T (EME TL

cos FR 1avn° par cos ea n: nl

vient une relation linéaire entre les K le coefficient de K, Étantu(pr 00 pp :)S

et la dernière par (1)WP et ajoutant, il

ur D

bles a-dire nUSLUR = pet O Si # p.

Le coefficient de Es est

les conclusions précédentes restent valables, il est nul pour kL # O et égal à 7 si M = O; le même résultat est valable pour K,. Finalement, on obtient la: formule générale de résolution :

SO) A ST mn PT b (II.64) K fes b PRE + ar à

P 1E 2) HSE m Née x Considérons, par exemple, l'opérateur transformant la fonction P (6)'en'la:

fonction: dQ/d@;, Q étant la: fonctidn: conjuguée de P:c'est un'opérateur de la se-conde catégorie pour lequel

édéeppliiquant la: formüle- (II/64), 11 vient

m ONE 9 2 Thon pim T Der TC GS EE eff RUE : PACE P ñn 1 n' 2 si'on' remarque que nl L 2 1 men Te NET M QT cr CARRE OS et (tn SEE El ; n. 0 | 2 x ai 2 2

on'voit que: : |

ROME SÉTHIPARTI, P 1 . . : CR OR RER RIRE. ee ne si p: impair.

p * MRMECOS P:7 ) ñ:

2+ 3.9.2. 2ème mode de calcul. =

L'examen: d'un'cas particulier important va nous montrer que, dans certaihs cas, il sera avantageux d'envisager un' deuxième mode de calcul.

La méthode. consiëte à remplacer la fonctiôdn P (0) par une fonction: de la forme

n (11.86): $ (9) =Za cos.n' 0 + b sin n°6:

pour laquelle la méthode s'applique en toute rigueur; les constantes a, et b. étant telles que PRE + Un' opérateur de la'1ère catégorie, des plus importants, est l'opérateur de dérivation, faisant correspondre la fonction dP/d0 à la fonc-" RSS (0). Si!nous appliquons le 1er mode de calcul, nous remplacerons

do 17 ( ), par (—), ; or, ce sont précisément aux points "= que les dérivées 1° de A dp d® et présentent le plus grand écart. Au contraire, nous aurons une bonne

dO' dO:

approximation de la fonction:

cherchée, en: remplaçant

CRM COTSELINT de CSRÉLNCT PURE FERSET par ee :

dO' |. on d8: on: :

Nous sommes donc amenés au mode de calcul suivant : le cercle est divisé en:

À n'parties égales; nous poserons donc

fee) 2 n° et nous exprimerons les 2n° valeurs a, en' fonction des 2n' valeurs RS J

Nous nous limiterons aux opérateurs de la première catégorie. La formule ex:

primant les 4, ; en fonction de PE SNÉCRES J

n FA 1) Di oi es “ 21 F2p EL Pot oh

His

et on obtient, pour déterminer les K le système

a LA CSP TILmET a DER LS TANT CPE EEE IR ' Pari cn 2

;, variant de 1 à ñ.

iplis : : T Re Multipliant la: première équation par sih (2-1) —, la deuxième par Li ERaRIEnS cn CE TOUR à ; ème 2.2 CRU) EURE TNT 7 JR :

k L ‘ Au . CHE ET Sin! DU EE » a dernière PR Er et en:

AMNILE 2

ajoutant, on obtient une relation linéaire dans laquelle le coefficient de K es t ;

SEE RER Cm mm | (2134 *P on 0e Me ia tome + D À m=1 en on 2 ni 1 mL MT n)4-f D RE | cos DRAM Oo PRET) HT ne = ne nr n' 2

HA TT TT — — C, L m —] CS than 1 a cts | à e n' 4 n: À

PENSE n° lé coefficient est nul si: D: £ HU et égal à___sip: = LM D'où 2)

ŒES AN + ————— 0 .

(TI er.) K Î LT …. (R-1) mT De LATE = 1 m D n Gi) n

On' peut appliquer ce procédé au calcul de la dérivée d'une fonction périos

dique. Dans ce cas, a, = -.m. En'appliquant la formule (11.67); on'obtient GUIT.691: ee 1 K, = Eau RACE en [1-00 CERN Sn

2. 3. 3. 4—' Remarques. sur l'emploi, des. méthodes. proposées.

