent de nouveau être étendues à l’espace occupé par la particule considérée.
Vitesse de rotation d’une particule.
$ 82. Soient: m la masse d’une particule, | son rayon d'inertie par rapport à un axe passant par le centre, 8, 84, 92 les vitesses de rotation autour de trois axes qui sont parallèles
à OX, OY et OZ. Supposons que les forces extérieures ne donnent pas lieu à un couple. Alors on aura d Oz dt — Ur ar elG— Hydr, etc.
d'où l’on tire:
Dr == m [2 fe (Gz — Hy) d T, elc. . . .. (63).
Il n’est pas nécessaire d'ajouter. des constantes, si on admet, comme cela est bien naturel, qu’antérieurement aux mouvements que nous étudions, le système a été à l’état de repos sans qu’il y eût des courants électriques. Alors, dans cet état initial, les quantités F, G, H, 92, #,, 9: ont toutes été 0.
$ 83. Pour transformer les intégrales, je désigne par r la distance du centre au point (x. y, :), par R le rayon de la particule, et je définis une fonction auxiliaire y au moyen de la formule :
R 1=| ordr.
En introduisant cette fonction, qui dépend de r seulement, on trouve:
ÿ 2 ml
—n fe(Gr—Hy)dr=
1 H © = [(e;-#: TH )ar
ou bien, en intégrant par parties et en se rappelant que, pour Tr =R, y = 0:
ÿ = fr are nfredr
T Si, dans toute l’étendue de la particule, la densité 9 a le même signe, il en sera de même de la fonction y et on peut écrire, en représentant par « une certaine valeur moyenne,
œ ee"; [frar,
ou, après quelques transformations,
3 ml?
Si o était la densité de la matière pondérable, la dernière intégrale aurait la valeur
4 x Frr Pr =—< T7 | or“ dr.
3 2 gr" .
Maintenant que o représente la densité de la charge électrique, on aura d’une manière analogue
[ dr et * TT 8x ?
si e est la charge totale et !’ une longueur qui est déterminée par la distribution de la charge, tout comme / est déterminé par celle de la matière pondérable. On arrive ainsi aux formules
“el? __ pel? ___ el 2m? 7 9mEP’ °° ml?
Si la particule ne possédait aucune masse, ces équations exigeraient
«=B =} —=0, c'est-à-dire que la particule tournerait alors si vite et dans une telle direction que la force magnétique moyenne à l’intérieur en deviendrait 0.
Cependant, je ne négligerai pas la masse; je lui attribuerai même une telle valeur que les rotations n’aient pas d'influence sensible.
Influence des rotations sur les valeurs des forces X, Y et 7.
$ 84. La vitesse (£, y, Ë), dont les composantes entrent dans les derniers termes des formules (61) peut être décomposée en deux parties, la première étant la vitesse (£,, 70, Co) du centre, c’est-à-dire la vitesse de translation, et la seconde, que
je représenterai par (£,, ,, &,) étant due à la rotation. Pareillement, on peut distinguer dans la force magnétique totale H ou («, B, y): 1°. la force magnétique H, qui existerait si la particule considérée était en repos, 2°. celle (H,) qui est due à la translation dont elle est animée, et 3°. celle (H,) qui est causée par la rotation.
Ces divisions conduisent à regarder X, YŸ et Z comme composés de plusieurs parties, que nous allons considérer successivement.
$ 85. Si, d’abord, on se borne à la force magnétique H,,et si l’on suppose qu’elle a la même valèur et la même direction dans tous les points de la particule, ce qui est évidemment permis quand cette dernière est suffisamment petite, on est amené à des intégrales telles que
fenrodr= 70 [etro +7,)dr, etc.
Elles peuvent être remplacées par ro [e 70 dr, etc.
les intégrales Î e7, dr, etc. s’évanouissant, parce que la dis-
tribution de la densité o est symétrique autour du centre. Tant qu’il s’agit de H, seulement, on peut donc faire ab-
straction de la rotation; et si est la partie de la force
(X, Y, Z) qui correspond à H,, on aura évidemment ($ 6, &):
| D (=)Hoev, ........... (65) v étant la vitesse de translation.
$ 86. A cette force il faut ajouter:
1° une force ' qu’on obtient en combinant, de la manière qui est indiquée dans les formules (61), la force magnétique H, ot la vitesse v ou (£,, 95, Co); 2° une force %" qui résulte de la combinaison de H, avec
(81; LFE 61);
3° la force 1 qui dépend en même temps de H, et de
(Ëo> 70 Co); 4° la force %!" qui est déterminée par H, et (£,, #,, L,).
