Ÿ.- GENERALITES
Nous allons nous occuper du premier problème posé au numéro 1.2.6, Nous opé-—: rerons dans le plan: Z% Rappelons que le cône ([') a pour image le cercle (6%) de rayon’ 1 centré. à l'origine, l'image de l'obstacle est une courbe (C}), définie par son'équatiôn polaire p (0). On: désignera par (D) le domaihe annulaire com-: pris entre (C) et (Co): on appelera Are) 1e cérele-. de plus petit rayon-cénèré à l'origine et contenant (A) à son intérieur, on désignera par k le rayon du cércle (Y,). Dans tout ce chapitre, k sera considéré comme l'infihiment petit prihz=: Cpalr
Le problème consiste alors à trouvér trois fonctions U(Z), V (Z), W-(2) définies à l'ihtérieur de (D)'à une constante additive imagihaire près, et telles que ;
à) 2 Z 2 i Z ETES SUP AEUTS ANA, RE El Boo 2)1= les parties réelles:1, v, lw, uniformes, s'amnulient sur (C, ); SCT IC) ontartamrelationse
v LP cos 0 + p' sin 0° + p? (p cos é- p'sin 6) + 4 Le Sir 0 pc ombe
+ p? (p sin 0° + p' cos on | + (Tree
Ainsi posé, le problème est évidemment très difficile à résoudre dans toute sa généralité, mais une analyse des approximations permises va permettre de le Simplifier considérablement.
2e 1.2.-' ETUDE DES FONCTIONS U: (2), V (Z), W (2Z).=:
2.1.2.1.- Une fonction analytique de Z sera. dite fonction (A) Si Sa. partie réelle s'annule sur (C,). Désifnons par ie) lé cercle de rayon: 1/%, céntré à l'origine, et par (D') la couronne limitée par (Y,) et RYR (FDA TON
As
LEMME T.- Une fonction (A), uniforme, dé-
finie à l'intérieur de La couronne limitée par (Y,)' et (C,) peut être prolongée dans tout Le domaine (D').
Ceci. résulte immédiatement du princi-!
pe de Schwartz. Soient M et M':deux points symétriques par rapport à (C ), M étant intérieur à (C, ); on'définit la: fonction:
(A), au point (M') comme ayant une partie réelle opposée et une partie imaginaire égale respectivement, à la partiè réelle et à la partie imagihaire de la fonction donnée au poiht M.
Fig 10
LOMME II. Une fonction (A) holomorphe à L'intérieur de (D') a un dévelLophement de Laurent de La forme (h.
LAB ÉRIC PRET PR Le GAL n L A En ‘effet, soit H (2) = h +.1h' une telle fonction (A). Ecrivons provisoire-
ment son développement de Laurent dans (D') sous la forme
(6e ( « T et n Au n H 1673) = à J Z VOTE