Pour donner une idée de la précision des méthodes proposées, nous donnerons tout d'abord quelques exemples où l'on connaît, théoriquement, le résultat à trou: MÉR:

Prenons, comme couple de fonctions (P) 0, @ (0), les fonctions

Ancés re Die 4 0: DCE) RE D (5-4 cos 6) (5-4 cos 0)?

quiAsontirespecrvivement iles parties réelles et imaginaires, sur le-cercie de rayon 1 de la fonction

On‘ trouvera, figure 22 (page 54), la représentation graphique des fonctions P (9), Q (0) et de la dérivée Q' () de cette fonction, ainsi que les valeurs de ces fonctions pour Q: = PT (ph: étant Compris entre Det 12):10n trouvera ,/tésa

lement, sur la figure 23 (page 54), les valeurs de Q (9), calculées à partir de P (0), par la: méthode qui vient d'être exposée [coefficients K., défihies par (11.62)} ebiour lan rpurenzs,(pase 55), les valeurside, 0’ (0), calculées, d'une part, -2/partiride. P (0) [coefficients définis par (11.65) d'autre part, ces mêmes valeurs calculées à partir de Q (6) [coefficients K. définis par (11.68); On constatera que la précision obtenue est excellente, bien que les fonctions choisies aient des variations assez rapidés . Or, de tels calculs sont délicats par les méthodes de calcul habituelles; ceci est particulièrement évident dans

Fig. 22

Q-valeurs théoriques

P- valeurs théorigues

Q-valeurs théoriques

POI 03924 O,02041 | 0,06247 | 0,09023 0, jonos | 0, | ou | Nr or 0,16098| 0, 141 39 mine 0,076 27 0,03864

» 159149] 0,11287 | C, Los 0,07697 0, 03830

@Q-valeurs données par le tableau f19.25

lé cas de l'intégrale de Poisson -dgui. esbt'une) intésraäalenaniwvad'eur principa ten. Des comparaisons systématiques de la méthode des opérateurs trifonométriques avec

Q'-2 partir de Q/6)

(P(6)YÈ3,99116 F1,01411 1,38752 1,24875 | 0,66398 C,27769 0 ,06 192 ÿ HAE RS 1,38995 1,21883 0 ,661129 0,27767 0,06207

RARES (P (@]-0,04262| -0, 10076] -0, 12529 | -0, 11163 -0,14515 |-0,140u8 RE 9" (y (8) 1-0,02265|-0, 10060! -0, 12531 | -0,14150 | -0,1u517 |-0,12932

celles utilisées jusqu'alors ont été faites par M. THWAITES (ref.23); elles ont montré qu'elle donnait , dans certains calculs, une précision largement supéprieurerà celle” ocbtente jusqu'alors,

La: conduite du calcul se fait tres facilement, à l'aide:de tableaux, comme celui représenté (figure 25), On voit que l'on remplit ce tableau parallèlement à . la diagonale principale du tableau. Pour une intégrale de Poisson, avec: un tel tableau, il suffit d'une heure et demie environ Si:on dispose d'une machiñhe à Calculer. |

Tl'est évident, nous avons eu l'occasion de le sifnaler, que la méthode don ne une précision d'autant meilleure que les fonctions Sur lesquelles on opère sont "régulières" et présentent des variations "assez faibles". Ceci, en pratique, Conduit à déux remarques qui reposent sur "la méthode des différences" et qui amé-: liorent sensiblement le résultat dans certains cas. Nous raiSonnerons par exemple,

sur le cas de l'intégrale de Poisson.

ANNDTET lEMPoneUrOnIME (8) présente des singularités (par exemple discontinuités dé la dérivée pour certaines valeurs de Die iimyiaura 1ntérét à chercher une

fonction P. (0), présentant les mêmes singularités que la fonction P (9), pour laquelle on connaisse explicitement la fonction conjuguée Q, (0): On fera le cal=: (Ê), qui, elle, ne présente plus de singularité.

cul par la fonction P CONPARES

2) Si la: fonction P (0) a:un champ de variation très étendu, on cherchera:une fonction pe (0), pour laquelle on connaisse explicitement la fonction a, (01, tels le’qué la différence: P CAES (0) garde des valeurs petites, et on opérera sur cette différence,

Enfin notons que, si le calcul de la dérivée d'une fonction P (0), tel qu'il , vient d'être exposé, nécessite que P (©) soit périodique, on' peut toujours se ra-: nener à ce cas, en appliquant précisément la: "méthode des différences".

AS 4. WE XEMPIE Calcul numérique d'un écoulement autour d'un: cône semi-circulaire.-!

Comme application, nous avons repris le cas du cône semi-circulaire étudié au.numéro 2.2.9. la fonction g (%@) est donnée par la formule (II.48) et on cal culera:g' ((%) par une intégrale de Poisson: On trouve (fig. 26) la valeur g'.(%) ainsi. calculée comparée avec la valeur théorique ss

courbe théorique

end

points calculés

Il est alors possible de calculer la PAPE Can des pressions, en cal: culant successivement la fonction A, ZHret. THhtééralels! (@).

On' trouvera la répartition de pression, ainsi calculée fig.19, on peut alors

comparer le résultat obtenu par la méthode de calcul, employée dans un cas tres dé favo” able, avec le résultat obtenu théoriquemenvc. (Voir renvoi 1) page 57

Ky = 2,063944 Ka =s20 70971