Cependant, nous n’aurons pas à nous occuper de #', parce que c’est l’effet d’une rotation que nous désirons connaître. Pour simplifier encore davantage, je n'essayerai pas de déterminer rigoureusement %1, 4", %";: cela exigerait des calculs bien laborieux, parce que H, et H, dépendent, non seulement du mouvement actuel de la particule, mais aussi de sa translation et de sa rotation antérieures. Je prendrai pour H, et H, les valeurs que ces forces magnétiques auraient si la particule était animée d’une translation ou d’une rotation constante; il semble qu’on peut ainsi obtenir une idée suffisante de l’ordre de grandeur des quantités cherchées. Or, après avoir introduit cette simplification, on peut démontrer que, pour des raisons de symétrie qu’il semble superflu de spécifier, %"" — 0. Il nous reste donc à évaluer Fr et 4m. $ 87. Considérons une particule qui est animée d’une vitesse de translation v, le centre décrivant une ligne droite, et construisons, à l’intérieur, un cercle de rayon r, dont l’axe coïncide avec cette ligne. Ce cercle indiquera la direction de H, et sera, en même temps, le lieu géométrique des points où ce vecteur a une valeur déterminée. Or, en se rappelant la propriété fondamentale de la force magnétique ($ 9, 2) et en ayant égard à ce que le courant qui détermine H, est du même
3 ev , ordre de grandeur que o» v, ou que 4 xk K étant le rayon de la particule, on trouve 3 €ev 2xrH, (=) x r?. 4 7k?
ou
Lorsque, en second lieu, la particule tourne autour d’un diamètre avec une vitesse angulaire #, elle peut être divisée en un système d’anneaux à sections infiniment petites, qui ont tous pour axe ce diamètre. Si l’un quelconque de ces anneaux a le rayon r et la section do, il y existera un courant dont l'intensité 1, prise dans le sens ordinaire du mot, est du même ordre de grandeur que le produit e8&rdo. Un tel courant annulaire produit, comme on sait, à son centre une force
magnétique 2° (=) 2 x 0 9 do. La force magnétique qu’il fait
naître au centre de la sphère est du même ordre; on trouve donc, en intégrant sur la demi-surface d'un grand cercle,
H, 1270 feds (=) À a
ou bien
ec H, (=
équation qu'on peut aussi appliquer aux autres points de la particule, précisément parce qu’il ne s agit que de l’ordre de grandeur de H..
$ 88. Si on porte dans les formules (61) les valeurs de H, et H,, en ayant égard à ce que la vitesse (£,, 7,, C,) est de l’ordre #9 R, on trouve:
ga (=) Fu (=) où l’on peut substituer la valeur de # qui est donnée par les équations (64). Or, dans ces dernières, !’ et ! sont des longueurs du même ordre, et la force magnétique (x, 5, 7) sera plus petite que la force magnétique H,, parce que la rotation de la particule tend à diminuer la force magnétique à l’intérieur ($ 83). On exagérera donc les forces %° et &"1 si on écrit
9 (=) Poe
et
H,ev.
+ Lu (=) 5 (=) HR La comparaison de ce résultat avec la valeur (65) donne: gS, »
EH (=) œ =) SE - Il en résulte qu’on pourra négliger % et %", en d’autres termes, qu’on pourra faire abstraction de la rotation, si
est une fraction très petite.
$ 89. Soit à la densité de la matière pondérable qui con-
stitue une particule; alors on aura:
e? e? m e° ne mR mer.
Si la particule chargée était un atome d’une des parties compo-
santes d’un électrolyte, 7 ne serait autre chose que l’équiva-
lent électrochimique de cette composante, exprimé en unités électromagnétiques. En choisissant comme unités fondamentales le centimètre, le gramme et la seconde, on a pour l'hydrogène :
et pour tous les autres corps une valeur plus grande.
Supposons que 4 ne surpasse pas le nombre 100; e? e° pour que 5 Où 3 à R? soit une petite fraction, il suffira
alors que À soit beaucoup plus petit que , Da = 0,00001
centimètre. C'est ce que tout le monde admettra. Quant aux particules chargées qui se trouvent dans les métaux et dans les corps non-conducteurs, je me bornerai à
e . (2 remarquer que, pour des valeurs déterminées de a et de a,
on pourra rendre l'expression e?
mir
aussi petite que l’on voudra, par une supposition convenable sur la longueur de À.
Récapitulation des formules les plus importantes.
