Tome 226 - 1948 D. 311, Tome 226 - 1048 p

ANA AE ANRE

N° 1 — THEOREME D'EXISTENCE ET SINGULARITES DE LA SOLUTION POUR UN ECOULEMENT INFINIMENT APLATI SUR UN PLAN

1, Généralités.

La méthode des sources, qu'il serait plus exact d'appeler "méthode de la Solution fondamentale d'Hadamard", permet l'étude générale des écoulements autour des obstacles infiniment aplatis sur un plan. Indépendamment plusieurs auteurs (voir réf.1, 2, 3, 4, de la bibliographie annexe) ont étudié ce prcblème., En collaboration avec M. R.BADER, nous avons nous-même étudié cette question, Le rapport correspondant (réf.5) n'ayant pas fait l'objet d'une publication officielle, nous Aonnerons ici les résultats qui nous paraissent originaux, par rapport aux études citées, Les notations étant les mêmes que dans le texte, le problème peut se formuler de la façon suivante :

Trouver une solution ® (x.,, Lee x, ) satisfaisant à l'équation : 2 2 2 L (@) = ge +-2+ 12% - OEe ee Ci 0x:

et aux conditions aux limites :

CÉIURES LiENfINE-Ssnont Dam Dee grad® = O ;

(2) sur ($S), projection sur x

à de l'obstacle

— D E— 7 À (x, X, ) : pour ARE + =, APE - = ; x. = M} (x, X, ) : pour X3 Ses ON

k* et k7 sont des fonctions connues, satisfaisant aux conditions de régularité (II) relatives à 2 / 2x qui seront précisées plus bas.

Pour poser correctement le problème i1 faut en outre préciser les hypothèses de régularité que nous imposons à la solution; nous appellerons (R) la partie de Ox,x, qui correspond au sillage du corps aplati sur (S).

(I)- est continue, sauf éventuellement à travers le plan x, = 0 sur (S) et (R }e

(II) Les dérivées premières et secondes de ® existent et sont en général continues à l'extérieur de (8); il y a éventuellement exception à travers certai-— nes surfaces caractéristiques où elles peuvent avoir, soit des discontinuités de première espèce en un point régulier, soit des infinis en un point exceptionnel. Sur (S) elles peuvent avoir des infinis, cependant, pour satisfaire aux hypothèses de linéarisation, 0 p/2x, ne peut devenir infinie que sur des parties de la frontière de (S) quand on y tend en restant extérieur à (5).

Nœs supposerons en outre 2 @/2x, et Jp / 0x, continues quand on traverse Ox,x, en un point extérieur à (S). Cette hypothèse pour 2p/ 2x, a une signification physique immédiate; pour Jp /0x, également si on se rappelle que cette quantité est proportionnelle à la pression, Autrement dit, seul Op/dx, peut avoir une discontinuité de première espèce à travers Ox,x,.

Enfin comm" au chapitre 3, % peut être décomposé en ses parties impaire et paire par rapport à Xe Si p est impaire en x, (problème symétrique), 2 2% 24 énrdénors de (5),:.-51 0 est-pairer’en X 3 (problème portant), 2p/2x, = © dans

Ox,x, en dehors de {S}). comme cela résulte des hypæthèses (II).