Formule fondamentale

Nous utiliserons la formule de Green généralisée

TT: Mas v Lu) | = de v 4 | do 5 dy dy

> étant la surface d'élément dO limitant le volume V d'élément dT; les déri- MECS d / dv sont les dérivées suivant la direction transversale. Ainsi, si 2 est définie par F (x, X pr °X3) CRE EC ERR X3 ) >. 0 .à l'extérieur de. V., on a

AA BE PR RES PB 2r 9

dv 2x) 2x; 2x, 0%, 2x, 2x,

Enfin, en utilisant la notion de "partie finie" d'une intégrale due à Hadamard, on peut appliquer la formule de Green à des fonctions y et v rendant infinies les Enmeésrales mises iensjeu, Onrécrit'elors

1] Lu LévI AS" y tu] de . [ua - v | do .

Considérons en un point P,(E.,, E,, G3 D 6, O par exemple), l'avant cône de Mach [et coupons-le par le plan X, = —-A où À est positif et très grand, et

par le plan X3 = O0. Nous déterminons ainsi un volume V dans la région X 3 O limité par une surface 2, Admettant l'existence de D: nous appliquons latfôor

mule de Green au couple

H est la solution fondamentale au sens d'Hadamard pour l'équation des ondes,

Nous ne pouvons ici entrer dans tous les détails et toutes les justifica-

tions, mais nous noterons les principales étapes de la Aémonstration. ,

a) On montre qu'on peut effectivement appliquer la formule de Green généralisée au couple , H, même si les dérivées de ® présentent des discontinuités de première espèce, ceci en vertu de (II) qui nous apprend que ces discontinuités Se présentent sur ‘des surfaces caractéristiques,

b) Pour la partie de Z située sur x, =-A, l'intégrale double s'annule en vertu des conditions aux limites.

c) Sur le cône (l') l'intégrale double doit étre prise en partie finie. Introduisons le cône a: d'équation

2 2 EVE S 2 2 PC Re Ale (re) Ceci stile pian P, DORE SN ED | (010)

£ et Ô étant petits, on calculera l'intégrale double sur la surface voisine de ZX formée d'une part de l', et d'autre part du cercle C,;ÿ, section de [l', par le plan Pis On montre facilement que la contribution due à lé a une partie finie nulle, et que celle due à Ceÿ est -2nmp(P). Par suite en désignant par

la section de ([') par x; = O, on obtient la relation

— | @(P) ra. . $ 2T 7x, h

d) Pour éliminer ® au deuxième membre, on peut appliquer la méthode des

images utilisée par V, VOLTERRA dans un problème analogue. Soit P' le symétrique de P par rapport à Ox,x, ; appliquons la formule de Green au volume V situé dans X3=— 0 limiké pariles plans (x, =:- A, LATE O et l'avant cône de Mach de

Rens posant

CARE NE APE 2e X 3) x HEURE MAITRE on obtient ainsi - NAN Re ser hs 2 0x, 2T Dx h et comme pour X3 7 OÙ ape LE À 2H ARLES, ?

OMAN f°2 Dit Heu -][ »$ H 2. Te

En rapprochant ce résultat du précédent, on obtient la formule fondamentale cher-

chée : 3 ; œ(P) = Je HA Gr Æ er 24 do :

T 7x; T 7% 3 ess t)