$ 90. Je suis bien éloigné de vouloir attacher trop d’importance aux considérations précédentes. Elles n'avaient d'autre but que de rendre plus acceptable l’hypothèse que voici, dont je me servirai dans tout ce qui suit:
Les particules chargées dont le déplacement donne lieu aux phénomènes électriques ne peuvent pas tourner autour de leur centre et, pour en déterminer le mouvement de translation, il suffit d'employer les équations (61), qui peuvent être mises sous la forme suivante:
X=4x Pr fofér+nferdr-tfosar, | A4 V'fogdr+tfoadr-#fozdr, .. (D
B=anVrfondr+foñdrn fear. |
/ A ces formules il faut joindre les équations qui déterminent l’état de l’éther et qu'il sera utile de récapituler ici:
il an (es+ à),
dx dy °g |
on ment), (LV) Op dax oh |
eo der +5)
02 dy ca?) —9$
0h of 24 2 © Ar PC 5 il eee (V) of 2g\) an Pr(T— dx) 701
$ 91. Dans le chemin qui nous a conduit à ces équations nous avons rencontré plus d’une difficulté sérieuse, et on sera probablement peu satisfait d’une théorie qui, loin de dévoiler le mécanisme des phénomènes, nous laisse tout au plus l'espoir de le découvrir un jour. Les physiciens qui éprouvent ce sentiment peuvent toutefois admettre l’idée fondamentale qui a été la base des recherches de Faraday et de Maxwell, et ïls peuvent considérer les formules (1) — (V) comme des équations hypothétiques assez simples qui pourraient servir à la description des phénomènes. J’ose même dire que si l’on n'avait en vue autre chose que cette description, sans vouloir tenter une explication mécanique, il se pourrait que le choix tombât précisément sur ces équations que nous avons appris à connaître. Dès qu’on a renoncé à l’idée d’une action des corps où le milieu interposé n’intervient pas, 1l faudra décrire ce qui se passe dans un système de particules chargées à l’aide de deux systèmes d’équations, relatives, les unes à l’état de l’éther et les autres à la réaction de ce milieu sur les particules.
Tant que, dans le champ que l’on considère, il ne se trouve aucun corps chargé, les formules données par M. Hert: dans son premier mémoire sont bien les plus simples qu'on puisse
admettre pour exprimer l’état de l’éther, et si l’on veut établir un système d’équations pouvant servir à l’étude d’un système de particules chargées, 1l est naturel de se borner à des modifications dont on reconnaît immédiatement la nécessité. Or, on obtient les formules (II) — (V) en remplaçant
dans celles de M. Hertz l'équation
et en substituant ($ 75, d) dans les équations:
dy DB Sy 57 +7; etc.
à) Le] u=es+ V=Qy+ =, U=QS+ >:
Dans le chapitre suivant on verra que les équations (I) s’obtiennent également par des considérations bien simples.
Si, du reste, ces équations sont établies à titre d’hypothèses, on y peut ajouter la supposition que les particules chargées ne sont jamais sujettes à un mouvement rotatoire.
$ 92. Le physicien qui voudrait admettre les équations (1) — (V) sans les déduire des principes de la mécanique, serait obligé de justifier son choix en démontrant que ces équations sont compatibles avec la loi de la conservation de l’énergie. Voici comment on le vérifie. |
Soient : m la masse d’une particule chargée, X’, YŸ', Z' les composantes de la force extérieure à laquelle elle est soumise.
Alors |
X+X'=mEé Y+Y = m7, À + Z'=mi .. (66).
Il faut que le travail des forces extérieures par unité de temps, c’est à dire l’expression
soit égal à Le, U étant une fonction qui est déterminée par
l’état du système. Or, en employant les formules (I) et (66), on trouve d’abord
AS Im (Er + y +8)—A4nprzlsfesar +
+ufesar+tfendr |—
= Sym + +0) — 4 Vi [of +ng+thr.
Dans la dernière intégrale, qui doit être étendue à l’espace infini, on peut substituer les valeurs de o £, e 7, o 6 qu'on tire des équations (IV); ensuite, on peut intégrer par parties et employer les équations (V). En fin de compte:
dU À = PTÉ si on pose:
U= Sim iEt + y +6?) + 2x Vr [( +g+h)dr +
+ ft +6 +7) dr.
C’est la valeur de l'énergie du système. Le premier terme n'est autre chose que l'énergie cinétique que les particules possèdent en vertu de leurs masses. Les deux autres termes ont la forme que nous connaissons déjà. Seulement, du point de vue où nous nous sommes placés maintenant, il n’est pas nécessaire de regarder comme potentielle l’énergie
2 x 2 [Pr +g+h)dr et comme cinétique l'énergie
[te +p?+;!)dr.
LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELIL. 93
