L FE

Ba démonstration est immédiate, et résulte des formules définissant J, et K,

pr [ :

ee 0 RES UC PT AN einû CHERE Dao Yo (h: + FR) désignant la valeur de H sur (Y ); de même [eo] 2 T cab c J VE RIRE PUS pi nŸ HAS ‘4 27 o

Par suite, d'après le lemme IT

Ii J :

n n dempins nt 2H 2ME d Z 1 1 : ST 2 SORA o 27 o Le 0 HE0

(1) Rapoelons que X désigne l'imaginaire conjugé de K n

est imagihaire pur, le lemme II se trouve aïihsi. démontré.

Remarquons que, si°H (Z) est borné par M sur (Y,) où (Yi), on a l'ihégali-: bé

(OCR,

Re | BR

LEMME IIT.- Une fonction (A), à partie réelle uniforme, définie dans (D), est susceptible à l'intérieur de (D') d'un développement de La forme

co € “25 B log Z + 1.8 + : it = K, BY, BRétor réel:

En‘effet, la dérivée de la: fonction (A) est nécessairement uniforme. On sait alors.(voir, par exemple, ref.13) que l'on: peut considérer la fonction donnée comme la somme d'une fonction H (Z) uniforme et d'un' terme logarithmique; le poiht critique du logarithme étant arbitraire à l'intérieur de (Y ,); il est par-

ticulièrement indiqué de choisir céspoint à l'orifihe :"lawpartie réelle.denla fonction étant uniforme, le coefficient de log Z est réel. D'ailleurs, log Z ayant une partie réelle nulle sur (C,);, H (3%) est elle-même une fonction (A). La:

fonction donnée peut donc être prolongée à l'intérieur de (D'}) et le développement (II.2)'se trouve aihsi justifié.

REMARQUE. —

Si. l'on'choiSit comme pôle du terme logarithmique un point ihtérieur à (Y ) mais différent de l'origine, on'est conduit à un développement de la forme :'

DOS OR = Ce PS 2 +:

BANLO DE Jet B PAST ARTE A RU A) D AP RCE A PR 14, 06208

2.1.2.2.-' Les fonctiôns U, V, W de la variable Z sont toutes les trois des fonc-: tions (A) à partie réelle uniforme et, par suite, sont susceptibles de développements de la forme (II.2). Nous écrirons dorénavant:

= ÙU (2)'= À log 2 H1.dx 2 eg 7") re

2 à à L co K sn d

HS VAN BR ALGE fa Ne PMP EE En ARE

SOS VA n } ’ GORE Er 22

WA) Crest TVA PZ ï Se a):

AstB;uC sontiréels, ES Y sont réels et d'ailleurs arbitraires: mais ces déve loppements ne sont pas indépendants, car il faut tenir compte des relations (1.25) Par exemple, Z dV/d2 doit être divisible par 7? + 1, sinon nous auribns pour U

des sihgularités logarithmiques sur le cône (['), ce qui est inadmissible. Or

d V co k ur

( ue) D à Fa Ps CN ra à

On'en' déduit les relations

(be 1 ne tie 4 Pal Te K . ( era? Rooust Fe, | à

(CAN) o ] (SRE Eu P K 72 | F ( 1) (2 + 1) L: 2p+1 Kopsl , obtenues en faisant, dans l'égalité précédente Z% = 1 et Z% = - ji.

De même, Z dW/d2Z doit être divisible par Z2 -'1, ce qui donne

M t S- Eÿ — ES

ce S1 AR? Hal) Pie LU RL

Enfih les égalités (I.25) conduisent en outre à des relations liant entre eux les coefficients des développements (II.3); on peut écrire ainsi les relations

. ) EF K = = A K LIRE CE LL | (BRIESISY) Rte K, (} Le 2], K, K, D E + L, | RU NUM SNTR 5 a? 5 + n DE (r= 2 et d'autre: part:

DRASS D dan, (PRES 7) nK, GARE) RC EE) AO) He (n > MIS 2.1.2.9.-— Approximations sur les dévelophements (II.34,

Il faut, en outre, tenir compte des hypothèses de linéarisation, ce qui va nous permettre, nous allons le voir, de simplifier considérablement les développements (II.5) et nous conduire très simplement à la solution: du problème posé: AUMNUMETONZD AL,

Les égalités (II.6) nous conduisent à penser que V (Z) et W (2) sont du même: ordre. Nous désignerons par M une borne supérieure de leur module sur le cercle (Ye M sera également une borne de leur module sur (Rae) et par suite dans tout le omaiñe (D').

Si on utilise l'ihégalité (II.Ÿ), (II.4) montre que ‘?#

BE CU EE Re K. HONTE 2

(1) O déstgne le symbole de Landau, A = 0 (Mk?) signifie que

5 ST borné quand À tend vers 0.

Sibon: prend/(, bre Y nuls dans la’suite, cenquine diminue en rien la géné-: ralité, on peut écrire la seconde formule (II:3) sous la forme