D ROME TOUT

nous les appelerons mouvements homogènes d'ordre n !4l, Les mouvements coniques défihis au N° 1.2. sont donc des mouvements homogènes d'ordre I. Nous garderons cependant le terme d'écoulement conique pour désigner ces mouvements, car ce terme a déjà été utilisé par de nombreux auteurs et fait bien: image.

Les dérivés. du potentiel des vitessés par rapporbt'aux/ variables txe,uxe, satisfont toutes à l'équation (I.10). Si l'on considère alors les dérivées do dre n: du potentiel d'un mouvement homogène d'ordre n, elles ne dépendent que de res Ja et satisfont à l'équation (1.14); l'analyse du numéro 4.2.2. reste entièrement valable. On peut faire les changements de variables (1.15) et (T/17) gui: conduisent aux équations (1.16) et (1.18), Il y a donc là une méthode assez générale pour obtenir des solutions de l'équation (I.10) qui peut s'avérer utile.

Les mouvements les plus simples sont les mouvements homogènes d'ordre 0, ils ne donnent lieu à aucune condition particulière de compatibilité. Pour les mouvements d'ordre n, i1 y a par contre un certain nombre de conditions à écrire liant les dérivées d'ordre n,. Nous examinerons!?}, à titre d'exemple, le cas de mouvements homogènes d'ordre 2.

(1) La défini tiôn des mouvements homogènes d'orûre nm a été donnée la première fois par L. Beshkine (ref.11); cet auteur les appelle d'aflleurs mouvements coniques d'ordre nm. Il y:a lieu de rattacher également cette questiôn à l'article de Hayes érer12)s

(2) Voir annexe n° 2.

Il y a six dérivées secondes que nous noterons @., (i et j peuvent préndre if L thdé a TE 0 2 thdeépendamment les valeurs 1,2,5), O désifnant —C L., À j'eytérieur de (A) i j ” ” a nous poserons dx, dx.

= ol o2 Pi; LE TS 1 AN]

ï Te A @.., n'étant fonction que de à, p?. de KR (voïr formule I.:19 )+ A-l'intérieur de CL : P;; est la partie réelle d'une fonction ê:, (G):

Pour obtenir les relations cherchées, i1 suffit de remarquer que

PS ADS ij j al et d'appliquer les résultats du N° I.2,8.; on peut donc écrire entre les pr. res six relations

Era op” SRE pr, =

di =:

LS COSMOUX Pi A

Se qui d'ailleurs se réduisent à cihq, comme on' le voit immédiatement. On'aura. des relations analogues pour les fonctiôns pÊ. (i1 suffit d'intervertir le rôle de À éodeLh}.

Enfin, pour les fonctions analytiques $, (ES ronrea

a si cube d D, =—— dd, =—— 41 ie

L cos Ë 12 sine

Soit six relations qui, comme précédemment, se réduisent à cinq. Les conditions écrites sont non seulement nécessaires, mais aussi suffisantes, les fonctions ®. étant nécessairement les composantes d'un gradient. On voit ainsi qu'il n'y a aucune difficulté à écrire les conditions de compatibilité pour un mouvément homogène d'ordre 7:

1.3.2.-' RELATIONS ENTRE LES ECOULEMENTS HOMOGENES D'ORDRE n° ET n-1.

Nous allons établir un théorème qui peut être utile dans certaines questions et qui: précise les relations existant entre les écoulements homogènes d'or-: ARCTIC TM MNOUSACrRAMINeNONSMleMCaSNOULTIE Tr

1.3.2.1.- Considérons à l'intérieur du cône (i') un écoulement homogène d'ordre

Opdéfini- par :

o = RS ca];

Nous. allons chercher tout d'abord les composantes u, v, w de la: vitesse de

perturbation :

(CR dp=11U 2x + UV ox, + 7 ee & E (872) az | = AE Dont) > | À OT CINE de

donc : (Je) È p2 + 1 F a: dx, +x, ds |:

PET DRE LEE r x, dx ue dx, dote :

ON onEededAUtNtTEr

FILE ab AE a],